Historie počtu pravděpodobností

Hráč rulety kolem roku 1800. Hazardní hry byly jednou z prvních hybných sil, které stály za teorií pravděpodobnosti.

Titulní strana Ars Conjectandi od Jakoba I. Bernoulliho z roku 1713, jedné z prací o stochastice v 18. století

Historie teorie pravděpodobnosti nebo stochastics popisuje vývoj starověké a moderní odvětví matematiky, která se zabývá matematickou analýzou experimentů s nejistými výsledky. Zatímco mnoho vzorců pro jednoduché náhodné procesy, které se dnes ještě používají, bylo možná již ve starověku , nejpozději v pozdním středověku se dnes používaný axiomatický základ teorie pravděpodobnosti objevil až na počátku 20. století; Klíčovými událostmi jsou na jedné straně výměna dopisů mezi Blaisem Pascalem a Pierrem de Fermatem v roce 1654, která se běžně považuje za zrod klasické teorie pravděpodobnosti, a na druhé straně vydání učebnice Andreje Kolmogorova Základní koncepty Pravděpodobnostní počet v roce 1933, který popisuje vývoj základů moderní teorie pravděpodobnosti dokončen. Mezi tím se klasická teorie pravděpodobnosti po staletí rozpadla na samostatné školy; tito byli primárně ovládáni tehdejšími vědeckými centry v Londýně a Paříži .

Postupem času byla stochastika formována řadou různých oblastí použití. Zatímco vývoj výpočtových modelů byl původně podnětem zájmu Řeků a Římanů o hazardní hry , návrhy později pocházely z filozofie , práva a pojišťovnictví , později z fyziky a dnes především z finanční matematiky . Pomocí objížďky pomocí statistik si výpočet pravděpodobnosti nakonec našel uplatnění prakticky ve všech kvantitativních vědách .

Začáteční pozice

Stochastika se vyvíjela pomaleji as menším odhodláním než jiné matematické disciplíny, jako je analýza . Od začátku musela čelit vážným problémům, částečně kvůli zvláštnostem samotného konceptu pravděpodobnosti , částečně kvůli výhradám ze strany jiných věd, jako je teologie , filozofie a dokonce i samotná matematika .

Definice pravděpodobnosti

Jedním ze způsobů, jak používat matematiku, je pokusit se spočítat svět. Zatímco konkretizace z číselných pojmů pro velikosti, jako je délka, hmotnost, nebo jednou, a to měřením - to znamená, že srovnání s ( normalizovaná ) jednotky jako standardní jednotky části velikosti základny - uspěje, kvantitativní detekce pravděpodobností na dlouhou dobu zůstal problematický. To nebylo až do roku 1933, který Kolmogorow axiomy podařilo přesně definovat na míru pravděpodobnosti a tedy i pojem pravděpodobnosti implikované jím . To však nevyjasnilo, jaká by byla pravděpodobnost výslovně, ale pouze se zjistilo, které strukturální rysy musí míra pravděpodobnosti splňovat, aby byla užitečná. Interpretace axiomů zůstává otevřenou otázkou a stále existují různé pohledy.

Postupem času vznikly dvě myšlenkové směry, které existovaly nezávisle na sobě, aniž by se navzájem vylučovaly. Frequentismus vznikly v průběhu vyšetřování hazardních her jako standardizované a opakovatelné, kolikrát za stejných podmínek, náhodné pokusy . Zde pozorování ukázalo, že relativní frekvence výsledku experimentu konverguje s rostoucím počtem opakování . Podle definice frekventanta odpovídá pravděpodobnost události přesně této mezní hodnotě  - nebo jak to řekl francouzský stochastický Paul Lévy : „Stejně jako množství objektů je i pravděpodobnost fyzikální veličina a frekvence je měřicím nástrojem pro tuto veličinu. , stejně jako všechny fyzikální měřicí přístroje jsou postiženy určitými nepředvídatelnými chybami měření. “Jak je pravděpodobné, jak je tato definice v případě hazardních her nebo ve fyzice, zdá se zbytečná pro procesy, které nelze opakovat.

Tento problém neexistuje, pokud použijeme koncept pravděpodobnosti druhé myšlenkové školy, bayesianismu . Zde je pravděpodobnost měřítkem toho, jak jste si jisti, že dojde k určité události. Formálně nezáleží na tom, zda je událost skutečně náhodná, nebo zda je výsledek prostě neznámý. Tento pragmatický přístup umožňuje upustit od filosofických předběžných úvah o povaze a existenci náhody - což je skutečnost, díky níž je tento pohled populární, zejména ve statistice . Hlavní nevýhodou je, že definice přesvědčení diváka přináší nežádoucí subjektivitu. Na rozdíl od frekventovanosti zde navíc nelze pravděpodobnost mapovat intuitivně na matematicky smysluplném číselném měřítku. Pro ilustraci je třeba použít myšlenkové experimenty v podobě „ Kolik byste byli ochotni vsadit na výskyt této události?“ Je nutné použít, což nevyhnutelně vede k potížím s předmětem averze k riziku .

I když to není v zásadě neslučitelné, tyto dva ideologicky odlišné přístupy již dlouhou dobu bránily vývoji jednotné matematické teorie a jednotné notace.

Skepticismus ze strany jiných věd

V průběhu staletí výpočet pravděpodobnosti opakovaně přitahoval skepsi jiných vědních oborů. To lze vysledovat zpět ke dvěma aspektům nebo důvodům:

• pojmy náhoda a pravděpodobnost lze definovat a vědecky kvantifikovat jen s velkými obtížemi.
• Jakýkoli pokus o stochastickou interpretaci jevů, které by jinak nebylo možné nebo jen nepředvídatelně předvídat (jako je počasí , ceny na akciových trzích nebo výsledek tzv. Die roll ), lze považovat za konkurenci jiné vědy.

Například ze strany teologie a církve se pokus použít výpočty pravděpodobnosti k přiblížení „nevyzpytatelných způsobů Páně“, které lze každý den pozorovat v přírodě, již dlouho nazývá rouhání - pojmy náhoda a osud jsou úzce souvisí. Církev navíc trápila skutečnost, že v prvních letech byla hlavní oblastí aplikace hazardní hry, které vždy odmítala. Je pozoruhodné, že náhodné procesy hrají roli jak ve starém (věštecké kameny Urim a Thummim , Exodus 28:30), tak v Novém zákoně (při výběru Matyáše jako nástupce Jidáše loterií, Skutky 1, 23-26) když jde o pochopení Boží vůle. V tradici konfliktu mezi křesťanstvím a stochastikou nakonec přetrvává debata o evoluci a kreacionismu nebo inteligentním designu . Teorie evoluce chápe vývoj živých bytostí jako výsledek procesu randomizované optimalizace poháněného náhodnými mutacemi , zatímco kreacionisté za ním předpokládají pevný plán stvoření.

Ale i přírodovědci osvícenství pohlíželi na stochastiku skepticky, protože to považovali za „ prohlášení bankrotu “ před přírodou. Koneckonců, všechny jevy lze plně vysvětlit deterministickými přírodními zákony, pokud člověk pouze dostatečně přesně měří a zkoumá všechny zákony pomocí experimentů . Neexistuje tedy vůbec žádná náhoda, která rovněž vylučuje existenci vážného výpočtu pravděpodobnosti.

Dokonce ani v komunitě matematiků nebyla myšlenka teorie pravděpodobnosti zcela nesporná. Rozpor mezi stochastikou jako vědou o nejistých událostech a tvrzením matematiky jako výuky pravdivých tvrzení, nevyvratitelných závěrů a spolehlivých znalostí se zdálo být příliš zřejmé. Příklad: buď má proměnná hodnotu pět, nebo ne. V prvním případě je pravděpodobnost události 1 nebo 100 procent, jinak je to 0 procent a v matematice se nezdálo místo pro hodnoty mezi nimi. Dokonce i Bertrand Russell , nositel Nobelovy ceny za literaturu a vůdčí osobnost filozofie matematiky na počátku 20. století ( Principia Mathematica , 1910), věřil: „Jak můžeme hovořit o zákonech pravděpodobnosti? Není pravděpodobnost protikladem jakéhokoli zákona? “Tento rozpor dokázalo konečně vyřešit pouze přesné axiomatické zdůvodnění stochastiky v letech 1901–1933. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X = 5}$

Stochastické paradoxy

Další překážkou ve vývoji počtu pravděpodobnosti bylo, že vypočítané výsledky jsou často v rozporu s lidskou intuicí . Zejména v souvislosti se stochastickou nezávislostí a podmíněnou pravděpodobností existuje mnoho případů, které vedou ke zjevně protichůdným nebo nesmyslným výsledkům. Takové jevy se běžně označují jako stochastické paradoxy , i když termín paradox zde není vždy použitelný.

• Podle paradoxu vězně jsou osoby A, B a C odsouzeny k smrti, ale jedna ze tří je omilostněna loterií . Pravděpodobnost, že A přežije, je tedy stejná . Pokud však vězeňská stráž A pojmenuje jméno jednoho ze dvou spoluvězňů, kterému nebude odpuštěno (alespoň jedna z dalších dvou osob bude popravena) po losování loterie, zbývají pouze dva kandidáti milost a pravděpodobnost přežití pro A by se proto měla zvýšit. Je však těžko představitelné, že by tato informace (koneckonců A předem věděla, že bude proveden alespoň jeden z ostatních) měla ve skutečnosti zvýšit šanci A na odpuštění, a v tomto případě to tak není: pravděpodobnost přežití je stále . Zároveň se však zvýšila pravděpodobnost přežití neuvedeného spoluvězně .${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}$

Bertrandův sférický paradox: Jaká je pravděpodobnost, že náhodný bod dopadne nad žlutou čáru (vlevo)? Podle Bertranda to odpovídá poměru délky červené čáry (vpravo) k délce celého zeleného velkého kruhu nebo α / 180 °.

• Kulovité paradox , nazývaný také Bertrand paradox , byl zřízen v učebnici od Joseph Bertrand v roce 1889 . Čte se: je-li bod náhodně rovnoměrně rozložen na povrchu koule (např. Bod nárazu meteoritu na Zemi), jaká je pravděpodobnost, že tento bod bude pocházet z dříve vybraného bodu (např. Eiffelova věž dokončena ve stejném roce ) má vzdálenost menší než 10 úhlových minut , takže Eiffelova věž a náhodný bod se středem Země tvoří úhel menší než stupně? Jedním ze způsobů, jak tuto pravděpodobnost vypočítat, je rozdělit oblast dotyčných bodů (tj. Povrch víčka kolem Eiffelovy věže s poloměrem 10 úhlových minut) celkovým povrchem koule, což dává přibližně . Bertrand navrhl druhé řešení: protože je irelevantní pro vzdálenost, na které leží velký kruh skrz Eiffelovu věž, a všechny velké kruhy jsou stejně pravděpodobné, stačí se podívat na takový velký kruh jako příklad. Potom je pravděpodobnost jednoduchá , protože z 360 stupňů je možných přesně 20 obloukových minut nebo stupňů. Podle Bertranda nebyla ani jedna ze dvou odpovědí špatná; pouze jednotné rozdělení na potrubí sférické plochy nebylo přesně definováno .${\ displaystyle {\ frac {10} {60}}}$${\ displaystyle 2 {,} 1 \ cdot 10 ^ {- 6}}$${\ displaystyle {\ frac {20} {360 \ krát 60}} \ přibližně 9 {,} 2 \ krát 10 ^ {- 4}}$${\ displaystyle {\ frac {20} {60}}}$

Zatímco paradox vězně lze stále vyřešit pomocí relativně jednoduchých stochastických pomůcek, druhý problém dokazuje, že ani na konci 19. století nebyla teorie pravděpodobnosti dosud dostatečně vyvinuta na to, aby bez jakékoli pochybnosti reprodukovala náhodné jevy v kontinuu .

Nejen podmíněná pravděpodobnost, která hraje roli v té či oné formě zmíněných paradoxů, však někdy vede k omylům ; koncept stochastické nezávislosti je často v rozporu s intuicí. Příkladem je následující jednoduchá hra: obyčejná šestistranná kostka je hozena dvakrát za sebou a čísla jsou sčítána. Hra je vyhrána, pokud je součet očí sudé číslo , jinak hráč prohraje. Nyní je výsledek hry (tj. Zda událost „hra vyhrála“ či nikoli) nezávislý na výsledku druhého hodu. Ačkoli lze tento výsledek snadno ověřit pomocí definice stochastické nezávislosti, je úžasné, že o hře nakonec rozhoduje druhý hod.

I když se dnes tyto problémy zdají spíš jako matematické triky, nemělo by se zanedbávat, že dnes již existuje plně rozvinutá a konzistentní teorie pravděpodobnosti. Nejprve však bylo třeba definovat pojmy jako nezávislost a podmíněná pravděpodobnost, což je obtížné, pokud jediné smysluplné definice z dnešního pohledu mohou vést k omylům, jako jsou ty, které jsou uvedeny výše. To může vysvětlovat, proč se konzistentní matematická teorie pravděpodobnosti nevyvinula dříve.

Výpočet pravděpodobnosti ve starověku

Římský astragalus

Zájem o náhodu lze vysledovat až do nejranějších lidských dějin. Archeologické nálezy ukazují nápadnou akumulaci z ovčího kotníkových kostí a dalšími podobně tvarované kosti na několika místech po celém světě . Je známo, že tyto kosti, latinsky nazývané astragali , byly v Římské říši používány jako kostky - k hazardním hrám o peníze, ale také k rituálním účelům k získávání informací o rozmaru bohů. Takové a podobné věštce , které využívají přirozené ( např. Pohled z ptačí perspektivy ) nebo umělé náhodné události, lze pozorovat po celém světě.

Je patrné, že kostky v dnešním běžném tvaru krychle nebo jako čtyřstěn byly vyrobeny brzy . Jeden z prvních nálezů v dnešním Íránu pochází z doby kolem roku 3000 před naším letopočtem. To znamená, že už tehdy byly učiněny pokusy cíleně ovlivňovat pravděpodobnosti, aby bylo možné navrhnout férové ​​a tedy zvláště zajímavé hry. Z tohoto pohledu lze pokus o vytvoření ideálních kostek - těch, u nichž mají všechny strany stejnou pravděpodobnost - popsat jako časnou formu stochastického počtu. V Indii existovaly přinejmenším od védského období před rokem 1 000 před naším letopočtem Rituální a společenské hry, ve kterých se jako kostky používaly ovoce z pěti stran, předtím, než byly vyvinuty (omezené ideální) hranolové kostky. V příběhu Naly a Damayanti z eposu Mahábhárata jsou kromě kostkových her zmíněna dvě stochastická témata: Na jedné straně umění rychlého počítání, jakýsi závěr od vzorku k celku a spojení mezi kostkovými hrami a tato metoda závěru, která nám dnes není známa.

Ačkoli hra s náhodnými kostkami byla známá a rozšířená v helénistickém světě a základní matematické znalosti by to umožnily již v dobách Euklida nebo Pythagora , dosud nebyly nalezeny žádné tradiční důkazy o konkrétních stochastických výpočtech z této doby . Na jedné straně to může být způsobeno skutečností, že koncept pravděpodobnosti dosud nebyl vyvinut, takže by bylo možné klasifikovat pravděpodobnost v numerické škále, jak je dnes běžné a chápané v běžné řeči. Ale může také hrát roli, že starověké filozofie vědy byl silně proti tomu , aby empirismu . Pravé znalosti nelze získat z experimentů , ale pouze z logického uvažování. Na druhou stranu pravděpodobnost lze zažít pouze v experimentech a stochastika umožňuje pouze jednoznačné předpovědi v souvislosti s procesy, které se nekonečně často opakují nezávisle (např. V případě zákona velkých čísel ), což vyžaduje častý přístup k pojmu pravděpodobnosti. Aristotelovo prohlášení v této souvislosti , že náhoda je v zásadě nad rámec lidských znalostí, a tedy i vědy, bylo pozdnějšími Aristotelians povýšeno na dogma a na dlouhou dobu bránilo vzniku výpočtu pravděpodobnosti na Západě.

Včasný objev starých ideálních kostek

Je známo, že římský císař Claudius (10 př. N. L. - 54 n. L.) Byl přítelem hry Duodecim Scripta , předchůdce dnešního vrhcáby , a napsal o ní knihu. Jelikož to však dnes již není zachováno, není jasné, zda se jednalo také o stochastickou analýzu hry. Bylo by to nejstarší známé pojednání svého druhu.

Kromě hazardu nabízelo pojištění také rané pole činnosti pro odhady pravděpodobnosti. Pojistné smlouvy, zejména pro obchodní cesty po moři, lze uzavírat v Babylonu a v Číně nejméně do druhého tisíciletí před naším letopočtem. Stopujte zpět do BC. Například takové smlouvy jsou uvedeny v Codex Hammurapi (kolem roku 1760 př. N. L. ). V Římské říši již existovala forma anuity, kdy smluvní partner dostával pravidelné platby až do konce svého života výměnou za jednorázovou pevnou platbu. Různé formy úvěru a úroku lze identifikovat ještě dříve ( Codex Ur-Nammu , 3. tisíciletí př. N. L. ) A lze předpokládat, že takové nejisté smlouvy jsou stejně staré jako samotný obchod se zbožím.

Pojistné smlouvy tohoto druhu rozhodně vznikly až po rudimentárních pravděpodobnostních úvahách o ziscích a povinnostech vyplývajících ze smlouvy, ve kterých je pravděpodobnost budoucích událostí (jako ztroskotání obchodního cestujícího, předčasná smrt anuity nebo selhání dlužníka). O této rané formě řízení rizik však přežilo jen málo důkazů, což není překvapující, protože obchodníci byli vždy opatrní, aby své výpočtové modely udrželi v tajnosti.

Středověk a raná novověk

Ve středověké křesťanské společnosti se věštby a hazardní hry, přestože jsou stále velmi rozšířené, veřejně odsuzovaly, takže k výzkumu náhody, přinejmenším oficiálně, nedošlo, zejména proto, že v té době vědě dominovaly kláštery . Až ve 13. století se znovu objevil kandidát na první stochastickou publikaci. De vetula , formulovaný v hexametrech a publikovaný anonymně , dnes připisovaný katedrále Amiens , Richardovi de Fournival (1201–1260), popisuje hry se třemi kostkami a výslovně uvádí 216 možných kombinací. Důvodem anonymního zveřejnění mohl být zakázaný předmět básně. Jiní autoři, jako například mnich Jean Buteo (1492–1572, Logistica , kolem roku 1560), obcházeli církevní zákaz tím, že místo kostek mluvili o „kombinovaných zámcích“, jejichž klíče měly například 4 vousy se šesti nastaveními, více (6x6x6x6 =) Být schopen představovat 1296 různých možností.

Cardanos Liber de Ludo Aleae

Gerolamo Cardano (1501–1576), první zaznamenaný stochastický

Trvalo to až do 16. století, než přišla první ověřitelná stochastická publikace. Gerolamo Cardano , italský polymatik a jeden z nejvlivnějších matematiků své doby, položil ve své práci Liber de Ludo Aleae (Kniha hry v kostky) z roku 1524 základ teorie diskrétních náhodných procesů. Hry s až třemi kostkami jsou zde téměř úplně diskutovány (jak bylo v té době v próze zvykem téměř nepřetržitě), ale existují i ​​filozofické myšlenky na štěstí (Kapitola XX: De Fortuna v Ludo, o štěstí ve hře ), riskování a - plachý (Kapitola XXI: De timore in iactu, o strachu z hodu ), závislost na hazardních hrách (Kapitola IV: Utilitas ludi, & damna, výhody a poškození hry ), jakož i samostatná kapitola o účinných způsobech podvádění (Kapitola XVII: De dolis in huiusmodi Ludis, o lest ve hrách tohoto typu ). Kromě toho jsou diskutovány také karetní hry , které se v Evropě staly stále populárnějšími od 15. století, ale které Cardanovu pozornost přitahovaly mnohem méně než Hazard , hra s kostkami, kterou z Orientu pravděpodobně dováželi křižáci .

Cardano dlouho zjevně neměl zájem o zveřejnění svých výsledků, protože využíval informační výhody k tomu, aby pravidelně získával více, než kolik využíval, a tím částečně financoval studium. Ale notoricky známý hráč se stal závislým na hazardních hrách a v pozdějším životě vsadil na většinu svého majetku a pověsti. Jeho kniha vyšla posmrtně až v roce 1663, kdy si další vědci nedávno uvědomili teorii pravděpodobnosti.

Problém rozdělení

Blaise Pascal (1623-1662)

Bylo by to do 17. století, než se matematici znovu úspěšně vyrovnali s náhodou, a stejně jako v mnoha jiných vědách se centrum mezitím přesunulo z Itálie do Francie. Blaise Pascal , jeden z nejvlivnějších matematiků a náboženských filozofů své doby, popsal v dopise svému kolegovi Pierrovi de Fermatovi 29. července 1654 dva problémy, které mu jeho přítel Antoine Gombaud , Chevalier de Méré, přinesl a které od té doby as - de-Mere nebo kostky problému ( . French PROBLEME dES ) a problém bodů ( problème de PARTIS ) jsou známy:

• Problém s kostkami se zabývá jednoduchou hazardní hrou. Pravděpodobnost, že hodíte alespoň šestku kostkou na čtyři pokusy, je jen něco málo přes 50 procent. Pokud se naopak pokusíte získat dvojitou šestku se dvěma kostkami - u nichž je pravděpodobnost pouze jedna šestina případu jedné kostky - a uděláte šestkrát tolik, tj. 24 hodů, šance na výhru je jen pod 50 procent. Po de Méré však měla vyjít stejná pravděpodobnost jako dříve, takže měl podezření na chybu výpočtu.${\ displaystyle {\ tfrac {671} {1296}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {36}}}$

• Problém rozdělení se týká fiktivní hry, ve které hráč, který jako první vyhraje stanovený počet spravedlivých kol (ve kterém má každý hráč 50% šanci na výhru, bez ohledu na výsledek předchozích kol), vyhrává peněžní odměnu. Hra je však zrušena před rozhodnutím z důvodu vyšší moci , takže částka by nyní měla být rozdělena spravedlivě v závislosti na aktuálním stavu hry.

Pierre de Fermat (1607-1665)

Zatímco partneři v korespondenci se rychle shodli na prvním problému, že de Mérého „přístup proporcionality“ (šestkrát nižší pravděpodobnost, tj. Šestkrát tolik pokusů o stejnou šanci na výhru) byl zřejmý, ale nesprávný, a proto zde nebyl žádný rozpor, druhý způsobila větší potíže, protože zde byla otázka spravedlnosti kladena vágně a musela být matematicky formulována smysluplným způsobem. Nakonec dospěli k závěru, že podíl musí být rozdělen podle vítězných pravděpodobností a Pascal ukázal, jak je lze vypočítat pomocí kombinatoriky a zejména Pascalova trojúhelníku , který nedávno vytvořil . Pravděpodobnost, že hráč vyhraje přesně k z n vynikajících her, je odpovídajícím způsobem , přičemž binomický koeficient je převzat z Pascalova trojúhelníku. ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}} \ cdot {\ tfrac {1} {2 ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

Leibniz slyšel o problému rozdělení během svého pobytu v Paříži a viděl Pascalovo panství. Znal také spisy Christiaana Huygense o počtu pravděpodobnosti. V roce 1678 formuloval své vlastní navrhované řešení problému dělení v „De incerti aestimatione“. Tato práce existovala pouze jako rukopis a byla publikována až v roce 1957. Leibniz dospěl k mírně odlišnému výsledku než Pascal a Fermat, i když znal jejich řešení. Leibniz měl jiný koncept spravedlnosti než Pascal a Fermat, který lze dnes interpretovat takto a vyjádřit poněkud zjednodušeným způsobem v podobě principu výkonu: „Stejná odměna za stejný výkon“.

Problém rozdělení byl znám již před de Méré a lze jej vysledovat až do roku 1380 a Cardano a jeho současníci Nicolo Tartaglia , Luca Pacioli a Giobattista Francesco Peverone nabídli řešení pro svou část. Řešení, která předložili Cardano, Pacioli a Tartaglia, se z dnešního pohledu velmi liší od Pascalova a Fermatova návrhu, protože argumentovali prostředky komerčního účtu zisků a ztrát nebo, podobně jako de Méré, spíše poměrnými než kombinatorickými. Peverone obdržel z dnešního pohledu téměř správné řešení. Jak k tomu přišlo, však lze prozkoumat, až když bude jeho práce „Due breve e facili trattati“ zveřejněna. Kolem poloviny 16. století italští matematici ztratili přesvědčení, že existuje „správné“ matematicky určitelné řešení. Tartaglia vyjádřil názor, že problém lze vyřešit spíše právně než racionálně. Vzhledem k tomu, že Pascal a Fermat pravděpodobně nevěděli nic o úsilí Italů, ale pozdější publikace vždy stavěly na jejich úvahách, je korešpondence z roku 1654 mnohými považována za zrod stochastiky.

Nizozemská škola

Christiaan Huygens (1629–1695) představil počet pravděpodobností v Nizozemsku a Anglii

Zatímco korespondence mezi Pascalem a Fermatem byla také na počátku vývoje moderního stochastického počtu, byla zveřejněna až v roce 1679, tedy poté, co oba zemřeli. Za první stochastickou publikaci v tisku stojí nizozemský matematik a fyzik Christiaan Huygens , který o diskurzu mezi dvěma Francouzi slyšel již v roce 1655 během pobytu v Paříži a poté vydal své pojednání De Ratiociniis in Ludo Aleae (O závěrech v The Dice Game ) v Leidenu v roce 1657 . Huygenův vhled do logiky her a otázka jejich férovosti jde daleko nad rámec toho, o čem diskutovali Cardano, Pascal a Fermat. I pro asymetrické hry s různými sázkami nebo výhrami našel férové ​​sázky pomocí principu lhostejnosti (hra je férová, pokud by všechny strany byly ochotné vyměnit si své role s ostatními) a vyvinul jeden ze stochastických termínů, které jsou stále ústřední dodnes: očekávaná hodnota . To umožnilo omezit otázku spravedlnosti na jednoduché kritérium „očekávaný zisk = podíl“, které rovněž vyřešilo de-Mérého problém rozdělení.

S Nizozemskem se kalkul pravděpodobnosti dostal do jednoho z center finančního odvětví v té době a brzy si tam našel cestu do finanční matematiky. Ve Waardije van Lijf-renten naer Proportie van Los-renten (hodnota anuit ve srovnání s amortizací , 1671 ) použil obecní důchodce Johan de Witt , jedna z nejvlivnějších osobností holandského zlatého věku a zároveň hobby matematik, Huygensovu metody diskuse o státních anuitách, které byly v té době nabízeny vdovám . Použil první známý stochastický model úmrtnosti a dospěl k závěru, že vyplácené důchody byly z hlediska státu nepřiměřeně vysoké. Potomstvo pravděpodobně vděčí za zveřejnění svých výpočtů skutečnosti, že de Witt jako úředník nesledoval žádné soukromé finanční zájmy, ale musel své rozhodnutí zdůvodnit veřejnosti. Říká se, že snížení jeho důchodu, které inicioval, bylo také příčinou lidového povstání následující rok, na jehož konci byl de Witt lynčován .

Schizma stochastiky v 18. a 19. století

Huygens byl prvním cizincem přijatým do Londýnské královské společnosti v roce 1663 pro jeho úspěchy v oblasti astronomie . Kromě toho také zavedl výpočet pravděpodobnosti v Anglii , kde našel úrodnou půdu. Jen o rok později John Tillotson , arcibiskup z Canterbury , použil Huygenovu očekávanou hodnotu v On the Wisdom of Being Religious, aby dokázal, že víra v Boha stála za to. Bez ohledu na to, jak malá je pravděpodobnost, že Bůh ve skutečnosti existuje, má „hra o Boha“ nekonečně vysokou očekávanou hodnotu díky nekonečnému zisku v nebi. Tillotson tak nechtěně upozornil své současníky na problém, který by stochastika uspokojivě nevyřešila déle než dvě stě let. Jak řešit události s nulovou pravděpodobností? Jeho argument je platný, pouze pokud je pravděpodobnost existence Boha kladná. Na Pascalův Sázka zaměřena na podobné úvahy.

První základy

Jakob I Bernoulli (1655–1705)

Výpočet pravděpodobnosti v 18. století byl formován dvěma důležitými pracemi, přičemž poprvé je zřejmý odklon od hazardu k jiným oblastem aplikace. Na jedné straně, Ars Conjectandi (The Art of hádání) by Jakob I Bernoulli se objevil v Basileji v roce 1713 , nedokončený pojednání, která byla publikována posmrtně (Bernoulli už zemřel v roce 1705) z jeho deníků. V návaznosti na předběžné práce Huygena existují převratná zjištění v oblasti kombinatoriky (například zde se poprvé objevuje termín permutace ) a úplná diskuse o binomické distribuci , ale poprvé byly vytvořeny nekonečné sekvence identických náhodných procesů také zkoumány. Pro zvláštní případ dvou možných výsledků jsou tyto ještě dnes známé jako Bernoulliho řetězce . Konvergence relativní frekvence s pravděpodobností události Bernoulli nepředpokládal jako axiom , ale uzavřel ji jednou větou . Na tomto základě také formuloval nejranější verzi zákona velkého počtu , dnes jednu ze dvou nejdůležitějších vět stochastiky. Bernoulli také neposkytl přesnou definici pravděpodobnosti, ale nepovažoval to za nutné, protože podle jeho názoru neexistuje nic jako náhoda, pouze neúplné informace. Kdo neví o průběhu hvězd, může proto vsadit na zatmění slunce i na hod mincí. Tento názor činí Bernoulliho prakticky prvním prohlášeným Bayesianem. Je také pozoruhodné, že Bernoulliho hlavním zájmem bylo kromě výše zmíněných konvergenčních prohlášení také použití stochastické judikatury, kde je v konečném důsledku důležité posoudit důvěryhodnost prohlášení na základě neúplných informací (tj. Určit pravděpodobnost pravdivé tvrzení v bayesovském smyslu). Tento pokus o sladění matematických a právních závěrů však nebyl nikdy vážně praktikován.

Abraham de Moivre (1667–1754)

Druhý zásadní průlom v tomto období přinesl Abraham de Moivre , hugenot, který uprchl do Anglie . V Royal Society vydal The Doctrine of Chances v roce 1718 , dílo, které by mělo na příštích sto let zásadní dopad na novou anglickou školu stochastiky. Největším úspěchem De Moivra bylo jistě formulace centrální limitní věty (kromě zákona velkého počtu druhá základní věta stochastické), nyní známé jako Moivre-Laplaceova věta, a tím také zavedení normálního rozdělení . Ta však ještě neměla status nezávislého rozdělení pravděpodobnosti , pouze fungovala jako mezní hodnota pro diskrétní pravděpodobnosti. Funkce distribuce pravděpodobnosti se zde objevuje poprvé jako pomůcka .

Angličtí statistici a francouzští pravděpodobní

Práce Bernoulliho a de Moivra položila základ pro to, co se v následujících letech stalo známým jako teorie chyb a později jako statistika . V přírodních vědách, kde se obvykle objevují pokusy detekovat zákony zpočátku měřením, se člověk stále častěji dostával do situací, kdy byla měření příliš nepřesná nebo (zejména v astronomii) nemohla být opakována tak často, jak bylo požadováno, takže bylo nutné jděte na to, Pochopte chyby jako součást modelu a zacházejte s nimi matematicky. Bernoulli již v Ars Conjectandi ukázal, že výpočet pravděpodobnosti je k tomu vhodným nástrojem - bez ohledu na to, zda někdo věří v náhodnou povahu chyb, nebo ne.

Dalším významným krokem v tomto směru učinil anglický matematik a pastor Thomas Bayes , jehož hlavní dílo Esej k řešení problému v Nauce o šancích vyšlo - také posmrtně - v roce 1764. Na jedné straně je formálně zavedena podmíněná pravděpodobnost - nezávislost se doposud vždy mlčky předpokládala - což vedlo ke speciálnímu případu toho, čemu se dnes říká Bayesova věta . Bayes byl navíc první, kdo demonstroval dualitu stochastiky a statistik, které jsou platné dodnes. Zatímco stochastika se pokouší odvodit pravděpodobnost budoucích událostí na základě daných rozdělení (v Bayes: pravděpodobnost vpřed ), cílem statistik je vyvodit závěry o původním rozdělení na základě pozorovaných událostí ( zpětná pravděpodobnost ). Toto paradigma položilo základ Bayesiánské statistice a ohlašovalo převahu anglosaské školy v oblasti matematické statistiky (později zastoupené Francisem Galtonem , Williamem „Studentem“ Gossetem , Karlem Pearsonem , R. A. Fisherem nebo Jerzym Neymanem ).

Mezitím se zdálo, že kalkul pravděpodobnosti v té době ve své podobě, který byl stále založen na základech Pascala a Huygense, dosáhl svých limitů. V dalších a dalších oblastech aplikace bylo nutné vypořádat se s konstantními distribucemi, tj. Těmi, které mohou nabývat nespočetného počtu hodnot. To však vylučuje, že všechny jednotlivé hodnoty se vyskytují s pozitivní pravděpodobností a události s nulovou pravděpodobností byly v té době interpretovány jako nemožné. Tento zjevný rozpor spočívá v tom, že náhodné experimenty z čirých nemožných událostí by se měly dát dohromady, matematici se nemohli rozptýlit zcela přesvědčivě až do dvacátého století, i když měli první zkušenosti s hustotami distribucí , pokud to dřívější teorie integrace umožňovala.

Pierre-Simon Laplace (1749–1827), nejvýznamnější představitel francouzské školy v 19. století

Mezitím se výzkum na francouzské kontinentální škole zaměřil spíše na pochopení podstaty náhody a pravděpodobnosti. Není proto překvapením, že nejdůležitější příspěvky v té době s Marií Jean Antoine Nicolas Caritat, markýzem de Condorcet ( Essai sur l'application de l'analysis à probabilité des décisions (1785), pojednání o aplikaci kalkulu pravděpodobností v rozhodnutích ) a Jean Baptiste le Rond d'Alembert (články o pravděpodobnosti v Encyclopédie ) měl autory, kteří jsou nyní považovány za filozofové a matematici podobný. Hlavním dílem té doby je Théorie Analytique des Probabilités (Mathematical Probability Theory, 1812 ) od Pierra-Simona Laplacee , která na jedné straně shrnuje všechny úspěchy dosažené do té doby v oblasti stochastiky, na druhou stranu si troufá pokusit se o novou filozofii náhody. Laplaceův přístup k pravděpodobnosti byl intuitivní, protože předpokládal, že za všemi jevy je stejná distribuce (viz Continuous Uniform Distribution , která by neměla být zaměňována s Laplaceovým rozdělením pojmenovaným po Laplaceovi ). Někdy je Laplaceův koncept pravděpodobnosti také považován za autonomní, třetí přístup k frekventovanosti a bayesianismu. Kromě toho také naznačil hranice lidských znalostí v oblasti přírodních věd ( laplaciánský démon ), s nimiž se vzdálil od filozofie osvícenské vědy, která dominovala v posledních stoletích, ve prospěch fyziky náhody .

Významnější průlomy zaznamenané letos Carl Friedrich Gauss a Adrien-Marie Legendre , 1795 nebo 1806 nezávisle metodou nejmenších čtverců vyvinutou na základě normálně distribuovaných chyb, Siméon Denis Poisson , student Laplace ( Poissonova distribuce ), a Pafnuty Chebyshev ( Čebyševova nerovnost , zobecnění zákona o velkém počtu), která za podpory francouzského matematika Josepha Liouvilla a von Poissona založila ruskou školu založenou na francouzštině. Koncem 19. století navíc existovala i méně vlivná německá škola, jejíž hlavní dílo Principles of Probability Calculation (1886) od Johannesa von Kriese se pokusilo sjednotit stochastiku s Kantovými myšlenkami a k tomuto účelu použilo matematickou teorie volnosti , která se však vyvinula podle von Kriesa smrt se nemohla šířit, i když von Kriesovy myšlenky by měly ovlivnit pozdější dílo Ludwiga Wittgensteina .

Axiomatizace a základní pojmy

Teorie pravděpodobnosti se na konci 19. století zjevně dostala do slepé uličky, protože teorie, která byla po staletí kompilována v kusové práci, již nesplňovala stále složitější požadavky její aplikace. Ve fyzice, časném prototypu deterministické vědy, se stále více prosazovala myšlenka vysvětlovat jevy náhodnými procesy na molekulární nebo atomové úrovni.

Tři úzce související události na přelomu století však vedly stochastiku z tohoto dilematu ke strukturálnímu rámci, který je dnes v nejužším smyslu chápán jako teorie pravděpodobnosti . Za prvé, vývoj moderní množin teorie by Georg Cantor v letech 1895-1897, což umožnilo analýzu dosáhnout dříve neznámé stupeň abstrakce . Zadruhé, byl zde seznam 23 problémů, které představil David Hilbert na mezinárodním kongresu matematiků v Paříži , přičemž šestý z nich se výslovně zabýval axiomatizací teorie pravděpodobnosti a fyziky a upozornil tak na tento problém široké spektrum matematiků. . Třetím a rozhodujícím příspěvkem byl vývoj teorie měření od Émile Borela v roce 1901, z níž o něco později vznikla teorie integrace podle Henri Léona Lebesgue .

Ačkoli Borel a Lebesgue zpočátku chtěli pouze důsledně rozšířit integrální počet do prostorů, jako jsou nebo obecnější potrubí , rychle si všimli, že tato teorie je ideálně vhodná pro novou formu výpočtu pravděpodobnosti. Téměř všechny pojmy teorie míry mají přímý logický výklad ve stochastice: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• Základní strukturou teorie pravděpodobnosti teorie míry je prostor pravděpodobnosti . V integrační teorii, to znamená doména vymezení funkcí, které mají být integrovány. Tady je sada všech elementárních událostí, z nichž se může současně vyskytnout pouze jedna - například šest výsledků „1“, „2“, ..., „6“ kostky.${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$${\ displaystyle \ Omega}$

• ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$je σ-algebry do a včetně podmnožiny z , tedy ve složení základních akcí události (například v případě, že kostka je rovný počtu, tak {2, 4, 6}). Σ-algebra (název sahá až k Felixovi Hausdorffovi ) nemusí obsahovat všechny podmnožiny , ale pouze ty, u nichž lze definovat smysluplnou pravděpodobnost.${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

• ${\ displaystyle P}$je míra, která přiřadí pravděpodobnost každé události tak, aby byly splněny určité podmínky. Vzhledem k tomu, že Borelovy rozměry byly původně geometricky motivovány jako zevšeobecnění povrchových ploch , je třeba například, aby prázdná množina měla nulovou dimenzi, tj . V překladu do jazyka stochastiky to znamená, že pravděpodobnost, že nedojde k žádné z uvedených událostí, je nulová, tj. Plně popisuje experiment. Dále je rozumné požadovat, aby se míra (plocha) spojení disjunktních množin rovnala součtu jednotlivých měr (ploch). Tady to znamená, že pokud nikdy nemohou nastat dvě události současně (jako sudé a liché číslo ve stejné roli: množiny {1, 3, 5} a {2, 4, 6} jsou disjunktní), pravděpodobnost, že jedna z dva výskyty přesně odpovídají součtu jednotlivých pravděpodobností. Totéž je vyžadováno pro spočítatelné, ale ne nespočetné přidružení. Jediným doplňkem, který lze v teorii pravděpodobnosti provést ve vztahu k teorii běžné míry, je standardizace celého prostoru na jednu šanci .${\ displaystyle A \ v {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle P (A) \ geq 0}$${\ displaystyle P (\ emptyset) = 0}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle P (\ Omega) = 1}$

• Sady, jejichž míra je nula, se nazývají nulové sady, například přímka v rovině, která nemá žádný povrch. V teorii pravděpodobnosti se říká, že o nulových množinách se téměř jistě nestane . Tím se vyřeší výše popsané dilema, že náhodné experimenty mohou být složeny ze všech druhů nemožných událostí. Rovina se také skládá z mnoha rovnoběžných přímek, z nichž každá má nulovou plochu. Jelikož se však jedná o nespočetné množství přímek, neexistuje žádný rozpor s vlastnostmi požadovanými. Díky tomu je možné poprvé jasně rozlišit mezi událostí, která může nastat, ale má nulovou pravděpodobnost (to je nulová množina), a událostí, která nemůže nastat vůbec (např. Číslo sedm, když je hodena kostka, což je není součástí).${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$

• Lebesgue rozšířil teorii měření o takzvané měřitelné obrazy . Jedná se o funkce se sadou definic, které jsou určitým způsobem kompatibilní se strukturou σ-algebry (podrobněji viz teorie míry ), takže pro ně lze definovat integrál. Ve stochastice jsou to přesně náhodné proměnné . Toto nahrazuje matematicky neuspokojivou definici náhodné proměnné jako „proměnné, která předpokládá různé hodnoty s různou pravděpodobností“ pevnou matematickou definicí.${\ displaystyle \ Omega}$

• (Lebesgueův) integrál funkce f vzhledem k míře P není nic jiného než očekávaná hodnota E (f) náhodné proměnné, která byla známa již v Huygensových dobách .${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {\ Omega} fdP \;}$

• Není-li plocha množiny B měřena absolutně (tj. Ve vztahu k celku ), ale pouze ve vztahu k určité podmnožině , pak to jednoduše odpovídá podmíněné pravděpodobnosti .${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle A \ podmnožina \ Omega}$ ${\ displaystyle P (B | A)}$

• Uncorrelated charakter náhodných veličin, oslabený forma stochastické nezávislosti, přesně odpovídá ortogonality funkcí v Lebesgueův prostoru .${\ displaystyle L ^ {2} (P)}$

Poté, co teorii míry v následujících letech do značné míry abstrahovali a zobecňovali Borel, Johann Radon ( Radon-Nikodýmova věta ) a Maurice René Fréchet , byl ideální rámec pro novou teorii pravděpodobnosti téměř vedlejším produktem. V prvních třech desetiletích 20. století byly staré stochastické věty převedeny do nové teorie pravděpodobnosti a nové byly vypracovány v rychlém sledu za sebou. Problémy však zpočátku vyvstaly s vložením podmíněného očekávání do obecných prostorů pravděpodobnosti a otázkou, zda a jak lze najít pro dané (nekonečně-rozměrné) rozdělení odpovídající pravděpodobnostní prostory a náhodné proměnné, které mají toto rozdělení. Největšího pokroku v této oblasti se zúčastnil mladý ruský matematik Andrej Kolmogorow , nepřímý potomek Čebyševovy školy a jeho žák Andrej Markow ( Markowovy řetězce , věta Gauss-Markow ). Zejména Kolmogorovova věta o konzistenci nebo rozšíření , která odpovídá na druhou otázku, byla oslavována jako rozhodující průlom.

Kolmogorovova učebnice Základní koncepty výpočtu pravděpodobnosti , jejíž první vydání vyšlo v roce 1933, poprvé shrnula celou axiomatickou teorii pravděpodobnosti vyvinutou až do tohoto bodu, včetně Kolmogorovových rozšíření, a rychle se stala standardní prací v této oblasti. Kromě jeho vlastních příspěvků bylo jeho největším úspěchem spojit všechny slibné přístupy do jedné práce, a tím poskytnout jednotné teorii všem stochastickým školám - francouzské, německé, britské, časté, bayesovské, pravděpodobnostní a statistické. Proto mnozí považují rok 1933 vedle roku 1654 Pascal-Fermatovy korespondence za možný rok narození výpočtu pravděpodobnosti.

Moderní teorie pravděpodobnosti

Dvě cesty Brownova pohybu.

Po zavedení Kolmogorowova systému axiomů se v následujících desetiletích zaměřil především na výzkum stochastických procesů , které lze chápat jako náhodné proměnné s hodnotami v nekonečně-dimenzionálních (funkčních) prostorech. Brownianovo hnutí v tom hrálo důležitou roli . Tento proces již popsal Jan Ingenhousz v roce 1785 a později Robert Brown při pozorování plovoucích částic v kapalinách. Tento proces použil v annus mirabilis v roce 1905 Albert Einstein k vysvětlení molekulární struktury vody. Tento přístup, který byl v té době velmi kontroverzní, nakonec pomohl stochastice udělat průlom jako pomůcka ve fyzice. Avšak až v roce 1923 dokázal Američan Norbert Wiener dokázat existenci Brownova hnutí jako stochastického procesu , a proto je Brownovo hnutí mezi matematiky nyní známé jako Wienerův proces a Wienerův pravděpodobnostní prostor je známý jako Wienerův prostor . Brownovo hnutí dnes zaujímá ústřední pozici ve stochastické analýze , ale většina ostatních v té době objevených procesů byla také fyzicky motivována, jako je proces Ornstein-Uhlenbeck nebo model Ehrenfest .

Jedním z prvních zkoumaných tříd náhodných procesů byla Martingale , který byl původně znám jako ruleta strategií, jak brzy jako 18. století a nyní byl vyvinut Paul Lévy ( Lévy lety , Lévy distribuce ) a Joseph L. Doob (Doob-Meyer - Rozklad, Doobovy nerovnosti) byly zkoumány v novém kontextu. Toto později dalo vzniknout termínu semimartingale , který dnes tvoří základní strukturu stochastické analýzy. Zcela nová stochastická interpretace σ-algebry byla představena také prostřednictvím konceptu Martingale, který Borel a Hausdorff dříve měli pouze jako technickou pomůcku. Soubor všech událostí, které jsou známy v určitém časovém okamžiku (pro které již lze v tuto chvíli jasně odpovědět na otázku, zda k nim dojde, ano nebo ne), tvoří σ-algebru. Proto může být rodina časově uspořádaných σ-algeber, nazývaná filtrace , použita k reprezentaci časové informační struktury procesu. Takové filtry jsou nyní nepostradatelným nástrojem stochastické analýzy.

Další třídou, která byla značně studována brzy, jsou Lévyho procesy , ve kterých byly vedle Lévy Alexandr Chintschin ( věta Lévy-Chintschin , zákony iterovaného logaritmu ) zaznamenány největší úspěchy. Činčila sdílela doktorského školitele s Kolmogorovem , Lévyho s Fréchetem.

Louis Bachelier (1870–1946) je dnes považován za prvního představitele moderní finanční matematiky

Po druhé světové válce hrála v základním stochastickém výzkumu stále důležitější roli finanční matematika. Již v roce 1900, pět let před Einsteinem, se Louis Bachelier ve své disertační práci Théorie de la Speculation pokusil vypočítat ceny opcí na pařížské burze cenných papírů pomocí Brownova hnutí , což však způsobilo malou senzaci. Japonský Itō Kiyoshi ( Lemma of Itō , Itō procesy ) dosáhl důležitého průlomu, když ve 40. letech založil stochastickou integraci , základní nástroj moderní finanční matematiky, bez průkopnických příspěvků, jako je vývoj modelu Black-Scholes pro ceny akcií. podle Fischer Black , Robert C. Merton a Myron Scholes ( Nobel Prize Economics 1973) by nebylo možné. Příchod Brownova hnutí ve finanční matematice odhalil mnoho překvapivých paralel mezi fyzikou a ekonomií: problém hodnocení evropských možností v modelech Bacheliera a Black-Scholese se rovná problému vedení tepla v homogenních materiálech.

Další matematickou pomůckou, která si našla cestu do stochastiky pomocí finanční matematiky, je změna míry. Pokud člověk vždy vycházel z pevné míry pravděpodobnosti a poté zkonstruoval stochastické procesy, které splňují určité vlastnosti (například Martingales), hledá se nyní vhodná míra pravděpodobnosti také pro procesy, které již byly definovány, takže proces uvažovaný v rámci nového opatření požadované vlastnosti splněny. Ústřední teorém, který vytváří spojení mezi existencí a jedinečností určitých martingalových opatření a možností arbitráže na akciových trzích, je dnes známý jako základní teorém oceňování aktiv .

literatura

bobtnat

• Thomas Bayes, Esej k řešení problému v Nauce o náhodě . Londýn, 1763 PDF, 920 kB

• Jakob Bernoulli , Ars Conjectandi . Basel, 1713. Překlad do němčiny R. Haussner, Oswaldova klasika exaktních věd , svazek 107, Lipsko 1899 ( anotovaný výňatek, PDF, 100 kB )

• Gerolamo Cardano, Liber de Ludo Aleae . Lyon 1663 ( PDF, 1,57 MB )

• Christiaan Huygens, De Ratiociniis v Aleae Ludo . Academia Lugduno-Batava (University of Leiden), 1657 anglický překlad z roku 1714, PDF, 96 kB

• Andrei Kolmogorow, Základní pojmy kalkulu pravděpodobnosti . Springer, Berlin 1933, dotisk 1974, ISBN 3-540-06110-X

• Pierre-Simon Laplace, Théorie analytique des probabilités . 4. vydání. Gabay, Paříž 1825, dotisk 1995, ISBN 2-87647-161-2

Zastoupení

• Rondo Cameron, Larry Neal, Stručná ekonomická historie světa . Oxford University Press 2002, ISBN 978-0-19-512705-8

• Lorraine Daston, klasická pravděpodobnost v osvícenství . Princeton University Press 1988, ISBN 978-0-691-00644-4

• Michael Heidelberger, Počátky logické teorie pravděpodobnosti: von Kries, Wittgenstein, Waismann . International Studies in the Philosophy of Science, svazek 15, číslo 2, 1. července 2001, ISSN  0269-8595 ( PDF, 151 kB )

• Robert Ineichen, Cube a pravděpodobnost - Stochastické myšlení ve starověku , Spektrum Verlag 1996 ISBN 3-8274-0071-6

• Ian C. Johnston, A přesto se vyvíjíme. Příručka pro rané dějiny moderní vědy . Malaspina University-College, British Columbia 1999.

• Øystein Ore , Cardano. Učenec hazardních her . Princeton University Press 1953.

• Glenn Shafer, Vladimir Vovk, Počátky a dědictví Kolmogorovových základních konceptů . Projekt Pravděpodobnost a finance, Pracovní dokument, 2005 ( PDF , 544 kB)

• Helmut Wirths, Zrození stochastiky . Stochastics in School, 19. ročník, 3. vydání, říjen 1999 [1]

webové odkazy

• Elektronický deník pro historii pravděpodobnosti a statistiku
• Materiály pro dějiny statistiky (University of York)
• Údaje z historie pravděpodobnosti a statistiky (University of Southampton)

Individuální důkazy

1. ↑ Shafer / Vovk 2006, s. 12
2. ↑ Daston 1988, s. XV
3. ↑ Simon Singh: Fermatova poslední věta . 11. vydání. Deutscher Taschenbuch Verlag, Mnichov 2006, s. 63 ISBN 978-3-423-33052-7
4. ^ Gabor J. Szekely: paradoxy , Verlag Harri Němec. 1990
5. ^ Joseph Bertrand: Výpočet pravděpodobnosti . Gauthier-Villars, Paříž 1889
6. ^ Richard J. Larsen, Morris L. Marx: Úvod do matematické statistiky a jejích aplikací . 3. vydání. Prentice-Hall, London 2001, 3, ISBN 0-13-922303-7
7. ↑ R. Ineichen, s. 15 a násl
8. ^ R. Haller, Zur Geschichte der Stochastik, In: Didaktik der Mathematik 16, s. 262–277.
9. ^ I. Hacking, vznik pravděpodobnosti. London: Cambridge Press, 1975, s. 7, ISBN 0-521-31803-3
10. ↑ R. Ineichen, s. 19
11. ↑ Wirths 1999, s. 10
12. ↑ Wirths 1999, s. 7.
13. ↑ Barth, Haller: Stochastics LK. Bayer. Schulbuchverlag, 6. dotisk 3. vydání 1985, s. 71
14. ↑ Wirths 1999, s. 14 a s. 29
15. ↑ Wirths 1999, s. 8.
16. ↑ Wirths 1999, s. 13
17. ^ Johnston 1999, oddíl 4, poznámka 5
18. ↑ Viz například Friedrich Fels: Komentáře k konceptu pravděpodobnosti z praktického hlediska . Pracovní dokument 51/2000, FH Hannover 2000, ISSN  1436-1035
19. ↑ Anglický překlad v Paul Cootner: Náhodný charakter cen na akciovém trhu. MIT press, 1967, ISBN 0-262-53004-X

Tato verze byla přidána do seznamu článků, které stojí za přečtení 1. května 2007 .