Hilbertovy problémy

Tyto problémy Hilbertovy jsou seznam 23 problémů v matematice . Byly představeny německým matematikem Davidem Hilbertem 8. srpna 1900 na mezinárodním kongresu matematiků v Paříži a v té době nebyly vyřešeny.

příběh

Pravěk a pozadí

Hilbertova příprava na Kongres matematiků v roce 1900

Hilbert byl pozván na přednášku na druhý mezinárodní kongres matematiků v Paříži v srpnu 1900 . Rozhodl se neučinit „přednášku“, na které bude přednášet a oceňovat to, čeho bylo v matematice dosud dosaženo, ani reagovat na přednášku Henriho Poincarého na prvním mezinárodním kongresu matematiků v roce 1897, která se týkala vztahu mezi matematika a fyzika. Místo toho měl jeho přednáška nabídnout programový pohled na budoucí matematiku v nadcházejícím století . Tento cíl je vyjádřen jeho úvodními slovy:

Kongres proto využil jako příležitost k sestavení tematicky širokého seznamu nevyřešených matematických úloh. Již v prosinci 1899 začal na toto téma myslet. Na začátku nového roku požádal svého blízkého přítele Hermanna Minkowského a Adolfa Hurwitze o návrhy, kterých oblastí by se měla příslušná přednáška týkat; oba si přečetli rukopis a komentovali ho před přednáškou. Hilbert svůj seznam konečně zapsal až bezprostředně před kongresem, takže se neobjevuje v oficiálním programu kongresu. Přednáška měla být původně uvedena na vernisáži, ale Hilbert na ní v té době stále pracoval.

Kongres matematiků

Na kongres přišlo méně matematiků, než se očekávalo (kolem 250 místo očekávaných 1 000). Nebyli přítomni Hurwitz a Felix Klein, ale Minkowski. Hilbert byl prezidentem sekce algebry a teorie čísel, která se sešla od 7. srpna (druhý den konference) do 10. srpna. Hilbertova přednáška se konala v oddílech 5 a 6 (Bibliografie, historie, výuka a metody, předsednictví Moritze Cantora ) ve středu 8. srpna dopoledne na Sorbonně .

Z časových důvodů původně představil pouze deset problémů (č. 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22). Přítomní obdrželi francouzské shrnutí seznamu, který se krátce nato objevil ve švýcarském časopise L'Enseignement Mathématique . Celý německý původní článek se objevil krátce nato ve zprávách Královské společnosti věd v Göttingenu a v roce 1901 s několika dodatky v archivu matematiky a fyziky .

V roce 2000 objevil německý historik Rüdiger Thiele 24. problém v Hilbertových původních poznámkách , který však v konečné verzi seznamu chyběl a lze jej připsat oblasti teorie důkazů .

Problémy práce

Formulace problému

Matematika na přelomu století ještě nebyla dobře zavedena. Tendence nahrazovat slova symboly a vágní pojmy přísnou axiomatikou nebyla dosud příliš výrazná a měla pouze umožnit další generaci matematiků silněji formalizovat svůj předmět. Hilbert ještě nemohl ustoupit od Zermelo-Fraenkelovy teorie množin , což jsou termíny jako topologický prostor a Lebesgueův integrál nebo Church-Turingova teze . Funkční analýza , která sama o sobě mimo jiné podle Hilberta se zavedením titulní Hilbertova prostoru vznikla, měl ještě ne jako matematický Pole variačního odděleny.

Mnoho problémů uvedených v Hilbertově seznamu není - částečně z tohoto důvodu - formulováno tak přesně a omezeně, aby je bylo možné jasně vyřešit zveřejněním důkazů . Některé problémy jsou méně konkrétní otázky než výzvy k výzkumu v určitých oblastech; u dalších problémů jsou otázky příliš vágní, aby bylo možné přesně říci, co by Hilbert považoval za řešení.

Hilbertovu chybu, která však nemá vliv na formulaci problémů, lze najít v úvodu článku. Tam vyjadřuje své přesvědčení, že každý problém musí být zásadně řešitelný:

Řešitelnost problémů

Hilbertův základní epistemologický optimismus musel být poněkud relativizován. Nejpozději v roce 1931, kdy byla objevena Gödelova věta o neúplnosti a Turingův důkaz z roku 1936, že rozhodovací problém nelze vyřešit, lze Hilbertův († 1943) přístup v jeho původní formulaci považovat za příliš úzký. To však seznam neznehodnocuje, protože negativní řešení, jako je desátý problém, někdy vedou k velkému zisku znalostí.

Výběr problémů

Výběr problémů je částečně velmi osobním výběrem Hilberta a vyrostl z jeho vlastní práce, ačkoli, jak již bylo zmíněno, konzultoval se svými blízkými přáteli Minkowskim a Hurwitzem (který byl známý pro univerzálnost své matematické práce a svého encyklopedického přehledu) . Ivor Grattan-Guinness jmenuje několik znatelných mezer.

Na jedné straně skvělá Fermatova domněnka a problém se třemi těly (na kterém Poincaré hodně pracoval), který v úvodu zmiňuje jako hlavní příklady matematických problémů, ale do svého seznamu je nezahrnuje. Aplikovaná matematika je zastoupena jen zřídka (nanejvýš by tam mohla být klasifikována úloha 6), stejně jako malá numerická matematika (jen stručně zmíněna v úloze 13, jejíž jádro leží jinde) a podoblast analýzy, která se později nazývá funkční analýza, na kterém Hilbert sám intenzivně pracoval od roku 1903 do roku 1910. Chyběla také elektrodynamika pohybujících se těles (pravěk teorie relativity), která byla v té době velmi aktivní výzkumnou oblastí, ve které pracoval i Poincaré a na níž Joseph Larmor , který rovněž předsedal části kongresu, důležitá kniha ve stejném roce (Aether and Matter) .

Na druhou stranu Grattan-Guinness shledává vynechání matematické logiky, statistik a teorie matic (lineární algebry) pochopitelné, protože tehdy nebyli tak prominentní jako dnes. Naproti tomu Poincaré ve své přednášce na Mezinárodním kongresu matematiků z roku 1908 o budoucnosti matematiky v jistém smyslu přikládal odpověď Hilbertovi velký význam aplikacím, přičemž zdůrazňoval budoucí vývoj topologie („geometrie situace“) jako ústředním zájmem matematiky (s Hilbertem se objevuje v úlohách 5 a 16) a také zdůraznil význam teorie množin („kantorismus“), přičemž Hilbert byl zastoupen v úloze 1. Celkově však jeho zobrazení bylo mnohem vágnější a povrchnější než Hilbertovo.

Vliv seznamu

Reakce účastníků kongresu

Podle Charlotte Angas Scottové byla okamžitá reakce na kongresu zklamáním, pravděpodobně kvůli Hilbertovu suchému stylu prezentace nebo jazykovým problémům (Hilbert přednášel v němčině, ale předtím měl shrnutí distribuované ve francouzštině). Giuseppe Peano promluvil k poznámce, že jeho škola ( Cesare Burali-Forti , Mario Pieri , Alessandro Padoa ) v podstatě vyřešila problém základů aritmetiky a že jeho student Alessandro Padoa přednášel na stejném kongresu.

Rudolf Mehmke , který byl také přítomen na přednášce , učinil komentář k pokroku numerickými (nomografickými) metodami v úloze 13, zejména v rovnici 7. stupně. Poincarého není známa žádná reakce a pravděpodobně nebyl přítomen na Hilbertově přednášce. Po Ivorovi Grattan-Guinnessovi se v té době více zajímal o aplikované otázky a také o axiomatický přístup. Na stejném kongresu přednesl 11. srpna jednu ze dvou závěrečných přednášek o úloze intuice a logiky v matematice a zdůraznil roli intuice. Později se však začal zabývat problémem uniformity (Hilbertův problém 22) a ve své přednášce o budoucnosti matematiky na Mezinárodním kongresu matematiků v Římě v roce 1908 zahrnul také problém hraničních cyklů (část problému 16, v který Hilbert výslovně odkazoval na Poincaré vzal) do svého vlastního seznamu problémů. Tam také ocenil Hilberta za jeho práci na axiomatické metodě a Dirichletově problému. Když byl v roce 1902 vydán svazek konference, význam Hilbertovy přednášky byl výslovně uznán, a proto byla na začátku vytištěna mimo její část, bezprostředně následovanou Poincarého přednáškou.

Vliv na vývoj matematiky

Hilbertův seznam měl ovlivnit další vývoj matematiky. Tento plán, který těží ze skutečnosti, že Hilbert byl jedním z nejuznávanějších matematiků své generace, fungoval: Sliboval značnou slávu řešení jednoho z problémů po částech, takže stále více matematiků se zabývalo tématy z Hilbertovy přednášky a tedy - sami, pokud selhali - dále rozvíjeli příslušné podoblasti. Prezentace tohoto seznamu tedy měla významný vliv na vývoj matematiky ve 20. století.

Přestože došlo k několika pokusům o replikaci tohoto úspěchu, žádný jiný soubor problémů a domněnek neměl srovnatelný dopad na vývoj matematiky. Weilovy domněnky , pojmenované po matematikovi André Weilovi , byly vlivné, ale omezené na podoblast teorie čísel a podobné seznamy Johna von Neumanna na Mezinárodním kongresu matematiků v roce 1954 (s malým vlivem nebyla přednáška dokonce publikováno) a od Stephena Smale dále ( Smale problems ). V roce 2000 udělil Clay Mathematics Institute ceny v hodnotě 1 milion $ za řešení sedmi důležitých problémů . Celebrity Hilbertovy článku však zůstávají dodnes jedinečné.

Problémy

Na začátku svého seznamu položil Hilbert otázky týkající se teorie axiomatických množin a dalších axiomatických úvah. Podle jeho názoru bylo zvláště důležité, aby matematická komunita získala jasnost v základech matematiky, aby mohla lépe porozumět podrobnějším výrokům. To se týkalo nejen axiomatických základů geometrie, o kterých Hilbert sám krátce předtím (1899) vydal knihu, ale také fyziky. Následuje několik otázek teorie čísel , které jsou doplněny algebraickými tématy a nakonec problémy z teorie funkcí a variačního nebo analytického počtu.

Krátký přehled:

• 1. Problém , oblast: matematická logika
• 2. Problém , oblast: matematická logika
• 3. úloha , doména: geometrie
• 4. úloha , doména: geometrie
• 5. problém , oblast: algebraická topologie
• 6. Problém , oblast: fyzika
• 7. Problém , doména: algebra
• 8. Problém , oblast: teorie analytických čísel
• 9. Problém , oblast: analytická teorie čísel
• 10. Problém , doména: algebraická teorie čísel
• 11. Problém , doména: teorie čísel
• 12. Problém , doména: algebraická teorie čísel
• 13. Problém , oblast: teorie čísel
• 14. Problém , doména: algebra
• 15. Problém , doména: algebraická geometrie
• 16. Problém , doména: algebraická křivka
• 17. Problém , doména: algebra
• 18. Problém , doména: geometrie
• 19. Problém , doména: variační počet
• 20. Problém , doména: diferenciální rovnice
• 21. Problém , doména: diferenciální rovnice
• 22. Problém , oblast: diferenciální geometrie
• 23. Problém , doména: variační počet

Legenda:

• Problémy, které byly většinou vyřešeny, jsou zvýrazněny zeleně.
• Problémy, které byly částečně vyřešeny, jsou zvýrazněny žlutě.
• Problémy, které stále nejsou vyřešeny, jsou zvýrazněny červeně.

Hilbertův první problém

V dnešní teorii množin dnes matematici většinou vycházejí ze ZFC , systému Zermelo-Fraenkelova axiomu s axiomem volby (ten je někdy vynechán), který formálně zdůvodňuje všechny matematické úvahy. Dá se ukázat, že na tomto základě mnoho sady mají stejný výkon, jako například množina reálných čísel, soubor komplexních čísel , ale spíše (reálnou) interval nebo napájecí sada z přirozených čísel . Kontinuum hypotéza nyní říká, že všechny množiny, které již nemohou být počítány , to znamená, že nemůže být uvedena do poměru 1: 1 vztah s přirozených čísel , mají alespoň sílu reálných čísel. ${\ displaystyle [0,1]}$

Kurt Gödel dokázal v roce 1939 ukázat, že hypotéza kontinua pro ZFC je relativně bez rozporů: Pokud ZFC nevede k rozporu, tato vlastnost je zachována, pokud je systém axiomů doplněn hypotézou kontinua. Paul Cohen konečně dokázal v roce 1963 ukázat, že negace hypotézy kontinua je také relativně konzistentní se ZFC, takže ji nelze odvodit ze ZFC. Z toho vyplývá, že hypotéza kontinua je nezávislá na klasickém systému axiomů a v případě potřeby ji lze použít jako nový axiom. Aby to dokázal, vyvinul Cohen jednu z nejdůležitějších metod teorie axiomatické množiny, metodu vynucování , která byla také použita při vyšetřování nezávislosti mnoha dalších vět v ZFC.

Související otázkou, kterou Hilbert přidal při formulaci svého problému, je, zda existuje řádné uspořádání reálných čísel. Ernst Zermelo dokázal na základě ZFC dokázat, že tomu tak skutečně je. Bez axiomu volby, tj. V systému ZF, nelze tvrzení zobrazit.

• Donald A. Martin : Hilbertův první problém: hypotéza kontinua . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 81-92.

Hilbertův druhý problém

V roce 1889 popsal Giuseppe Peano aritmetický systém axiomů, který měl vytvořit základ matematiky. Hilbert byl přesvědčen, že by mělo být možné ukázat, že teprve od tohoto základu v konečném počtu kroků ( konečnými metodami) nelze vyvolat žádný rozpor. Kurt Gödel však tuto naději zničil, když v roce 1930 ukázal svou teorémou o neúplnosti, že to není možné pomocí pouze Peanoových axiomů . S transfinitními metodami, které podle původního Hilbertova programu nebyly povoleny, se Gerhardu Gentzenovi v roce 1936 podařilo prokázat konzistenci aritmetiky.

• Georg Kreisel : Co jsme se dozvěděli o Hilbertově druhém problému? In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 93 - 130.

Hilbertův třetí problém

Dvě těla se nazývají stejná, pokud lze jedno rozdělit na konečný počet částí, aby bylo možné jednotlivé části znovu spojit a vytvořit druhé tělo. Ve dvojrozměrné rovině mají polygony stejnou oblast právě tehdy, pokud mají stejný rozklad (viz Bolyai-Gerwienova věta ). Existuje elementární teorie založená na rozdělení oblasti jednoduchých obrazců (polygonů) ohraničených rovnými stranami na trojúhelníky a jedna není závislá na neelementárních metodách, jako je metoda vyčerpání , která vyžaduje překročení hranice a pro povrchy se zakřivenými hranami Aplikace přichází. Vyvstává otázka, zda tento výsledek platí i v trojrozměrném prostoru.

Max Dehn , student Hilberta, byl schopen odpovědět na tuto otázku „Ne“ již v roce 1900, krátce po zveřejnění 23 problémů. Za tímto účelem přidělil každému mnohostěnu číslo zvané úsek invariantní . Kromě svazku bylo mnohostěnům přiděleno další číslo, které při rozkladu mnohostěnů zůstalo stejné (neměnné). Závislo to na úhlech sousedních stran v mnohostěnu a jeho délkách okrajů (a je definováno jako součet tenzorových součinů délky okraje a úhlu stran přiléhajících k okraji přes všechny okraje mnohostěnu). S pozorováním, že každá krychle má Dehnův invariant a každý pravidelný čtyřstěn má jiný Dehnův invariant, následuje tvrzení. Problém je první na Hilbertově seznamu, který má být vyřešen. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0}$

Zatímco Dehn ukázal, že rovnost expanze v trojrozměrném euklidovském prostoru vyžaduje rovnost čísel expanze (pro svazek to již bylo jasné), JP Sydler v roce 1965 ukázal, že to je také dostatečné : dva mnohostěny se rovnají expanzi tehdy a jen tehdy, objem a číslo rozšíření jsou stejné. U více než čtyř dimenzí (u čtyř dimenzí lze dokázat podobnou větu pomocí Hadwigerových invariants místo Dehnových invarianty, zobecnění Dehnových invarianty na vyšší dimenze zavedené Hugem Hadwigerem ) nebo například neeuklidovského prostoru, ne srovnatelný výsledek je znám. Pokud bychom omezili pohyby na překlady, rovnost rozkladu mnohostěnů lze charakterizovat pomocí Hadwigerových invariantů v jakékoli dimenzi.

• CH Saw: Hilbertův třetí problém: shoda nůžek . Pitman, 1979.
• VG Boltianskii: Hilbertův třetí problém . Wiley, 1978.

Hilbertův čtvrtý problém

Po více než 2000 let se geometrie učila pomocí pěti axiomů Euclida. Ke konci 19. století se začalo zkoumat důsledky přidávání a odebírání různých axiomů. Lobachevskij zkoumal geometrii, ve které axiom paralely neplatí, a Hilbert zkoumal systém, ve kterém archimédský axiom chyběl. Hilbert nakonec ve své knize stejného jména podrobně prozkoumal axiomatické základy geometrie. Ve svých 23 problémech nakonec vyzval k „seznamu a systematickému zpracování [...] geometrií“, které uspokojí určitý systém axiomů, ve kterém nejkratší spojení mezi dvěma body je vždy přímka mezi body. Problém odpovídá zkoumání geometrií, které jsou co nejblíže obvyklé euklidovské geometrii. V Hilbertově systému axiomů euklidovské geometrie jsou zachovány axiomy dopadu, uspořádání a kontinuity, ale axiomy kongruence jsou oslabeny: silný axiom kongruence III-6 (trojúhelníková kongruence) se již nepředpokládá, ale že délka sides in a triangle is less than or equal to Is the sum of the length of the other two (which is equivalent to the fact that the straight line is the shortest connection between two points). Euklidova věta, že přímka je nejkratší spojení mezi dvěma body, byla odvozena pomocí věty o trojúhelníkové shodě. Hilbert našel příklad takové geometrie blízké euklidovské geometrii s novými postuláty v geometrii čísel od Hermanna Minkowského a sám Hilbert dal další příklad.

Již v roce 1901 dokázal Georg Hamel , student Hilberta, učinit důležitá prohlášení o těchto systémech ve své disertační práci, kterou vydal v roce 1903. V případě roviny dokázal specifikovat a klasifikovat celou řadu takových geometrií, z nichž jsou typické příklady Hilbertovy a Minkowského geometrie. Podle Isaaka Moissejewitscha Jagloma Hamel určitým způsobem vyřešil čtvrtý Hilbertův problém s omezením, že použil analytické metody variačního počtu, které jsou v základním geometrickém výzkumu méně žádoucí, protože vytvářejí další předpoklady (požadavky na diferencovatelnost). V nadcházejících desetiletích byly opakovaně publikovány příspěvky, které přispěly k dalším výsledkům ke čtvrtému Hilbertovu problému. Herbert Busemann se mimo jiné intenzivně zabýval dotyčnými geometriemi a napsal o nich monografii. Podle Busemanna Hilbert dal problém příliš daleko, pravděpodobně proto, že nerozuměl, kolik takových geometrií existuje, a je třeba předpokládat další omezení (axiomy). Busemannova metoda byla rozšířena Alexejem Wassiljewitschem Pogorelowem , který v roce 1979 vydal monografii o čtvrtém problému.

• Herbert Busemann: Geometrie geodetiky . Academic Press 1955, Dover 2005.
• Herbert Busemann: Problém IV: Desarguesiánské prostory . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 131-141.
• AV Pogorelov: Hilbertův čtvrtý problém . Winston a Wiley, 1979.

Hilbertův pátý problém

Na konci 19. století se Sophus Lie a Felix Klein snažili axiomatizovat geometrii pomocí skupinových teoretických prostředků, ale na základě předpokladů o diferencovatelnosti určitých funkcí. Hilbert si položil otázku, jakým způsobem teorie stále platí bez těchto předpokladů. Protože oblast algebraické topologie se rozvinula až ve 20. století, formulace problému se postupem času změnila. Hilbertova původní verze odkazovala pouze na skupiny kontinuální transformace.

Podrobnější formulace problému je následující: Uvažujme skupinu s neutrálním prvkem , což je otevřený soubor v Euclidean prostoru , které obsahuje, a kontinuální mapy , která splňuje skupina axiomy na otevřeném podmnožina of . Otázkou tedy je, zda na okolí hladkého , tj. Nekonečně často , je rozlišitelné . Poté, co John von Neumann (1933, řešení pro kompaktní skupiny), Lew Pontryagin (1939, řešení pro abelianské skupiny) a Claude Chevalley (řešitelné topologické skupiny, 1941) byli schopni řešit speciální případy (a další matematici dokázali vyřešit problém pro rozměry až čtyři), následovali Andrew Gleason , Deane Montgomery a Leo Zippin v 50. letech, konečné objasnění problému. Dokonce dokázali, že lokálně euklidovské topologické skupiny jsou skutečně analytické. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle F \ dvojtečka V \ krát V \ do U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle e}$

Důkaz byl velmi technický a komplikovaný. Joram Hirschfeld podal v rámci nestandardní analýzy jednodušší důkaz . Problém byl velmi módní v období po druhé světové válce a řešení nalezené v roce 1952 prakticky ukončilo oblast výzkumu po Jean-Pierre Serreovi , který se jej poté pokoušel vyřešit sám.

Otázka je otevřená: Je lokálně kompaktní topologická skupina, jejíž skupinové operace věrně fungují na topologickém potrubí, Lieova skupina? (Hilbert-Smith dohad po Hilbert a Paul A. Smith ). Příkladem by mohla být celá čísla p-adic . Neplatí pro ně, že nemají malé podskupiny - podmínku, která podle Gleasona, Montgomeryho a Zippina charakterizuje Lieovy skupiny mezi místně kompaktními topologickými skupinami. Topologická skupina nemá žádné malé podskupiny, pokud existuje sousedství jednotky , která neobsahuje podskupiny větší než . Někteří matematici považují Hilbert-Smithovu domněnku za skutečně správnou formulaci Hilbertova problému. ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ {e \}}$

• A. Gleason: Skupiny bez malých podskupin . Annals of Mathematics , svazek 56, 1952, s. 193-212.
• D. Montgomery, L. Zippin: Malé skupiny konečných dimenzionálních skupin. Annals of Mathematics, svazek 56, 1952, s. 213-241.
• I. Kaplansky: Lie algebry a lokálně kompaktní skupiny . University of Chicago Press, 1964.
• CT Yang: Hilbertův pátý problém a související problémy transformačních skupin . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 142-146.

Hilbertův šestý problém

Podle Leo Corryho šestý problém nepřijímá v seznamu problémů pro Hilberta roli outsidera, jak se často předpokládá, ale po dlouhou dobu (minimálně od roku 1894 do roku 1932) centrálně odpovídal jeho zájmům ). Tento program zahrnuje například jeho dobře známé odvození polních rovnic obecné relativity z variačního principu (1916). Podle Corryho také došlo k nepochopení Hilbertovy koncepce jeho programu axiomatizace, který byl založen hlavně na Hilbertově pozdějším programu pro založení matematiky, který v souvislosti s fyzikou primárně sloužil k objasnění logické struktury zavedených teorií. V době své přednášky Hilbert stále navazoval na tradici 19. století, kdy chtěl redukovat fyziku na mechaniku, a jeho formulace se v té době soustředila na mechaniku, silně ovlivněnou výzkumem Heinricha Hertze o základech mechaniky a Ludwigem Boltzmannem (přechod od statistické mechaniky k mechanice kontinua). Později Hilbertův zájem šel mnohem dále než tento; nejpozději do roku 1905 jej také rozšířil o elektrodynamiku, kterou ve svém seznamu problémů výslovně nezmínil. V roce 1905 přednesl přednášku o axiomatizaci fyziky, do které mimo jiné zahrnul termodynamiku a elektrodynamiku. Jeho snahy o axiomatizaci geometrie byly také motivovány k tomu, aby poskytla zásadně empirickou teorii přísný základ (a zjednodušil ji). Protože také zahrnoval teorii pravděpodobnosti, její axiomatizaci lze vnímat jako příspěvek k Hilbertovu programu.

Vždy existovaly přístupy k axiomatizacím v podoblastech fyziky, například termodynamika ( Constantin Caratheodory ), kvantová teorie pole ( Arthur Wightman a Wightman axiomy , Rudolf Haag , Daniel Kastler , Huzihiro Araki a Haag- Kastlerovy axiomy, Osterwalder- Schraderovy axiomy ), Topologická kvantová teorie pole, teorie konformních polí a fyzici, kteří se zabývali základní strukturou fyzikálních teorií, jako je Günther Ludwig .

• Joseph Kouneiher (ed.): Základy matematiky a fyziky jedno století po Hilbertovi: Nové perspektivy, Springer 2018
• Leo Corry: Hilbertův šestý problém: mezi základy geometrie a axiomatizací fyziky . Phil. Trans. R. Soc. A 376 (2118), 2018, 20170221; doi : 10.1098 / rsta.2017.0221 .
• Arthur Wightman: Hilbertův šestý problém: matematické zpracování axiomů fyziky . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 147-240.

Hilbertův sedmý problém

Komplexní číslo se nazývá algebraické, pokud se jedná o nulu polynomu s celočíselnými koeficienty, jinak se nazývá transcendentní . Například druhá odmocnina 2 je číslo, které již není racionální , ale stále je algebraické jako nula . Skutečná čísla, která již nejsou algebraická (a tedy transcendentní ), jsou například číslo kruhu nebo Eulerovo číslo . ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle e}$

V Hilbertově době již byly nějaké výsledky o transcendenci různých čísel. Výše uvedený problém mu připadal obzvláště obtížný a doufal, že jeho řešení poskytne hlubší pochopení podstaty čísel. Poté, co byl problém poprvé vyřešen pro několik zvláštních případů ( Alexander Gelfond 1929, Rodion Kusmin 1930), byl Alexander Gelfond schopen prokázat prohlášení v roce 1934. Krátce nato Theodor Schneider větu dále vylepšil , takže odpověď na sedmý problém Hilberta je nyní známá jako Gelfond-Schneiderova věta .

Hilbertův sedmý problém lze také chápat jako tvrzení o dvojicích logaritmů algebraických čísel (jmenovitě to, že jejich lineární nezávislost nad racionálními čísly vede k lineární nezávislosti nad algebraickými čísly). V této formulaci Alan Baker větu podstatně rozšířil.

Na zobecnění Hilbertovy otázky by odpověděl důkaz nebo vyvrácení Schanuelova domněnky , kterou v 60. letech předložil Stephen Schanuel .

• Robert Tijdeman : Hilbertův sedmý problém: Gelfond-Bakerova metoda a aplikace . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 241-268.

Hilbertův osmý problém

Dva zmíněné problémy jsou známé jako Riemannova hypotéza a Goldbachova hypotéza a jsou to dva nejpopulárnější nevyřešené problémy v matematice. Pro první otázku již bylo vypočítáno více než bilion nul a nebyly nalezeny žádné, které by předpoklad vyvracely. Druhá otázka již byla zkoumána řádově . Ale dodnes nebyly nalezeny žádné důkazy. Důkaz analogie Riemannovy domněnky o křivkách nad konečnými poli Pierre Deligne , který je součástí Weilových domněnek, byl považován za významný pokrok . ${\ displaystyle 10 ^ {18}}$

Pod nadpisem „Problémy s prvočísly “ sestavil Hilbert ještě více otázek týkajících se prvočísel . Například se uvádí (i stále nevyřešený) otázku, zda existuje nekonečné množství primárních dvojčat a zda rovnice s libovolným celým číslem, relativně prime koeficienty , a vždy prvočíslo řešení , je mírná úprava Goldbach dohadu a podobně nevyřešený. ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle}$

• Enrico Bombieri : Hilbertův 8. problém: analog . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, str. 269-274.
• Hugh Montgomery : Problémy týkající se prvočísel (Hilbertův problém 8) . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 1, 1976, s. 307.

Hilbertův devátý problém

Zákon o kvadratické vzájemnosti prokázaný Gaussem (formulovaný se symbolem Legendre ):

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}}$

dává kritéria pro řešení kvadratických rovnic v modulární aritmetice a se svými zobecněními hraje ústřední roli v algebraické teorii čísel. V 19. století již byly známy různé vyšší zákony vzájemnosti, a to i od Hilberta ve své zprávě o číslech , kde ve formulaci představil Hilbertovy symboly . Hilbert požádal o formulaci a důkaz pro obecná algebraická pole čísel . S vývojem teorie třídního pole počínaje Teijim Takagim byly k dispozici potřebné prostředky, aby Emil Artin mohl vyřešit problém v Abelianově expanzi algebraických číselných polí ( Artinův zákon vzájemnosti , 1924) a Helmut Hasse také prokázal věty o vzájemnosti v teorie pole. V roce 1948 dosáhl Igor Schafarewitsch významného pokroku v otázce výslovných vzorců pro tento zákon o vzájemnosti , přičemž Helmut Brückner , Sergei Wladimirowitsch Vostokow a Guy Henniart jeho výsledky zjednodušili a rozšířili. Nelze zatím dosáhnout dalšího zobecnění neabelianského případu a je jedním z hlavních problémů algebraické teorie čísel, které souvisí také s 12. problémem Hilberta.

• John T. Tate : Obecný zákon o vzájemnosti . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 311-323.

Hilbertův desátý problém

Diophantine rovnice jsou rovnice formě , kde polynom ve více proměnných a s celočíselnými koeficienty a pouze celá čísla, se považují za řešení. Známým příkladem je rovnice související s Pythagorovskou větou . Diophantine rovnice hrají důležitou roli v historii matematiky a mnoho skvělých matematiků tyto vzorce důkladně studovalo. ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0}$

Ačkoli zvláštní případy mohly být vždy vyřešeny, obecné řešení se matematikům v 19. století zdálo nepřístupné. Proto se Hilbert zeptal pouze na to, jak lze zkontrolovat, zda diophantinská rovnice vůbec má celočíselná řešení, aniž by je bylo možné přesně vyjádřit. Tento problém je však stále tak obtížný, že až v roce 1970 byl Jurij Matijasevič schopen prokázat, že takový postup pro obecný případ neexistuje. Julia Robinson , Martin Davis a Hilary Putnam provedli přípravné práce .

Při zvažování algoritmické řešitelnosti stačí vzít v úvahu diofantické rovnice čtvrtého nebo nižšího stupně, na které lze problém zmenšit ( Thoralf Skolem 1934). Podle Matyasevicha neexistuje žádný algoritmus pro obecnou diofantickou rovnici čtvrtého stupně. Nevyřešenou otázkou je, zda existuje něco pro obecnou kubickou rovnici. U kvadratických a lineárních rovnic však Carl Ludwig Siegel v roce 1972 ukázal, že takový algoritmus existuje.

Pokud se podíváme na kruh algebraických celých čísel místo řešení v celých číslech, existuje takový algoritmus podle Roberta Rumelyho (1986).

• Martin Davis, Reuben Hersh: Desátý problém Hilberta . Scientific American, svazek 229, listopad 1973.
• Martin Davis: Desátý problém Hilberta je neřešitelný . American Mathematical Monthly, svazek 80, 1973, str. 233-269.
• Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Julia Robinson: Hilbertův desátý problém, diofantické rovnice, kladné stránky záporného řešení . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 323-378.
• Jurij Matijasevič: Hilbertův desátý problém . MIT Press, 1996.
• Alexandra Shlapentokh: Desátý problém Hilberta: Diophantine třídy a rozšíření globálních polí . Cambridge UP, 2006.

Hilbertův jedenáctý problém

Čtvercový tvar je funkcí tvaru , kde je vektor a symetrické matice . V 19. století byla nad racionální čísla získána rozsáhlá znalost kvadratických forem. Hilbert se zeptal na rozšíření jakýchkoli algebraických číselných polí a libovolného počtu proměnných. V dekádách po Hilbertově přednášce byly publikovány četné výsledky, které se tématem podrobně zabývají. Jako hlavní výsledek se počítá lokálně-globální princip , který formuloval Helmut Hasse v roce 1923 (teorém Hasse-Minkowského). Poté následuje globální řešitelnost (přes pole racionálních čísel, globální pole ) z lokálních (přes místní pole , pole p-adic a reálných čísel) pro kvadratické formy . Další příspěvky poskytli Ernst Witt (geometrická teorie čtvercových tvarů) a Carl Ludwig Siegel (analytická teorie).${\ displaystyle q (x) = x ^ {T} sekera}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$

• Timothy O'Meara : Hilbertův jedenáctý problém: aritmetická teorie kvadratických forem . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 379-400.

Hilbertův dvanáctý problém

Kronecker Weber teorém říká, že maximální abelovská rozšíření pole z racionálních čísel je vytvořena pomocí adjunkce ze všech kořenů z jednoty (polních kruhového divize). V tomto případě jsou speciální hodnoty exponenciální funkce spojeny s racionálními čísly, obecně to mohou být také hodnoty jiných speciálních funkcí, jako jsou eliptické funkce (spojení mezi rozšířeními imaginárních kvadratických číselných polí a eliptickými křivkami s komplexní násobení bylo předmětem Kroneckerova „Jugendtraum“) a jeden by chtěl explicitní popis těchto rozšíření. Zobecnění této věty přisuzoval Hilbert velký význam. I když ve 20. století došlo v této oblasti k mnoha pokrokům (například takzvaná těla CM podle Góra Šimury a Yutaka Taniyama (jejich monografie se objevila v roce 1961), které jsou spojeny s abelianskými odrůdami s komplexním množením), k řešení Hilberts: Dvanáctý problém však dosud nenastal.

• Robert Langlands : Některé současné problémy s počátky v Jugendtrau (Hilbertův problém 12) . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 401-418 ( online ).
• Norbert Schappacher : K historii dvanáctého problému Hilberta, in: Michele Audin (Ed.), Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle Actes du colloque à la mémoire de Jean Dieudonné (Nice 1996), SMF 1998

Hilbertův třináctý problém

Problém má kořeny v teorii algebraických rovnic, o které je již od Galoise a Ábela známo, že řešení rovnic pátého a vyššího stupně nelze dát jako funkci koeficientů pomocí elementárních aritmetických operací a radikálních výrazů. Redukce na standardní formy, například s Tschirnhausovými transformacemi a spojením dalších rovnic v jedné proměnné, obecně nevedla k požadovanému úspěchu. Ačkoli rovnici pátého stupně bylo možné zredukovat na standardní formu s jedním parametrem, rovnici šestého stupně na jednu se dvěma parametry, rovnice sedmého stupně uspěla pouze v redukci na normální formu se třemi parametry a, b a c:

${\ displaystyle f ^ {7} + a \, f ^ {3} + b \, f ^ {2} + c \, f + 1 = 0}$

Hilbert měl podezření, že to nelze snížit na dva parametry, a to ani v široké třídě spojitých funkcí. V této obecné podobě, ať už existují spojité funkce ve třech proměnných, které nelze reprezentovat jako zřetězení konečně mnoha spojitých funkcí ve dvou proměnných, Hilbertovu domněnku vyvrátili Andrei Kolmogorow a Wladimir Arnold v roce 1957. Kolmogorow nejprve ukázal, že každá spojitá funkce proměnných může být vyjádřena funkcemi tří proměnných superpozicí, a jeho student Arnold to vylepšil na dvě proměnné. Použité funkce ani nemusí být diferencovatelné, a proto ani algebraické. ${\ displaystyle n}$

Domněnka zůstala otevřená, když se uvažuje o jiných třídách, které zahrnují algebraické funkce. V případě analytických funkcí Hilbert již v případě tří proměnných zjistil, že existují proměnné ve třech proměnných, které nelze reprezentovat proměnnými ve dvou proměnných, a Alexander Markowitsch Ostrowski v roce 1920 prokázal, že ty ve dvou proměnných nelze obecně reprezentovat těmi v jedné proměnné jsou reprezentovatelné. Rovněž byla zkoumána otázka, zda p-krát spojitě diferencovatelné funkce n proměnných mohou být reprezentovány q-krát diferencovatelnými m proměnnými. Wituschkin v roce 1955 ukázal, že to obecně není možné. lze chápat jako míru složitosti p-násobných diferencovatelných funkcí v n proměnných.${\ displaystyle {\ frac {m} {q}} <{\ frac {n} {p}}}$${\ displaystyle {\ frac {n} {p}}}$

Problém s řešením vyžaduje minimální k, takže řešení algebraické rovnice n-tého stupně lze vyjádřit superponováním algebraických funkcí k proměnných. Pro je . V práci z roku 1926 Hilbert předpokládal, že v obou případech pro a zjistil, že v . Anders Wiman ukázalo, že pro skutečné více výsledků dosaženo Nikolaj Chebotaryov , například pro . Od roku 2016 se Benson Farb a Jesse Wolfson také zabývali touto variantou Hilbertovy 13. úlohy a dosáhli dílčích výsledků pro polynomy vyššího stupně v omezení k (stupeň rozlišení podle Richarda Brauera ), které považují za skutečné formulace Hilbertovy 13. úlohy. Vladimir Arnold v recenzi svého celoživotního díla rovněž uvedl, že podle jeho současného názoru by otázka reprezentace (superpozice) algebraické funkce ve třech proměnných jednou ze dvou proměnných více odpovídala Hilbertovu problému.${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2,3,4}$${\ displaystyle n = 6,7,8}$${\ displaystyle n = 9}$${\ displaystyle k = 4}$${\ displaystyle n \ geq 9}$${\ displaystyle k \ leq n-5}$${\ displaystyle k \ leq n-6}$${\ displaystyle n \ geq 21}$

• George G. Lorentz : 13. problém Hilberta . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 419-430.
• Jean-Pierre Kahane : Le 13èmeproblemème de Hilbert: un carrefour de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie . In: Cahiers du seminaire d'histoire des mathématiques . Svazek 3, 1982, s. 1-25 ( online ).
• Anatoly Georgijewitsch Wituschkin : K třináctému Hilbertovu problému . In: P. Alexandrov (ed.): Hilbertovy problémy . Harri Deutsch, 1998.

Hilbertův čtrnáctý problém

Ve čtrnáctém problém Hilbert popisuje speciální kroužky: Nechte si polynom kroužek nad tělem , sub-orgánem těla z racionálních funkcí v proměnných a bude křižovatka ${\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L \ subseteq K (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R: = L \ cap K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$

Otázkou tedy je, zda takto konstruované prstence jsou vždy generovány konečně , tj. Zda existuje konečná podmnožina prstence, který generuje. ${\ displaystyle R}$

Problém vznikl v kruhu invariantní teorie (kruhy pod působením určitých skupin invariantních polynomů) vzkvétající na konci 19. století, ve kterém Hilbert sám způsobil rozruch v roce 1890 tím, že prokázal konečnou vyrobitelnost polynomiální invariantní prstence v případě některých klasických polojednodušších lžových skupin (jako obecná a speciální lineární skupina) a zvážení komplexních čísel. Přitom použil základní teorém , který dokázal . To bylo tím, že Hermann Weyl byl později rozšířen na všechny pololehké Lieovy skupiny. Oscar Zariski formuloval problém v kontextu algebraické geometrie.

Až do roku 1950 bylo možno prokázat u některých zvláštních případech, ve zvláštních případech a (Oscar Zariski), že prstence postavené tímto způsobem jsou skutečně konečné. Výsledky proto naznačují, že toto tvrzení by se mohlo vztahovat také na všechny kroužky popsaného typu. Výsledek Masayoshi Nagata byl proto překvapením , který v roce 1957 uvedl protiklad, ve kterém tomu tak není, a vyřešil tak problém negativně.${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n = 2}$

• Masayoshi Nagata: K 14. problému Hilberta . American Journal of Mathematics, svazek 81, 1959, str. 766-772, ISSN  0002-9327 .
• David Mumford : Hilbertův čtrnáctý problém - konečná generace podřetězců, jako jsou prsteny invariantů . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 431-444.

Hilbertův patnáctý problém

Schubertův počítací počet se datuje do 19. století a týká se průsečíků algebraických odrůd. To bylo převzato italskou školou algebraické geometrie ( Francesco Severi a další), ale oni používali non-přísné metody (heuristické argumenty kontinuity pro invariance čísel průniku). S dalším rozvojem algebraické geometrie ve 20. století se postupně staly dostupnými matematické pomůcky, kterými by mohla být formována práce Hermanna Schuberta (včetně teorie multiplicity Alexandra Grothendiecka , Pierra Samuela , topologické práce Reného Thoma , příspěvků mimo jiné Stevena Kleiman , William Fulton , Robert MacPherson , Michel Demazure ). Problémové oblasti se dnes říká počítání geometrie . Problém však nelze považovat za vyřešený.

• Steven Kleiman: Důkladný základ Schubertova počtu . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 445-482.

Hilbertův šestnáctý problém

Algebraické křivky jsou podmnožiny roviny, které jsou určeny polynomiálními rovnicemi. Patří mezi ně například jednotkový kruh ( ) nebo jednoduché přímé čáry ( ). V roce 1876 ​​dokázal Axel Harnack ukázat, že takové sady polynomů stupně (nazývané také křivky - ten řád) mohou sestávat z většiny částí (spojených komponent), které mají tvar uzavřených křivek (ovály) (protože projektivní rovina je možná považováno za Zahrnutí bodu do nekonečna). Byl také schopen zkonstruovat příklady, které také dosahují tohoto maximálního počtu („M křivky“). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle ax + b = y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (n-1) (n-2) +1}$

Hilbert léčil případ pomocí jiných metod než Harnack v roce 1891 a našel další konfigurace, které nemohly být nalezeny konstrukčními metodami Harnack. Zjistil, že díly nelze nikde v letadle uspořádat. Například předpokládal, že jedenáct komponent M-křivek šestého řádu vždy leží takovým způsobem, že devět komponent je uvnitř smyčky a poslední komponenta běží mimo tuto smyčku (nebo naopak v Harnackově konfiguraci devět komponent je venku a jedna složka v druhé) a požádali v první části šestnáctého problému o podrobnější prozkoumání vztahů tohoto druhu. ${\ displaystyle n = 6}$

To se stalo s vývojem topologie skutečných algebraických variet . Ivan Georgijewitsch Petrowski uznal roli topologických invariantů v problému ve 30. letech (a nezávisle také na Hilbertově studentce Virginii Ragsdale ) a v roce 1949 společně s Olgou Oleinik prokázal nerovnosti problému, který zahrnoval Eulerovu charakteristiku. Předpoklad Hilberta pro křivky šestého stupně vyvrátil v roce 1969 DA Gudkov ve své habilitační práci poté, co si ve své disertační práci v roce 1954 myslel, že našel důkaz. Při habilitaci se jeho nadřízenému nelíbilo, že výsledná postava všech konfigurací nebyla symetrická, a nakonec v maximálním případě našel další konfiguraci, která Hilbertovi chyběla: pět oválů v jiném a pět venku. Dokončil klasifikaci (s výjimkou izotopie) ne-singulárních rovinných algebraických projektivních křivek stupně 6.

Od doby Hilberta postup M-křivek spočíval v deformaci nesingulárních výstupních křivek (metoda Hilberta-Rohna-Gudkova), ale vyžadoval pokročilou teorii singularity, která v době Hilberta ještě neexistovala. Gudkov předpokládal, že v případě rovinných křivek sudého stupně platí maximální počet oválů ( je počet sudých oválů, tj. Obsažený v sudém počtu oválů, a počet lichých oválů). V roce 1971 Wladimir Arnold prokázal částečný výsledek ( ) a zároveň formuloval problém takovým způsobem (komplexizací a úvahou o Riemannově sféře), že byl zřejmý skutečný topologický důvod omezení konfigurací. Brzy Wladimir Abramowitsch Rochlin zveřejnila důkaz zbytek Gudkov domněnky, ale brzy zjistil, že to bylo špatné, a tak byl dohad. Ale našel zobecněnou verzi (s kongruencí modulo 16 místo 8) a dokázal to. Arnold sám a další také prokázali nerovnosti (pro číselné invarianty týkající se polohy oválek). Případ klasifikace v křivkách sedmého stupně vyřešil v roce 1979 Oleg Viro , takže případ klasifikace rovinných projektivních ne singulárních algebraických křivek na izotopové je vyřešen na (s významným pokrokem v případě M-křivek ), s jednoduché případy byly vyřešeny již v 19. století. ${\ displaystyle d = 2k}$${\ displaystyle po = k ^ {2} {\ bmod {8}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle po = k ^ {2} {\ bmod {4}}}$${\ displaystyle n \ leq 7}$${\ displaystyle n = 8}$${\ displaystyle n \ leq 5}$

Další výsledky zmíněné Hilbertem se týkají trojrozměrného ekvivalentu otázky: Karl Rohn již v 19. století ukázal, že algebraické povrchy čtvrtého řádu mohou sestávat z maximálně dvanácti povrchů. Přesná horní hranice nebyla v té době známa. VM Kharlamov dokázal v roce 1972, že je to 10, a tyto studie ne-singulárních kvartických povrchů dokončil ve třech rozměrech do roku 1976. Problémy, které Hilbert výslovně představoval, tak vyřešila Leningradská škola (DA Gudkov, VM Kharlamov, Vladimir Arnold, Vladimir Abramovich Rochlin) konečně vyřešen v období od roku 1969 do roku 1972.

Zatímco první část 16. Hilbertovy úlohy se týká rovinné reálné algebraické geometrie, druhá část se ptá na existenci horní meze počtu mezních cyklů rovinných polynomiálních dynamických systémů a tvrzení o jejich relativní poloze. Problém zůstává nevyřešen a byl přidán do seznamu matematických úloh Stephena Smaleho . Kromě Riemannovy domněnky považuje Smale tento problém za nejtěžší z Hilbertových problémů. Při řešení problému nedošlo ani k významnému pokroku a ani u polynomů stupně není známa horní hranice. Je známo pouze to, že počet limitních cyklů je konečný ( červenec Sergeyevich Ilyashenko , Jean Écalle , poté, co se ukázalo , že důkaz Henri Dulac z roku 1923 je chybný). ${\ displaystyle n = 2}$

• Oleg Viro: 16. Hilbertův problém, příběh tajemství, chyb a řešení . Prezentační snímky, Uppsala 2007 ( PDF; 2,9 MB ).

Hilbertův sedmnáctý problém

Funkce s vlastností, která je pro všechny (v místech, kde je definována, tj. Neodchyluje se), také označována jako definitivní. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot, x_ {n}) \ geq 0}$${\ displaystyle x_ {i} = a_ {i} \ v k}$

Pokud jde o proměnné, sám Hilbert problém vyřešil v roce 1893. ${\ displaystyle n = 2}$

Obecný problém pozitivně vyřešil Emil Artin v roce 1927 . Práce byla výchozím bodem teorie formálně reálných těles a uspořádaných těles v algebře (viz také skutečná uzavřená tělesa ), kterou vyvinuli Artin a Otto Schreier . Byl také důležitý pro vývoj skutečné algebraické geometrie.

Artin dokázal: Pokud existuje určitá racionální funkce nad reálnými, racionálními nebo reálnými algebraickými čísly (obecně podpole reálných čísel, která umožňují pouze jedno uspořádání), pak je to součet čtverců racionálních funkcí:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = \ sum _ {i} {g_ {i}} ^ {2}}$

Albrecht Pfister později dokázal, že čtverce jsou pro proměnné dostačující.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

• Albrecht Pfister: Hilbertův sedmnáctý problém a související problémy v určitých formách . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů. AMS, část 2, 1976, str. 507-524.
• N. Jacobson: Přednášky o abstraktní algebře . Svazek 3, Van Nostrand 1964, nové vydání Graduate Texts in Mathematics, Springer (učebnicová ilustrace výsledků Artina).
• H. Benis-Sinaceur: De D. Hilbert a E. Artin: Les différents aspekty du dix-septièmeproblemème de Hilbert et les filiations conceptuelles de la théorie des corps réels clos . Arch. Hist. Exact Sci., Sv. 29, 1984, str. 267-286.

Hilbertův osmnáctý problém

První částí Hilbertovy osmnácté úlohy je matematická formulace otázky z krystalografie . Mnoho pevných látek má na atomové úrovni krystalickou strukturu, kterou lze matematicky popsat pomocí skupin pohybů. Již brzy bylo možné ukázat, že na úrovni 17 a místnosti 230 jsou výrazně odlišné skupiny místností. Ludwig Bieberbach konečně dokázal v roce 1910 ukázat, že toto číslo je vždy konečné i ve vyšších dimenzích ( Bieberbachovy věty ).

Ve druhé části problému se Hilbert ptá, zda v trojrozměrném prostoru existují mnohostěny, které se nejeví jako základní oblast pohybové skupiny, ale s nimiž lze celý prostor stále obkládat bez mezer. Karl Reinhardt dokázal na příkladu ukázat, že tomu tak je poprvé v roce 1928. Tato oblast je oblastí aktivního výzkumu ( např. Kvazikrystaly podle Rogera Penrosa , obdobné fraktální dlaždice od Williama Thurstona).

Nakonec se Hilbert zeptá na prostorově nejúspornější způsob uspořádání koulí v místnosti. Již v roce 1611 navrhl Johannes Kepler předpoklad, že kubické těsnění se středem tváře a šestihranné těsnění jsou optimální. Ukázalo se, že toto tvrzení, známé také jako Keplerova domněnka , je velmi obtížné, i když nepřekvapivě. Teprve v roce 1998 zveřejnil Thomas Hales počítačově podporovaný důkaz, který byl nyní (2010) zkontrolován a schválen. Nejbližší zabalení koulí do vyšších dimenzí je stále aktivní oblastí výzkumu.

• John Milnor : Hilbertův problém 18: O krystalografických skupinách, základních doménách a balení koulí . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 491-506.

Hilbertův devatenáctý problém

Hilbert zjistil, že je pozoruhodné, že existují parciální diferenciální rovnice (například Laplaceova rovnice nebo rovnice minimální plochy ), které umožňují pouze analytická řešení, tj. Řešení, která lze lokálně reprezentovat výkonovými řadami . Podle Hilberta všechny souvisí s variačními problémy (jako řešení souvisejících Euler-Lagrangeových rovnic ), které splňují určité podmínky pravidelnosti. Hilbert poté formuloval problém jako problém pravidelnosti pro eliptické parciální diferenciální rovnice s analytickými koeficienty.

Již v roce 1903 byl Sergej Bernstein schopen vyřešit problém prokázáním analytičnosti řešení určité třídy diferenciálních rovnic, které rovněž zahrnují dotyčné rovnice, za předpokladu, že existují třetí derivace řešení a jsou omezené. Bernstein zpracoval eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu ve dvou proměnných. Později byli mimo jiné schopni výsledek zobecnit Leon Lichtenstein , Eberhard Hopf , Ivan Petrovský a Charles Morrey . Kompletní řešení pak poskytli Ennio de Giorgi a John Forbes Nash v 50. letech.

Existuje několik zobecnění problému uvolněním omezení na funkcionály problému variace. Od konce 60. let zde však byli nalezeni Vladimír Gilelewitsch Masja , Ennio de Giorgi a další protiklady.

• Olga Oleinik : K devatenáctému Hilbertovu problému . In: Pavel S. Alexandrov (ed.): Hilbertovy problémy . Harri Deutsch, 1998, str. 275-278.

Hilbertův dvacátý problém

Dvacátý problém úzce souvisí s devatenáctým a také přímo souvisí s fyzikou. Hilbertovou motivací bylo jeho zaujetí a záchrana Dirichletova principu (1904), důkaz existence řešení zvláštního variačního problému, který použil Bernhard Riemann ve své práci o teorii funkcí, ale který byl poté zdiskreditován Karlem Weierstrassem kritika . Variační problém vedl k Laplaceově rovnici, speciálnímu případu eliptických parciálních diferenciálních rovnic, který považoval za řešení variačních úloh v 19. úloze. Zde se ptá na okrajové podmínky pro řešení parciální diferenciální rovnice, které zajišťují existenci řešení. Ukázalo se, že problém byl mimořádně plodný a že v této oblasti existují rozsáhlé výsledky, takže lze problém považovat za vyřešený. První důležité kroky k řešení přišly opět od Sergeje Bernsteina kolem roku 1910, další pokroky mimo jiné od Jean Leray (1939).

• David Gilbarg , Neil Trudinger : Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu . Springer, 3. vydání 1998.
• James Serrin : Dirichletův problém pro kvazilineární eliptické diferenciální rovnice s mnoha nezávislými proměnnými . Philosophical Transaction of the Royal Society A, svazek 264, 1969, str. 413-496.
• James Serrin : Řešitelnost problémů s hraničními hodnotami . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 507-524.
• Enrico Bombieri : Variační problémy a eliptické rovnice (Hilbertův problém 20) . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 525-536.

Hilbertův dvacátý první problém

Fuchsovy diferenciální rovnice jsou homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu v komplexu (při pohledu na Riemannovu sféru , tj. S bodem v nekonečnu ), ve kterém je určitým způsobem omezeno singulární chování koeficientových funkcí. Může být reprezentován jako ekvivalentní systém lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu s maticí koeficientových funkcí pouze s póly prvního řádu. Pokud někdo pokračuje v místně daném řešení kolem k singulárních míst , získá transformaci základního systému řešení sám o sobě prostřednictvím matice n × n, matice monodromy, při návratu do výchozího bodu . Homomorfismem do základní skupiny o se získá v obecné lineární skupiny . Problém je: existuje takový systém diferenciálních rovnic pro k dané singulární místa a libovolnou podskupinu jako monodromová matice? ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {df_ {i} (z)} {dz}} = \ součet _ {j} A_ {ij} (z) f_ {j} (z)}$${\ displaystyle A (z)}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} - \ {x_ {0}, \ cdots \ x_ {k} \}}$${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$

Poté, co mohla být otázka zpočátku kladně zodpovězena u některých zvláštních případů (včetně samotného Hilberta zabývajícího se tímto problémem a před tím Poincaré a Ludwig Schlesinger ) a až do 80. let 20. století se předpokládalo, že Josip Plemelj již našel řešení v roce 1908 ), s využitím teorie Fredholmových integrálních rovnic, byla v jeho důkazu na začátku 80. let nalezena mezera. Plemeljův důkaz neplatí pro všechny fuchsijské systémy, ale pouze s takzvanými pravidelnými singulárními místy (polynomiální růst funkce kolem singulárních míst), protože Andrej Bolibruch našel v roce 1989 protiklad. Bolibruch však zjistil, že existují takové diferenciální rovnice, pokud vezmeme v úvahu neredukovatelné reprezentace monodromní skupiny, a klasifikoval všechny fuchsijské systémy, pro které existuje monodromní reprezentace pro n = 3.

Rovněž byly zvažovány různé zevšeobecnění nad Fuchsovy diferenciální rovnice (například Helmut Röhrl ). Pro pravidelné singulární body a zobecnění konceptu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic se Pierre Deligne podařilo najít obecné pozitivní řešení problému.

• DV Anosov , AA Bolibruch: Aspekty matematiky - Riemann-Hilbertův problém. Vieweg, Braunschweig 1994, ISBN 3-528-06496-X .
• Helmut Röhrl : K dvacátému prvnímu Hilbertovu problému . In: Pavel S. Alexandrov (ed.): Hilbertovy problémy . Harri Deutsch, 1998 (zabývá se vývojem do 60. let).

Hilbertův dvacátý druhý problém

Je to jeden z nejznámějších matematických problémů té doby a mnoho výzkumů na něm bylo provedeno ve druhé polovině 19. století a na počátku 20. století. Cílem z uniformizaci je parametrizovat algebraické křivky dvou proměnných, tj. Jako náhrada proměnné s funkcemi, které jen na jedné proměnné. Například je uveden jednotkový kruh skrz , parametrizovaný pro a každý a použití. Hledaná uniformizační sada byla zevšeobecněním Riemannovy věty o mapování na kompaktních Riemannovych plochách a za její řešení bojovali Felix Klein a Poincaré na konci 19. století o konkurenci, ze které Poincaré původně vyšel jako vítěz. Hilbertův důkaz ho však neuspokojil. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle}$${\ displaystyle \ cos \ alpha}$${\ displaystyle \ sin \ alpha}$

V roce 1907 byli Poincaré a nezávisle Paul Koebe konečně schopni problém vyřešit - ale pouze pro případ se dvěma proměnnými. Pokud zobecníme problém na více než dvě proměnné, v oblasti stále existují nezodpovězené otázky (součást programu Williama Thurstona ).

• Lipman Bers : O Hilbertově dvacátém druhém problému . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 559-609.

Hilbertův dvacátý třetí problém

Variační počet je podle Hilberta slovy „doktrína variace funkcí“ a měl v jeho koncepci zvláštní význam. Proto již v poslední části své přednášky neformuluje konkrétní problém, ale vyzval k dalšímu rozvoji této oblasti obecně. S rozvojem a rozsáhlým rozšířením funkční analýzy bylo ve 20. století zohledněno Hilbertovo znepokojení, také v oblasti aplikací (např. Teorie optimálního řízení ). Hilbertova vlastní pozdější práce na Dirichletově principu stála na začátku zavedení „přímých metod“ do variačního počtu. Přehledy vývoje ve 20. století pocházejí mimo jiné od Stefana Hildebrandta a Guida Stampacchia .

„Hilbertův dvacátý čtvrtý problém“

Hilbertův 24. problém je matematický problém, jehož formulace byla nalezena v Hilbertově statku a který je někdy zmiňován jako dodatek k jeho seznamu 23 matematických problémů. Hilbert klade otázku kritérií nebo důkazů, zda je důkaz pro matematický problém nejjednodušší.

literatura

• David Hilbert: Matematické problémy . In: Zprávy Královské společnosti věd v Göttingenu, matematicko-fyzikální třída. Vydání 3, 1900, s. 253-297, ISSN  0369-6650 .
• David Hilbert: Sur lesproblemèmes futurs des mathématiques . Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens, Paříž, Gauthier-Villars, 1902, s. 58–114 (francouzský překlad Léonce Laugel).
• David Hilbert: Matematické problémy . Bulletin of the American Mathematical Society, svazek 8, 1901, str. 437-479 (anglický překlad Mary Newson).
• David Hilbert: Matematické problémy . Archiv matematiky a fyziky, 3. série, svazek 1, 1901, s. 44–63, s. 213–237.
• David Hilbert: Přednáška „Matematické problémy“. Konalo se na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži 1900. In: Autorský kolektiv pod redakčním vedením Pavla S. Aleksandrova : Hilbertovy problémy (= Ostwaldova klasika exaktních věd. Svazek 252). 4. vydání, dotisk 3., nezměněné vydání. Němec, Thun a další 1998, ISBN 3-8171-3401-0 .
• Kolektiv autorů pod redakčním vedením Pavla S. Alexandrova : Die Hilbertschen Problems (= Ostwaldova klasika exaktních věd. Svazek 252). 4. vydání, dotisk 3., nezměněné vydání. Němec, Thun a další 1998, ISBN 3-8171-3401-0 .
  • Příspěvky AG Vitushkina (13. problém), Evgeni Grigoryevich Skljarenko (EG Skljarenko, 5. problém), Boris Wladimirowitsch Gnedenko (6. problém), Alexander Ossipowitsch Gelfond (7. problém), Alexander Jessenin-Wolpin (1. a 2. problém) Problém), Wladimir Grigoryevich Boltjanski (3. problém), Isaak Moissejewitsch Jaglom (4. problém), Juri Linnik (8. problém), DK Fadeev (9. problém), Juri I. Chmelevskij (10. problém), Yuri Manin (problém 11, 12, 14, 15, 17), Olga Oleinik (problém 16, 19), Boris Nikolajewitsch Delone (problém 18), Alexander Grigorjewitsch Sigalow (AG Sigalov (1913–1969), problém 19, 20), Helmut Röhrl (problém 21), Lev Ernestovich Elsgolc (problém 23), Boris Wladimirowitsch Schabat (1917–1987, problém 22), stav diskuse je v mnoha případech ke konci 60. let (první vydání vyšlo v roce 1971) s některými dodatky německých redaktorů, například při řešení desátý problém.
• Felix E. Browder (ed.): Matematický vývoj vycházející z problémů Hilberta (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 28). 2 svazky. Americká matematická společnost, Providence RI 1976, ISBN 0-8218-9315-7 .
• Ivor Grattan-Guinness : Pohled z boku na Hilbertovy dvacet tři problémy z roku 1900 . Oznámení AMS, srpen 2000 ( online ).
• Jeremy J. Gray : The Hilbert Challenge. Oxford University Press, Oxford et al. 2000, ISBN 0-19-850651-1 .
• Jean-Michel Kantor : Hilbertsovy problémy a jejich pokračování . Mathematical Intelligencer, svazek 18, 1996, číslo 1, str. 21-30.
• Rüdiger Thiele : Hilbert a jeho dvacet čtyři problémy. In: Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Eds.): Mathematics and the Historians Craft. Přednášky Kennetha O. Maye (= CMS Books in Mathematics. Vol. 21). Springer, New York NY 2005, ISBN 0-387-25284-3 , str. 243-296.
• Benjamin H. Yandell: Třída vyznamenání. Hilbertovy problémy a jejich řešitelé. AK Peters, Natick MA 2001, ISBN 1-56881-141-1 .

Viz také

• Nevyřešené problémy v matematice

webové odkazy

• Matematické problémy - zdroje, texty, práce, překlady, média na Wikilivres (také známé jako Bibliowiki )
• Web Davida Joyce o problémech Hilberta s odkazy
• Hilbertovy problémy v lexikonu matematiky na Spektrum.de

Individuální důkazy

1. ^ Ina Kersten : Hilbertovy matematické problémy. ( Memento na originálu z 17. července 2009 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. Bielefeld University, 2000. @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / www.math.uni-bielefeld.de
2. ^ David Hilbert: Matematické problémy. Přednáška na kongresu Mezinárodního matematici v Paříži v roce 1900. ( Memento v originálu od 8. dubna 2012 o WebCite ) Info: Archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / www.mathematik.uni-bielefeld.de
3. ^ ^{A b} D. Hilbert: Matematické problémy. Přednáška na mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 . In: Zprávy z Royal. Společnost věd v Göttingenu. Matematicko-fyzikální třída. Vydání 3, 1900, s. 253-297.
4. ^ Constance Reid, Hilbert-Courant, Springer, 1986, s. 73.
5. ^ Hilbert: Problèmes mathématiques . In: L'enseignement mathématique . Svazek 2, 1900, str. 349-354 ( online ).
6. ↑ V archivu a také ve francouzské verzi zprávy o kongresu zveřejněné v roce 1902 zmiňuje například problém 14, pokrok, kterého dosáhl Adolf Hurwitz v invariantní teorii v roce 1897 (obecný důkaz konečnosti invarianty v ortogonální skupina).
7. ^ Rüdiger Thiele: Hilbertův dvacátý čtvrtý problém. (PDF; 197 kB) V: Americký matematický měsíčník. Sv. 110, č. 1, leden 2003, ISSN  0002-9890 , s. 1-24.
8. ↑ Grattan Guinness, Oznámení AMS, srpen 2000, loc. cit.
9. ^ Charlotte Angas Scott: Mezinárodní kongres matematiků v Paříži . Bulletin AMS, svazek 7, 1900, str. 57-79. Následnou diskusi nazvala (str. 68) pohrdavě („polovičatě“).
10. ↑ Odkázal na svazek 7, číslo 1 jím vydaného Rivista di Matematica.
11. ↑ Padoa: Un nouveau système irreductible de postulats pour l'algèbre . ICM 1900. Padoa také šel do Le Problem č. 2 de M. Davida Hilberta . In: L'enseignement mathématique . Svazek 5, 1903, s. 85-91 přímo na Hilbertovu přednášku a jeho druhý problém.
12. ↑ Hilbert poté přidal citaci Maurice d'Ocagne k tištěné verzi v Archivu pro matematiku a fyziku . Podle Grattan-Guinness: Pohled z boku na Hilbertovy dvacet tři problémy z roku 1900 . Oznámení AMS, srpen 2000.
13. ↑ Hilbert v dopise adresovaném 25. srpna Adolfu Hurwitzovi poznamenal , že konference nebyla příliš silná ani z hlediska kvantity, ani kvality a že Poincaré se kongresu účastnil pouze v poslušnosti svých povinností a nebyl přítomen na závěrečném banketu, na kterém měl předsedat. Citováno v Grattan-Guinness, Notices AMS, srpen 2000, s. 757.
14. ^ Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens . Paris, Gauthier-Villars, 1902, s. 24.
15. ^ Paul Cohen: Teorie množin a hypotéza kontinua . Benjamin 1963.
16. ↑ Dehn: O svazku . Mathematische Annalen, svazek 55, 1901, str. 465-478. Zjednodušeno WF Kaganem : O transformaci mnohostěnu . Mathematische Annalen, svazek 57, 1903, s. 421-424 a později Hugo Hadwiger , který rozšířil Dehnovu invariantu do vyšších dimenzí, a Wladimir Grigorjewitsch Boltjanski .
17. ^ Sydler, Comm. Math. Helv., Sv. 40, 1965, str. 43-80. Zjednodušeno Borge Jessenem v Jessen: Algebra mnohostěnů a Sydlerova věta . Math. Scand., Sv. 22, 1968, str. 241-256.
18. ↑ Hilbert: O přímce jako nejkratší spojnici mezi dvěma body . Mathematische Annalen, svazek 46, 1896, str. 91-96 ( digitalizovaná verze , SUB Göttingen ), přetištěno v Hilbert: Fundamentals of Geometry . Teubner, 2. vydání 1903, s. 83.
19. ↑ Hamel: O geometriích, ve kterých jsou přímky nejkratší . Mathematische Annalen, svazek 57, 1903, str. 231-264.
20. ^ IM Jaglom: O čtvrtém Hilbertově problému . In: Pavel S. Alexandrov (ed.): Hilbertovy problémy . Harri Deutsch, 1998.
21. ↑ Busemann, citováno v Yandell: The Honours Class . Str. 138.
22. ↑ Béla Kerékjártó vyřešil dvourozměrný případ v roce 1931, Montgomery v roce 1948 ve třech a Montgomery a Zippin v roce 1952 ve čtyřech.
23. ^ J. Hirschfeld: Nestandardní řešení Hilbertovy páté úlohy . Trans. Amer. Math. Soc., Sv. 321, 1990, str. 379-400.
24. ↑ Serre, citováno Jeremy Grayem: Hilbertovy problémy 1900-2000 . ( Memento na originálu z 12. června 2007 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / www.math.uni-bielefeld.de
25. ^ Leo Corry: K počátkům šestého problému Hilberta: fyzika a empirický přístup k axiomatizaci . Mezinárodní kongres matematiků, 2006.
26. ↑ Matyasevich: Hilbertův desátý problém . MIT Press 1993, s. 16.
27. ^ Siegel: K teorii čtvercových forem . Zprávy Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Naturwiss. Class, 1972, č. 3, str. 21-46.
28. ^ Encyklopedie matematiky: Místní-globální principy pro kruh algebraických celých čísel .
29. ^ Encyklopedie matematiky: Kvadratické formy .
30. ↑ Vitushkin: O vyšších dimenzionálních variacích . Moskva 1955 (rusky). Ve stejném roce dal Andrej Kolmogorov jednodušší důkaz.
31. ^ Vitushkin: O třináctém Hilbertově problému . In: P. Alexandrov (ed.): Hilbertovy problémy . Harri Deutsch, 1998, s. 211.
32. ↑ Stephen Ornes: Hilbertův 13. problém . Spectrum, 11. února 2021.
33. ↑ Benson Farb, Jesse Wolfson: Stupeň rozpouštědla, Hilbertův 13. problém a geometrie . 2018 ( Arxiv ).
34. ^ Jesse Wolfson: Tschirnhausovy transformace po Hilbertovi . 2020 ( Arxiv ).
35. ↑ Wladimir Arnold: Od superpozic po KAM . In: Pravidelná a chaotická dynamika . Svazek 19, 2014, s. 734–744, nejprve v ruštině ve Wladimir Arnold: Selected - 60 . Moskva 1997.
36. ↑ Hilbert: O teorii algebraických forem . Mathematische Annalen, svazek 36, 1890, str. 473-534.
37. ^ O. Zariski: Interpretace algebrico-geometriques du quatorzieme probleme de Hilbert . Bulletin des Sciences Mathematiques, svazek 78, 1954, str. 155-168.
38. ^ Nagata: K čtrnáctému problému Hilberta . Proc. ICM 1958. Nagata: Přednášky o čtrnáctém problému Hilberta . Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1965.
39. ↑ Michael Kantor: Hilbertovy problémy a jejich pokračování . Mathematical Intelligencer, 1996, No. 1, s. 25.
40. ^ Rokhlin: Congruences modulo šestnáct v šestnáctém Hilbertově problému . Funkční analýza a aplikace, svazek 6, 1972, str. 301-306, část 2, svazek 7, 1973, str. 91-92.
41. ↑ Artin: O rozkladu určitých funkcí na čtverce . Abh. Math. Seminar Hamburg, svazek 5, 1927, str. 100-115.
42. ↑ Artin, Schreier: Algebraická konstrukce skutečných těles . Abh. Math. Seminar Hamburg, svazek 5, 1927, str. 85-99.
43. ↑ Pfister: Představovat určité funkce jako součet čtverců . Inventiones Mathematicae, svazek 4, 1967, str. 229-237.
44. ↑ Nicholas Katz : Přehled Deligneovy práce na Hilbertově dvacátém prvním problému . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 537-585.
45. ^ Deligne: Rovnice différentiels à poukazuje na singuliers regulières . Přednášky z matematiky, Springer 1970.
46. ↑ Josef Bemelmans, Stefan Hildebrandt, Wolfgang Wahl: Parciální diferenciální rovnice a variační počet . In: Gerd Fischer a kol .: A Century of Mathematics 1890–1990. Festschrift k výročí DMV, Vieweg 1990, s. 149–230.
47. ^ Stampacchia: Hilbertův dvacátý třetí problém: rozšíření variačního počtu . In: F. Browder: Matematický vývoj vycházející z Hilbertových problémů . AMS, část 2, 1976, str. 611-628.