geometrie

René Descartes , La Géometrie (první vydání 1637)

Geometrie ( starověký Řek γεωμετρία geometria iontově γεωμετρίη geometrie , hmotnost zeminy ‚Erdmessung‘, pozemní měření ‚) je odvětví matematiky .

Na jedné straně se pod geometrií rozumí dvoj- a trojrozměrná euklidovská geometrie , elementární geometrie , která se také vyučuje na hodinách matematiky - dříve pod pojmem prostorová teorie - a která se zabývá body , přímkami , rovinami , vzdálenostmi , úhly atd., jakož i ty koncepty a metody, které byly vyvinuty v průběhu systematického a matematického zpracování tohoto tématu.

Na druhou stranu termín geometrie zahrnuje řadu velkých podoblastí matematiky, jejichž vztah k elementární geometrii je pro laiky obtížné rozpoznat. To platí zejména pro moderní koncept geometrie, který obecně označuje studium invariantních veličin.

Dějiny německy psané literatury o geometrii

Nejstarší německé pojednání o geometrii pochází z počátku 15. století. Jedná se o tzv. Geometria Culmensis , která byla napsána jménem velmistra řádu německých rytířů Konrada von Jungingena v oblasti Culm a obsahuje latinský text, který je v zásadě založen také na Practica geometriae Dominicus de Calvasio jako jeho německý překlad. Albrecht Dürer's Underweysung of measurement with the zirckel and richtscheyt in hoblování lines and whole corporen from 1525 is považován za první tištěnou a nezávislou knihu o geometrii v němčině .

Tématické oblasti

Geometrie

Použití množného čísla naznačuje, že termín geometrie je používán ve velmi specifickém smyslu, konkrétně geometrie jako matematická struktura, jejíž prvky se tradičně nazývají body, přímky, roviny ... a jejichž vztahy jsou regulovány axiomy . Tento úhel pohledu sahá až k Euklidovi , který se pokusil redukovat věty geometrie euklidovské roviny na několik postulátů (tj. Axiomů). Následující seznam má poskytnout přehled různých typů geometrií, které zapadají do tohoto schématu:

  • Projektivní geometrie a afinní geometrie : Takové geometrie se většinou skládají z bodů a přímek a axiomy se týkají přímek spojujících body a průsečíky přímek. Afinní a projektivní geometrie obvykle přicházejí ve dvojicích: Přidání distančních prvků změní afinní geometrii na projektivní a odstranění přímky nebo roviny s jejími body změní dvojrozměrnou nebo projektivní geometrii na afinní . V důležitých případech mohou být body uspořádány na přímce v afinní geometrii takovým způsobem, že lze definovat poloviční čáry a čáry . V těchto případech se afinní geometrie a její projektivní uzavření nazývají „uspořádané“.
  • Euklidovská geometrie : To obvykle znamená geometrii odvozenou z axiomů a postulátů Euklida. Protože struktura teorie předávaná od doby, kdy Euklid stále obsahoval mezery, vytvořil David Hilbert ve svých Fundamentals of Geometry (1899 a mnoha dalších vydáních) systém axiomů, ze kterého mohl jasně vybudovat euklidovskou geometrii až k izomorfismu. To pak lze jasně popsat jako trojrozměrný skutečný vektorový prostor, ve kterém jsou body reprezentovány vektory a přímky sekundárními třídami jednorozměrných podprostorů. Protahování, vzpřímené postavení, úhly atd. Jsou vysvětleny jako v analytické geometrii obvyklé od Descartes .
  • Absolutní geometrie : je společná podstruktura euklidovských a neeuklidovských geometrií, tj. H. soubor všech propozic, které lze dokázat bez paralelního postulátu.

V každé geometrii se zajímáme o ty transformace, které nezničí určité vlastnosti (tj. Jejich automorfismy): Například ani paralelní posun, ani rotace nebo odraz v dvojrozměrné euklidovské geometrii nezmění vzdálenosti mezi body. Naopak každá transformace, která nemění vzdálenost mezi body, je složena z paralelních posunů, rotací a odrazů. Říká se, že tato zobrazení tvoří transformační skupinu, která patří do roviny euklidovské geometrie, a že vzdálenost mezi dvěma body představuje euklidovský invariant. Felix Klein ve svém programu Erlangen definoval geometrii obecně jako teorii transformačních skupin a jejich invarianty (srov. Mapování geometrie ); to však v žádném případě není jediná možná definice. Geometrie a prominentní invarianty jsou uvedeny níže:

  • Projektivní geometrie : Invarianty jsou kolinearita bodů a dvojnásobný poměr (poměr částečných poměrů ) čtyř bodů přímky (v rovině komplexního čísla libovolných čtyř bodů; pokud leží na kruhu, je to skutečné)
  • Afinní geometrie : Rovnoběžnost přímek, dělicí poměr tří bodů přímky, plošné poměry.
  • Geometrie podobnosti , kromě afinní geometrie, jsou vztahy trasy a úhly neměnné.
  • Neeuklidovská geometrie : Kolineárnost bodů, vzdálenosti mezi body a úhly jsou neměnné. Dvě neeuklidovské geometrie se však nehodí do výše uvedené hierarchie.

Oblasti matematiky, které jsou součástí geometrie

Následující seznam zahrnuje velmi rozsáhlé a dalekosáhlé oblasti matematického výzkumu:

Geometrie ve školách a třídách

V hodinách geometrie se obvykle používají zařízení, jako jsou kompasy , pravítka a čtverce , ale také počítače (viz také: dynamická geometrie ). Počátky hodin geometrie se zabývají geometrickými transformacemi nebo měřením geometrických veličin, jako je délka , úhel , plocha , objem , poměry atd . Vyskytují se také složitější objekty, jako jsou speciální křivky nebo kuželosečky . Deskriptivní geometrie je grafické znázornění trojrozměrné euklidovské geometrie v (dvourozměrné) rovině.

věty

Výroky jsou formulovány ve větách .

Základní věty:

Označení

Asteroid (376) byl pojmenován Geometria po geometrii .

Viz také

literatura

webové odkazy

Commons : Geometry  - sbírka obrázků, videí a zvukových souborů
Wikislovník: Geometrie  - vysvětlení významů, původ slov, synonyma, překlady
Wikiquote: Geometry  - Quotes

Individuální důkazy

  1. ^ Hubert LL Busard : The Practica Geometriae Dominicus de Clavasio. In: Archive History Exact Sciences. Svazek 2, 1965, str. 520-575.
  2. ↑ Geometry Culmensis. In: Burghart Wachinger a kol. (Ed.): Německá literatura středověku. Autorská lexikon . 2. zcela přepracované vydání, ISBN 3-11-022248-5 , svazek 2: Comitis, Gerhard - Gerstenberg, Wigand. Berlín / New York 1980, sl. 1194 f.
  3. ^ Underweysung s kruhem a Richtscheydt . Wikisource