Neeuklidovská geometrie

V hyperbolické, euklidovské a eliptické geometrii se dvě přímé čáry, které jsou spojeny s normálem, navzájem liší.

Tyto neeuklidovských geometrie jsou obory absolutní geometrie . Liší se od euklidovské geometrie , které mohou být také formulovány jako specializace absolutní geometrii, že axiom paralel nemusí použít v nich .

Na kouli není součet úhlů trojúhelníku obecně 180 °. Povrch koule není euklidovský , ale lokálně jsou zákony euklidovské geometrie dobrou aproximací. Například v malém trojúhelníku na povrchu Země je součet úhlů trojúhelníku do značné míry přesně 180 stupňů.

příběh

Neeuklidovské geometrie se vyvinuly ze staletí neúspěšných pokusů dokázat axiom paralel s euklidovskou geometrií. Na začátku 19. století matematici János Bolyai , Nikolai Lobatschewski a Carl Friedrich Gauß zjistili, že nemusí existovat nutně euklidovská geometrie prostoru, a začali rozvíjet neeuklidovskou geometrii. Dalšími předchůdci byli Ferdinand Karl Schweikart , Franz Taurinus , Giovanni Girolamo Saccheri a Johann Heinrich Lambert . Carl Friedrich Gauß své výsledky vůbec nezveřejnil.

V letech 1818 až 1826 vedl Gauß hannoverské zeměměřičství a vyvinul metody se značně zvýšenou přesností. V této souvislosti vznikla myšlenka, že empiricky hledá zakřivení místnosti měřením součtu úhlů v trojúhelníku tvořeném Brocken v pohoří Harz , Inselsberg v Durynském lese a Hohen Hagen poblíž Göttingen . Dnes je většinou považována za legendu, i když nelze s konečným důsledkem vyloučit možnost, že Gauss hledal odchylky od obvyklé hodnoty úhlového součtu 180 °. Přesnost jeho přístrojů by však zdaleka nebyla dostatečná k prokázání malého zakřivení prostoru v gravitačním poli Země. Dnes to stále není možné.

Byl to Gaussův student Bernhard Riemann, který vyvinul diferenciální geometrii zakřivených prostorů a představil ji v roce 1854. V té době nikdo neočekával, že toto téma bude fyzicky relevantní. Tullio Levi-Civita , Gregorio Ricci-Curbastro a Elwin Bruno Christoffel dále rozšířili diferenciální geometrii. Einstein ve své práci našel řadu matematických nástrojů pro svou obecnou teorii relativity .

Základy

Neeuklidovské geometrie nebyly vyvinuty s cílem zpřesnit naše prostorové prožitky, ale jako axiomatické teorie při řešení problému paralel . Existence modelů pro neeuklidovské geometrie (např. Felix Klein a Henri Poincaré ) dokazuje, že paralelní axiom Euklida nelze odvodit z ostatních axiomů a je na nich nezávislý.

Jeden získá neeuklidovské geometrie odstraněním axiomu rovnoběžek ze systému axiomů nebo jeho změnou. Základní možnosti změny jsou:

• Neexistuje rovnoběžka s přímkou ​​a bod mimo přímku. Takže se vždy protínají dvě různé přímky v jedné rovině. To vede k eliptické geometrii . Jasným modelem dvourozměrné eliptické geometrie je geometrie na sférické ploše . Zde je součet úhlů trojúhelníku větší než 180 °, obvod kruhu je menší než a plocha je menší než . V eliptické geometrii však axiomy uspořádání již neplatí beze změny.${\ displaystyle 2 \ pi r}$${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$
• Existují alespoň dvě rovnoběžky s přímkou ​​a bodem mimo přímku. Zde mohou být zachovány všechny ostatní axiomy. Získá se hyperbolická geometrie . To lze popsat dvěma způsoby modely Klein a Poincaré. V malém (nebo místním) měřítku jej lze vizualizovat na sedlové ploše konstantního Gaussova zakřivení (tzv. Pseudosféra ). Součet úhlů trojúhelníku je nyní menší než 180 °, obvod kruhu je větší než a jeho plocha je větší než .${\ displaystyle 2 \ pi r}$${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$

Trojúhelník na sedlovém povrchu

Mezitím neeuklidovská geometrie hraje důležitou roli v teoretické fyzice a kosmologii . Podle obecné teorie relativity se geometrie vesmíru liší od euklidovské, protože gravitační pole „ohýbají“ prostor. Ať už je geometrie vesmíru „ve velkém měřítku“ sférická (eliptická), dokonce (euklidovská) nebo hyperbolická, je jednou z hlavních aktuálních otázek fyziky.

literatura

• Felix Klein : Přednášky o neeuklidovské geometrii . Julius Springer, Berlín 1928 (XII, 326, online ).  Dotisk Felix Klein: jako VDM, Müller, Saarbrücken 2006, ISBN 3-8364-0097-9 (XII, 326). 
• Julian L. Coolidge : Prvky neeuklidovské geometrie. Cornell Univ. Library, Cornell 2008, ISBN 978-1-4297-0446-5
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Norbert A'Campo , Athanase Papadopoulos, Poznámky k hyperbolické geometrii . In: Strasbourg Master class on Geometry, str. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol.18, Zurich: European Mathematical Society (EMS), 461 stran, 2012, ISBN 978-3-03719-105-7 , doi: 10,4171 / 105 .
• Marvin J. Greenberg : Euklidovská a neeuklidovská geometrie - vývoj a historie. Freeman, New York 2008, ISBN 978-0-7167-9948-1
• Boris A. Rozenfel'd : Historie neeuklidovské geometrie - vývoj konceptu geometrického prostoru. Springer, New York 1988, ISBN 3-540-96458-4
• János Bolyai, (et al.): Neeuklidovské geometrie. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-29554-1
• Benno Klotzek: Euklidovské a neeuklidovské základní geometrie . 1. vydání. Harri Deutsch, Frankfurt nad Mohanem 2001, ISBN 3-8171-1583-0 . 

Poznámky a individuální reference

1. ↑ Další informace o historii neeuklidovské geometrie naleznete v článku Pariomelův axiom