Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (narozený 17. září 1826 v Breselenz blízkosti Dannenberg (Elbe) ; † 20 July, je 1866 v Selasca poblíž Verbania na jezeře Maggiore ) byl německý matematik , kteří i přes svůj relativně krátký život pracoval v mnoha oblastech analýzy , průkopnický účinek měla diferenciální geometrie , matematická fyzika a analytická teorie čísel . Je považován za jednoho z nejvýznamnějších matematiků.

Život

Původ a mládí

Riemann vyrostl na luteránské faře jako jedno z pěti dětí ve stísněných podmínkách. Jeho matka, dcera Hofrata Ebella v Hannoveru , zemřela brzy (1846). Jeho otec Friedrich Bernhard Riemann, který pocházel z Boizenburgu , se účastnil osvobozovacích válek (Army von Wallmoden ) a byl posledním pastorem v Quickbornu . Riemann vždy udržoval úzké vazby se svou rodinou.

V letech 1840 až 1842 navštěvoval gymnázium v ​​Hannoveru, poté až do roku 1846 gymnázium Johanneum v Lüneburgu, odkud mohl v dálce sledovat katastrofický požár Hamburku . Jeho matematické schopnosti byly zaznamenány již na začátku. Učitel, rektor Schmalfuss, mu půjčil Legendrovu teorii čísel ( Théorie des Nombres ), obtížnou práci s 859 stránkami quart- size, ale o týden později ji dostal zpět a zjistil, že Riemann jde daleko za obvyklé, když dokončil Abitur. Riemann si tuto knihu zcela přizpůsobil.

studie

Riemann se měl stát teologem jako jeho otec a v Lüneburgu se již kromě latiny a řečtiny naučil i hebrejštinu; pak ale přešel na matematiku v Göttingenu . V letech 1846 až 1847 studoval mimo jiné v Göttingenu. s Moritzem Sternem , Johannem Benedictem Listingem - průkopníkem topologie (napsal o tom knihu v roce 1847) - a Carlem Friedrichem Gaussem , který v té době četl téměř výhradně o astronomii a jen zřídka četl o aplikovaných tématech, jako je metoda jeho nejmenších čtverců .

V letech 1847–1849 slyšel Riemann přednášky Petera Gustava Dirichleta o parciálních diferenciálních rovnicích v Berlíně , od Jacobiho a Gottholda Eisensteina - s nimiž se lépe seznámil - o eliptických funkcích a Steinerově geometrii. Po Richardu Dedekindovi na něj také zapůsobily události revoluce v březnu 1848 - jako součást studentského sboru jeden den hlídal před královským palácem.

V roce 1849 byl zpět v Göttingenu a začal pracovat na disertační práci s Gaußem na teorii funkcí , kterou dokončil v roce 1851. Poté se stal dočasným asistentem fyzika Wilhelma Eduarda Webera . V roce 1854 se habilitoval. Předmět jeho habilitační přednášky 10. června 1854 byl O hypotézách, na nichž je geometrie založena . V roce 1855 jeho otec zemřel.

Profesor v Göttingenu, Cestování a smrt

Od roku 1857 byl Riemann v Göttingenu mimořádným profesorem. Ve stejném roce se k němu nastěhovaly jeho dvě zbývající sestry, o které se musel postarat po bratrově smrti navzdory nízkému platu - v té době plat profesora sestával převážně ze studentských honorářů a čím náročnější byla přednáška, obvykle se objevilo méně posluchačů. Riemann utrpěl poruchu z přepracovanosti a odešel do Dedekindu relaxovat v Bad Harzburgu . V roce 1858 ho navštívili italští matematici Francesco Brioschi , Enrico Betti a Felice Casorati v Göttingenu, s nímž se spřátelili a kterému předával topologické myšlenky. Ve stejném roce znovu navštívil Berlín a setkal se tam s Ernstem Eduardem Kummerem , Karlem Weierstrassem a Leopoldem Kroneckerem . V roce 1859 vystřídal Dirichlet na židli Gauß v Göttingenu. To znamenalo krátké období spokojenosti v Riemannově životě. Jeho profesorský plat ho vytrhl z chudoby studentských let, a tak si nakonec mohl dovolit slušné bydlení a dokonce i úklid domácnosti. V roce 1860 odcestoval do Paříže a setkal se s Victorem Puiseuxem , Josephem Bertrandem , Charlesem Hermitem , Charlesem Briotem a Jean-Claude Bouquetem .

V roce 1862 se oženil s Elise Kochovou, přítelkyní jeho sester, s níž měl dceru Idu, která se narodila v Pise v roce 1863 . Poté zůstal déle v Itálii a znovu se setkal se svými italskými matematickými přáteli. Po návratu z cesty do Itálie v roce 1862 se jeho zdravotní stav zhoršil. Riemann trpěl tuberkulózou . Ani delší pobyty v mírném podnebí Itálie nemohly nemoc vyléčit. Při své třetí cestě do Itálie znovu hledal relaxaci, zemřel ve věku 39 let v Selasce u jezera Maggiore . Byl pohřben v Biganzolo . Hrob již neexistuje, zachoval se pouze náhrobek ve hřbitovní zdi.

Jeho dcera Ida (1863–1929) byla vdaná za matematika a navigátora Carla Schillinga a vdova Elise Riemann (1835–1904) a její sestra Ida Koch (1825–1899) se v roce 1890 přestěhovali do Schillings v Brémách.

rostlina

Přes svůj relativně krátký život se Riemann stal jedním z nejvýznamnějších matematiků, jehož práce má pro přírodní vědy dodnes velký význam. Na jedné straně byl jedním ze zakladatelů teorie funkcí , teorie funkcí komplexní proměnné. Na druhé straně je jako zakladatel Riemannovy geometrie jedním z průkopníků Einsteinovy obecné teorie relativity .

geometrie

Své myšlenky publikoval na „riemannovskou geometrii“, tzn. H. Diferenciální geometrie v libovolném počtu dimenzí s místně definovanými metrikami, pouze ve své habilitační přednášce v roce 1854, kterou pronesl za přítomnosti hluboce zapůsobeného Carla Friedricha Gaussa . Navrhl několik témat a pouze jako poslední uvedl „Hypotézy podkladové geometrie“. Gauss si konkrétně vybral toto téma (což je vlastně neobvyklé). Riemann byl v přednášce nucen se vyjádřit způsobem, který byl srozumitelný pro širší skupinu lidí, a proto se v ní objevuje jen pár formulí. V pařížské publikaci o cenách (publikované v Gesammelte Werken v roce 1876) Riemann naznačil konkrétnější implementaci svých myšlenek (včetně symbolů Christoffela , tenzoru zakřivení ).

Teorie funkcí

Jeho geometrické zdůvodnění teorie funkcí zavedením riemannianských ploch , na nichž se nejednoznačné funkce jako logaritmus (nekonečný počet listů) nebo kořenová funkce (dva listy) stávají „jednoznačnými“, se stalo v jeho disertační práci, která podle k Dedekindovi, byla dokončena v Berlíně na podzim roku 1847 (v diskusích s Eisensteinem prý reprezentoval svůj přístup k teorii funkcí na základě diferenciální rovnice, na rozdíl od formálnějšího přístupu Eisensteina). Komplexní funkce jsou „ harmonické funkce “ (tj. Splňují Laplaceovu rovnici nebo ekvivalentně Cauchy-Riemannovy diferenciální rovnice ) na těchto plochách a jsou popsány polohou jejich singularit a topologií těchto ploch (počet řezů, atd.). Topologické „pohlaví“ povrchů Riemann je dáno vztahem, přičemž listy jsou k sobě připevněny v rozvětvených bodech povrchu . Pro povrch Riemann má parametry („moduly“). ${\ Displaystyle g = w / 2-n + 1}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g> 1}$${\ Displaystyle (3g-3)}$

Jeho příspěvky v této oblasti jsou četné. Jeho slavná Riemannova věta o mapování uvádí, že každá jednoduše spojená oblast v komplexní číselné rovině C je ekvivalentní buď celému C nebo vnitřku „biholomorfního“ jednotkového kruhu (to znamená, že existuje analytické mapování, také v opačném směru ). Zobecnění věty s ohledem na Riemannovy povrchy je slavná uniformizační věta , kolem níž a.o. Henri Poincaré a Felix Klein se hodně snažili. Také zde byly poskytnuty přísné důkazy pouze s vývojem dostatečných matematických nástrojů - v tomto případě z topologie.

Aby dokázal existenci funkcí na Riemannových plochách, použil minimální podmínku, kterou nazval Dirichletovým principem . Karl Weierstrass okamžitě upozornil na mezeru: Se svou „pracovní hypotézou“ (pro něj byla existence minima jasně jasná) Riemann nevzal v úvahu, že základní funkční prostor nemusí být úplný, a proto existence minimum nebylo zaručeno. Prostřednictvím práce Davida Hilberta v variačním počtu byl Dirichletův princip na přelomu století postaven na teoreticky bezpečnou půdu.

Weierstrass byl také velmi ohromen Riemannem, zejména jeho teorií abelianských funkcí. Když se to objevilo, stáhl svůj vlastní rukopis, který už byl u Crelle , a již jej nezveřejnil. Oba spolu dobře vycházeli, když ho Riemann v roce 1859 navštívil v Berlíně. Weierstrass povzbudil svého studenta Hermanna Amanduse Schwarze, aby hledal alternativy k Dirichletovu principu v základech teorie funkcí, ve kterých to bylo také úspěšné. Anekdota, kterou předal Arnold Sommerfeld, svědčí o obtížích, které měli současní matematici s novými nápady Riemanna : Weierstrass s sebou vzal Riemannovu disertaci na dovolenou na Rigi ke studiu v sedmdesátých letech 19. století a stěžoval si, že je těžké ji pochopit. Fyzik Hermann von Helmholtz si práci přes noc vypůjčil a vrátil ji s poznámkou, že pro něj byla „přirozená“ a „jako samozřejmost“.

Dalším vrcholem je jeho práce na abelianských funkcích a theta funkcích na riemannianských plochách. Od roku 1857 Riemann soutěžil s Weierstrassem o vyřešení jakobijského inverzního problému abelianských integrálů , zobecnění eliptických integrálů. Riemann použil funkce theta v několika proměnných a omezil problém na určení nul těchto funkcí theta. Riemann také zkoumal dobovou matici (G abelianské integrály 1. rodu na drahách g, které vyplývají z „kanonického rozdělení“ povrchu s 2g cestami) a charakterizoval ji „relacemi Riemannovy periody“ (symetrická, negativní část reálné části). Podle Ferdinanda Georga Frobeniuse a Solomona Lefschetze je platnost těchto vztahů ekvivalentní vložení ( = mřížka z dobové matice) do projektivního prostoru pomocí funkcí theta. Pro n = g jde o odrůdu Jacobi na povrchu Riemann, kterou zkoumal také Riemann, příklad abelianské odrůdy (mřížky). ${\ Displaystyle C ^ {n} / \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Řada matematiků jako např B. Alfred Clebsch zpracoval Riemannovy vztahy k teorii algebraických křivek. Tuto teorii lze vyjádřit pomocí vlastností funkcí, které lze definovat na Riemannově povrchu. Například Riemann-Rochova věta ( Roch byl studentem Riemanna) činí prohlášení o počtu lineárně nezávislých diferenciálů (s určitými specifikacemi pro jejich nulové a pólové polohy) na Riemannově povrchu.

Podle Laugwitze se automorfní funkce objevují poprvé v eseji o Laplaceově rovnici o elektricky vodivých válcích. Riemann však také používal takové funkce pro konformní obrázky, např. B. z kruhových obloukových trojúhelníků do kruhu ve svých přednáškách o hypergeometrických funkcích v roce 1859 (nově objevených Schwarzem) nebo v pojednání o minimálních plochách. Freudenthal považuje za největší Riemannovu chybu, že již nedovoluje Möbiovy transformace při zavádění Riemannových ploch do sekcí a zavádí tak automorfní funkce (což dělá v singulárních bodech v teorii hypergeometrické diferenciální rovnice). Riemann znal Gaussovo panství, ve kterém se také objevuje modulární postava.

Teorie čísel

Jeho práce na počtu prvočísel pod danou velikostí z roku 1859, jeho jediná práce na teorii čísel, je považována za zakládající text analytické teorie čísel, spolu s některými díly Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow a jeho učitele Dirichlet. Šlo o pokus dokázat a zpřísnit Gaussovu větu o prvočísle.

V této práci učinil velmi rozsáhlá prohlášení o rozdělení prvočísel pomocí teorie funkcí . Nalezneme zde především Riemannovu hypotézu, pojmenovanou po něm, o nulách funkce zeta , ale uvedenou pouze v jedné větě (důkaz se vzdal po několika letmých pokusech, protože to nebylo nutné pro bezprostřední účel pojednání). Má zásadní význam pro teorii čísel , ale dosud nebyl prokázán. Když v roce 1932 zkoumal Riemannovu pozůstalost v Göttingenu , Siegel ukázal, že za touto krátkou esejí jsou také mnohem rozsáhlejší Riemannovy výpočty .

V Riemannově tvorbě je mnoho dalších zajímavých vývojů. Tímto způsobem prokázal funkční rovnici funkce zeta (která je již známá Eulerovi), za níž je jedna z funkcí theta. Rovněž poskytuje mnohem lepší aproximaci pro rozdělení prvočísel než Gaussova funkce Li ( x ). Sečtením této aproximační funkce přes netriviální nuly na přímce se skutečnou částí 1/2 dokonce poskytne přesný „explicitní vzorec“ pro . ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$

Riemann byl obeznámen s Chebyshevovou prací na větě o prvočísle. Navštívil Dirichlet v roce 1852. Riemannovy metody jsou úplně jiné.

Reálné funkce, Fourierova řada, Riemannův integrál, hypergeometrická diferenciální rovnice

V oblasti reálných funkcí vyvinul Riemannův integrál, po něm také pojmenovaný (při habilitaci). Mimo jiné dokázal, že každou kusovou spojitou funkci lze integrovat. Stieltjesův integrál se také vrací k göttingenskému matematikovi, a proto je někdy označován jako Riemann- Stieltjesův integrál .

Ve své habilitační práci na Fourierovu řadu , kde také navázal na kroky svého učitele Dirichleta, dokázal, že integrační funkce Riemanna lze „reprezentovat“ Fourierovou řadou. Dirichlet to prokázal u spojitých, kusově diferencovatelných funkcí (tj. S počitatelným počtem skokových bodů). Jako případ, který Dirichlet nepokrýval, uvedl Riemann příklad spojité, téměř nikterak odlišitelné funkce, ve formě Fourierovy řady. Dokázal také Riemann-Lebesgueovo lemma : pokud lze funkci reprezentovat Fourierovou řadou, Fourierovy koeficienty se blíží nule pro velká n .

Riemannova esej byla také výchozím bodem studie Georga Cantora o Fourierově sérii, z níž vzešla teorie množin .

Zabýval se také hypergeometrickou diferenciální rovnicí v roce 1857 metodami teorie funkcí a řešení charakterizoval chováním popsaným v monodromové matici na uzavřených cestách kolem singularit. Důkaz existence takové diferenciální rovnice pro danou monodromní matici je jedním z Hilbertových problémů (Riemann-Hilbertův problém).

Matematická fyzika, přírodní filozofie

Riemann se také velmi zajímal o matematickou fyziku a přírodní filozofii pod vlivem filozofa Johanna Friedricha Herbarta . To představovalo jakousi „teorii pole“ mentálních jevů podobnou elektrodynamice v analogii s Gaussovou větou teorie potenciálu. Herbart: „V každém okamžiku do naší duše vstoupí něco trvalého, aby to zase okamžitě zmizelo.“ Pro Herbart, který hledal matematické základy psychologie s odkazem na Huma , bylo toto téma pouze proměnlivým produktem idejí. Jak sám Riemann uvádí, dokázal se řídit některými Herbartovými epistemologickými a psychologickými koncepty, nikoli však svou přirozenou filozofií. Jeho recenze raných spisů Gustava Theodora Fechnera ukazuje, že sdílel Fechnerovo učení ovlivněné přírodní filozofií Friedricha Wilhelma Josepha Schellinga , zejména myšlenku, že existuje „nitro přírody“, které je oživeno „organizačním principem a vede „vyšší úroveň vývoje“. Riemannovy myšlenky na přírodní filozofii z jeho pozůstalosti jsou publikovány v jeho sebraných pracích.

Jeho „Příspěvek k elektrodynamice“ z roku 1858, který stáhl z publikace, byl určen ke standardizaci elektrodynamiky : Coulombovy síly (gravitace, elektřina) od odporu ke změně objemu, „elektrodynamické“ síly jako světlo, tepelné záření od odporu ke změně v délka liniového prvku (vychází z Ampérova zákona interakce dvou proudů). Místo Poissonovy rovnice potenciálu přichází s vlnovou rovnicí s konstantní rychlostí světla. Při rozvíjení svých myšlenek byl ovlivněn 3. dopisem Isaaca Newtona Bentleymu (citováno v Brewsterově „Newtonově životě“). Rudolf Clausius našel v posmrtně vydaném díle vážnou chybu.

Jeho použití Dirichletova principu již naznačuje způsoby variace a Riemann také napsal práci na minimálních plochách . Po Laugwitzovi na něm Hattendorff, který jej vydal posmrtně, nešikovně pracoval a očekával mnoho myšlenek Hermanna Amanduse Schwarze .

V matematické fyzice pracoval například na problémech vedení tepla, potenciálních problémech, hyperbolické diferenciální rovnici (v roce 1860 našel novou metodu řešení diferenciálních rovnic popisujících rázové vlny) a postavách rotujících kapalin. Riemannův problém je po něm pojmenován kvůli jeho vyšetřování hyperbolických rovnic . V oblasti rotujících kapalin odpověděl na otázku Dirichleta a našel nové postavy po boku Dedekinda, Dirichleta a Colina MacLaurina, kteří již byli známí . Podíval se také na jejich stabilitu (v očekávání Lyapunova ). Hattendorf publikoval své přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích v matematické fyzice po jeho smrti. Později se při úpravách Heinricha Webera stala v té době známou učebnicí. Krátce před smrtí pracoval na teorii lidského ucha.

Účinek a ocenění

Po jeho smrti v roce 1876 vydal Riemannův přítel Richard Dedekind společně s Heinrichem Weberem první vydání jeho děl (2. vydání 1892 od Heinricha Webera) (a poskytl životopis), včetně spousty nepublikovaného materiálu (očekává se, že jeho hospodyně bude post další práce krátce spálily jeho smrt z nevědomosti). Popularizaci jeho teorie funkcí, která v té době konkurovala teorii funkcí „mocenských řad“ à la Cauchy a Weierstrass, provedl hlavně Felix Klein ve svých přednáškách v Lipsku a Göttingenu, který se nevyhýbal zdůrazňování fyzické analogie. I Carl Neumann přispěl v různých knihách k šíření Riemannových myšlenek. Proto byla Riemannova teorie funkcí u fyziků jako Hermann von Helmholtz od začátku úspěšná. Helmholtz ji aplikoval již v roce 1868 v práci o pohybu kapalin (konformní obrazy) a v roce 1868, navazující na Riemanna, napsal práci na pozdějším takzvaném „prostorovém problému Riemann-Helmholtz“. Matematici zůstali po dlouhou dobu podezřelí z teorie funkcí, v neposlední řadě díky Weierstrassově kritice Dirichletova principu.

Zejména Riemannovy myšlenky padly na úrodnou půdu v ​​Itálii, jejíž nově založený národní stát byl velmi hladový po nových myšlenkách. Riemann, který rád pobýval v Itálii, aby si obnovil zdraví, měl také osobní vztahy s italskými matematiky, jako byli Enrico Betti a Eugenio Beltrami , a dokonce se ho pokusili stáhnout do Itálie na židli v Pise. Zabránila tomu jeho nemoc a smrt.

Mezi jeho bezprostřední německé studenty patřili Friedrich Schottky , Gustav Roch (který zemřel ve stejném roce jako Riemann a také na tuberkulózu ), Friedrich Prym , který, stejně jako Roch, slyšel od Riemanna v roce 1861 a okamžitě použil své metody na Kummera ve své disertační práci v roce 1862. .

Pro Riemanna byl typický konceptuální způsob myšlení, který spojoval mnoho oblastí, ale byl také „technicky“ velmi silný. Stejně jako jeho vzor Dirichlet se ale vyhýbal fakturám, kdykoli to bylo možné. S ním začala topologie hrát ústřední roli v matematice.

rozličný

Vědecký odkaz Riemanna je uchováván Ústředním archivem dědictví německých matematiků ve Státní a univerzitní knihovně Dolního Saska v Göttingenu . Neobsahuje žádné soukromé dopisy ani osobní dokumenty, které zůstaly v rukou rodiny. Některé soukromé dopisy z majetku Ericha Bessela-Hagena (který je pravděpodobně získal v době druhé světové války) dorazily do berlínské státní knihovny .

V místě jeho narození pojmenovala Breselenz, obec Jameln, po něm ulici, stejně jako města Berlín , Dannenberg (Labe) , Göttingen , Jena , Lipsko a Lüneburg .

Eponym

Po Riemannovi jsou pojmenovány následující matematické struktury:

• Riemannův integrál , klasický integrální termín v analýze
• Riemann-Stieltjesův integrál , zobecnění Riemannova integrálu
• Riemann - Silbersteinův vektor , komplexní vektor, který spojuje elektrická a magnetická pole (také pojmenovaný po Ludwiku Silbersteinovi , někdy také Weberův vektor podle Heinricha Webera )
• Riemannův problém , problém počáteční hodnoty, kde jsou počáteční data konstantní, s výjimkou bodu, kde jsou diskontinuální
• Cauchy-Riemannovy diferenciální rovnice , soustava dvou parciálních diferenciálních rovnic dvou reálných funkcí
• Riemannův povrch , jednorozměrný komplexní potrubí
• Riemannova geometrie , podoblast diferenciální geometrie, ve které jsou zkoumány riemannianské variety
• Riemannian potrubí , skutečně diferencovatelné potrubí vybavené skalárním produktem v tangentovém prostoru
• Riemannovy normální souřadnice , souřadnicový systém používaný v Riemannově geometrii
• Funkce Riemann-Siegel theta
• Riemannova domněnka , domněnka, podle které všechny netriviální nuly funkce Riemannova zeta mají skutečnou část ½
• Funkce Riemann Xi , transformace funkce Riemann zeta
• Riemannova číselná koule , Riemannova plocha, která je výsledkem přidání bodu v nekonečnu do komplexní roviny
• Riemannova ζ funkce , komplexní funkce, která je analytickým pokračováním Dirichletovy řady

Po Riemannovi jsou také pojmenovány následující matematické věty:

• Riemann-Hurwitzův vzorec , vztah mezi větvením, počtem listů a rodem v holomorfních obrazech kompaktních Riemannových povrchů
• Riemannova věta o mapování : každou jednoduše připojenou oblast lze biholomorfně mapovat na disk otevřené jednotky
• Riemannova věta o životaschopnosti : singularitu holomorfní funkce lze opravit pouze tehdy, pokud je funkce ohraničena v oblasti kolem singularity
• Riemannova přesmyková věta , věta o přeskupitelnosti podmíněně konvergentních řad
• Riemann-Rochova věta , věta o počtu nezávislých meromorfních funkcí s danými nulami a póly na kompaktním Riemannově povrchu

Po Riemannovi jsou navíc pojmenovány:

• (4167) Riemann , asteroid hlavního pásu
• Riemann (měsíční kráter) , měsíční kráter na severní polokouli
• Bernhard-Riemann-Gymnasium , střední škola v Scharnebecku
• Riemann - software pro monitorování síťových systémů

Písma

• Raghavan Narasimhan (Ed.): Riemann's Collected Works. Teubner / Springer, 1990 (s Scheringovým nekrologem, který je rovněž vytištěn v jeho Sebraných dílech, svazek 2), popř.
• Shromážděné matematické práce a vědecké dědictví od Berharda Riemanna. upravil Heinrich Weber za pomoci Richarda Dedekinda , Lipska, BG Teubner 1876, 2. vydání 1892, přetištěno v Doveru 1953 (s dodatky upravenými Maxem Noetherem a Wilhelmem Wirtingerem , Teubner 1902)
• Hermann von Stahl (Ed.): Riemannovy přednášky o eliptických funkcích. Teubner, 1899.
• O počtu prvočísel pod danou velikostí. In: Měsíční zprávy pruské akademie věd. Berlín, listopad 1859, s. 671 a násl. Riemannovu hypotézu najdete zde. O počtu prvočísel pod danou velikostí. (Wikisource), faksimile rukopisu na Clay Mathematics
• Přednášky na téma „Parciální diferenciální rovnice“. 3. Edice. Brunswick 1882.
• Gravitace, elektřina a magnetismus. Hanover 1876, vydal Karl Hattendorff .
• Dílčí diferenciální rovnice a jejich aplikace na fyzikální otázky Upravil a upravil pro tisk Karl Hattendorff . Braunschweig, tisk a vydání Friedrich Vieweg and Son, 1869.
• The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann , also in emis.de
• O reprezentovatelnosti funkce trigonometrickou řadou . Dep. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868.
• Matematická teorie gravitace, elektřiny a magnetismu . Rukopis přednášky k přednášce, Göttingen v létě 1861. Vypracoval pan Ed. Schultze.
• O šíření rovinných vzdušných vln s konečným rozsahem oscilací . Dep. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1860, jeho zvláštní „rázová vlna“.
• O hypotézách, na nichž je geometrie založena . Dep. Kgl. Ges. Wiss., Göttingen 1868 ( digitalizovaný a plný text v německém textovém archivu ), EMIS, pdf
• Příspěvky k teorii funkcí reprezentovatelné Gaussovou řadou F (α, β, γ, x) . Dep. Kgl. Ges. Wiss. Goettingen 1857
• O zániku funkcí ϑ . In: Crelles Journal . 1866, svazek 65.
• Obecné předpoklady a nástroje pro zkoumání funkcí nekonečně proměnných veličin . In: Crelles Journal 1857, svazek 54.
• Věty z analytického situsu pro teorii integrálů dvoudílných úplných diferenciálů . In: Crelles Journal 1857, svazek 54.
• Stanovení funkce proměnné komplexní veličiny pomocí okrajových a diskontinuitních podmínek . In: Crelles Journal 1857, svazek 54.
• Teorie abelianských funkcí . In: Crelles Journal 1857, svazek 54.
• Přes oblast nejmenšího obsahu s daným omezením . Dep. Kgl. Ges. Wis. Göttingen, 1868.
• Příspěvek k výzkumu pohybů kapalného elipsoidu stejného typu . Dep. Ges. Wiss. Goettingen 1861.

literatura

• Eric Temple Bell : Muži z matematiky . New York 1986 (první vydání 1937). Němčina pod názvem: Velcí matematici , Econ Verlag, 1967
• Umberto Bottazzini : Riemannův vliv na E. Bettiho a F. Casoratiho . In: Archiv pro historii exaktních věd . Svazek 18, č. 1, březen 1977
• ders.: „Algebraické pravdy“ vs. „Geometrické fantazie“: Weierstrassova odpověď na Riemanna . In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Beijing, 20. - 28. Srpna 2002
• Umberto Bottazzini a Rossana Tazzioli: „Přírodní filozofie a její role v Riemannově matematice.“ Revue d'Histoire des Mathématiques, svazek 1, 1995, s. 3-38, numdam
• Umberto Bottazzini, Jeremy Gray : Hidden Harmony - Geometric Fantasies. Vzestup teorie komplexní funkce , Springer 2013
• Moritz Cantor :  Riemann, Bernhard . In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Svazek 28, Duncker & Humblot, Lipsko 1889, s. 555-559.
• Richard Courant : Bernhard Riemann a matematika posledních 100 let , přírodní vědy, svazek 14, 1926, s. 813–818, 1265–1277
• Olivier Darrigol : Tajemství Riemannova zakřivení , Historia Mathematica, svazek 42, 2015, s. 47-83
• Richard Dedekind : Životopis Bernharda Riemannse . In: Richard Dedekind, Heinrich Weber (ed.): Sebrané matematické práce Bernharda Riemanna a vědecké dědictví. 2. vydání, Lipsko 1892, s. 541–558, plný text (PDF; 379 kB) na univerzitě v Heidelbergu
• John Derbyshire: Prime Obsession. Bernhard Riemann a největší nevyřešený problém v matematice . Washington DC 2003, ISBN 0-309-08549-7
• Harold Edwards : Riemannova funkce Zeta . Mineola, New York 2001 (dotisk), ISBN 0-486-41740-9
• Hans Freudenthal : Riemann . In: Slovník vědecké biografie . Vol. 11. vydání. Charles Coulston Gillipsie. New York: Scribner, 1975. 447-56.
• Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, Sumio Yamada (eds.): Od Riemanna k diferenciální geometrii a relativitě , Springer, 2017, XXXIV, ISBN 978-3-319-60039-0 (včetně úvodu Athanase Papadopoulos Pohled zpět: Od Eulera k Riemannovi )
• Felix Klein : Přednášky o vývoji matematiky v 19. století . Springer-Verlag 1926, 1979.
• Detlef Laugwitz : Bernhard Riemann 1826-1866 . Birkhäuser, Basilej 1996, ISBN 978-3-7643-5189-2
• Krzysztof Maurin: Riemannovo dědictví. Riemannian nápady v matematice a fyzice . Kluwer 1997
• Michael Monastyrsky: Riemann, topologie a fyzika . 2. vydání. Birkhäuser, 1999, ISBN 0-8176-3789-3
• Erwin Neuenschwander : Riemann a princip „Weierstrasse“ analytického pokračování prostřednictvím energetických řad . Výroční zpráva Německé asociace matematiků, díl 82, s. 1–11 (1980)
• Neuenschwander: Lettres de Bernhard Riemann à sa famille . In: Cahiers du seminaire d'histoire des mathématiques , sv. 2, 1981, s. 85-131, numdam.org
• Olaf Neumann (Ed.): Bernhard Riemann (1826-1866). S B. Riemannem, habilitační přednáška, Göttingen 1854 (poprvé publikováno v Göttingen 1867 / BG Teubner 1876); R. Dedekind: Životopis Bernharda Riemanna, BG Teubner 1876; O. Neumann: O Riemannově habilitační přednášce, EAGLE 2017 , Leipzig, Edition am Gutenbergplatz Leipzig, 2017, ISBN 978-3-95922-097-2 [1]
• Olaf Neumann (ed.): Bernhard Riemann / Hermann Minkowski, Riemannsche spaces and Minkowski world. Habilitační přednáška B. Riemanna, Göttingen 1854 a vzpomínkový projev D. Hilberta na H. Minkowski, Göttingen 1909. S původními díly B. Riemanna, H. Minkowského, R. Dedekinda, D. Hilberta a esejem Riemann napsaným O . Neumann, Minkowski a koncept prostoru , Leipzig, Edition am Gutenbergplatz Leipzig, 2012, ISBN 978-3-937219-14-1 [2]
• Winfried Scharlau (ed.): Richard Dedekind: 1831–1981, pocta jeho 150. narozeninám , Braunschweig, Vieweg, 1981, ISBN 3-528-08498-7 (zde také od Dedekind zu Riemann něco z toho, co řekl ve svém životopise ukrytý ve shromážděných pracích z ohledů na vdovu)
• Ernst Schering : Řeč na památku Riemanna od 1. prosince 1899 , in: Riemann, Bernhard: Shromážděné matematické práce a vědecké dědictví. Upraveno za účasti Richarda Dedekinda a Heinricha Webera , druhé vydání, Leipzig 1892, sv. 2
• Erhard Scholz: Herbartův vliv na Bernharda Riemanna , Historia Mathematica, svazek 9, 1982, s. 413-440
• Carl Ludwig Siegel : Přednášky o vybraných kapitolách teorie funkcí , Göttingen, o. J./1995, sv. 1,2 (vysvětlení Riemannova díla), dostupné zde: uni-math.gwdg.de
• ders.: O Riemannově pozůstalosti z analytické teorie čísel , pramenných studií z historie matematiky, astronomie a fyziky, oddělení B: Studies 2, (1932), s. 45–80. (Také v Gesammelte Abhandlungen , sv. 1, Springer-Verlag, Berlín a New York 1979, ISBN 978-3-540-09374-9 ).
• Peter Ullrich:  Riemann, Georg Friedrich Bernhard. In: New German Biography (NDB). Svazek 21, Duncker & Humblot, Berlín 2003, ISBN 3-428-11202-4 , s. 591 f. ( Digitalizovaná verze ).
• Annette Vogt : Vývoj moderní teorie funkcí v díle B. Riemanna (1826 - 1866) a K. Weierstrassa (1815 - 1897): srovnání jejich stylu myšlení, 1986 DNB 870532820 (Dizertační práce A University of Leipzig 1986, 111 stránky).
• André Weil : Riemann, Betti a zrození topologie , in: Archiv pro dějiny exaktních věd , sv. 20, 1979, s. 91 a sv. 21, 1980, s. 387 (včetně dopisu od Bettis, ve kterém vytvořil prohlášení Riemanns uvádí, že měl nápad na své střihy z rozhovoru s Gaussem)
• Hermann Weyl : Vysvětlení ve svém vydání od Riemanna: Hypotézy, které jsou základem geometrie. Springer, Berlín 1919
• Hermann Weyl : Riemannovy geometrické myšlenky, jejich efekty a jejich spojení s teorií skupiny . Springer, 1988

Beletrie

• Atle Næss : Riemannova hypotéza. O kráse prvočísel a tajemství lásky . Piper, Mnichov 2007, ISBN 978-3-492-05110-1 (norský původní název: 'Roten av minus en' ['Root of minus one'], přeložil Günther Frauenlob). Kapesní vydání také od Piper, Mnichov 2009, ISBN 978-3-492-25366-6

webové odkazy

• Literatura a o Bernhardu Riemannovi v katalogu Německé národní knihovny
• Dörte Haftendorn: Riemannova biografická univerzita v Lüneburgu
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Bernhard Riemann. In: MacTutor History of Mathematics archive .
• Richard Dedekind: Biografie, ze „Sebraných děl“ (PDF; 370 kB)
• Ritchey: Analýza a syntéza - o vědecké metodě založené na studii Bernharda Riemanna . (PDF; 182 kB) Anglický překlad Riemannovy práce na uchu
• Felix Klein: Vývoj matematiky v 19. století . Kapitola Riemann
• A. Speiser: Přirozená filozofická zkoumání Riemanna a Eulera . Crelles Journal , 1927
• Felix Klein: Riemann a jeho význam pro rozvoj matematiky . Výroční zpráva DMV 1894/95. ( Nové digitální vydání. Univ. Heidelberg, 2010)
• Brill, Noether: Historie teorie algebraických funkcí . Jb DMV 1894, sekce Riemann
• Centrální archiv odkazů matematiků: Pomoc při hledání (PDF)
• Neuenschwanderovu kopii Riemannových dopisů jeho rodině najdete zde: numdam.org
• Wolfgang Gabcke: Přepisy šesti písmen Bernharda Riemanna zachované ve Smithsonianských knihovnách (2016)
• Spektrum.de: Bernhard Riemann (1826–1866) 1. listopadu 2012

Jednotlivé reference a komentáře

1. ↑ Hodnocení (velmi pozitivní) Gaußa a dalších je vytištěno v Reinhold Remmert Soubor Riemann č. 135 Filozofické fakulty Gruzie Augusta v Göttingenu , Mathematical Intelligencer, 1993, č. 3, s. 44.
2. ↑ Göttingenská pamětní deska: Barfüßerstraße 18 , stadtarchiv.goettingen.de .
3. ↑ Od 28. června žil ve Villa Pisoni na Selasce
4. ↑ Riemannův hrob v Biganzolo (přístup 12. srpna 2010).
5. ↑ Derbyshire Prime Obsession , Joseph Henry Press, s. 364. Náhrobek vdovy a sestry Riemanna, dcery Carla Schillinga a jejích pěti dětí v Bremen-Riensberg .
6. ↑ Do širšího povědomí se dostala až díky své publikaci ve zprávách Göttinger Akad.Wiss. 1868 od Dedekinda.
7. ↑ Sommerfeld „Přednášky z teoretické fyziky“, sv. 2 (Mechanika deformovatelných médií), Harri Deutsch, s. 124. Sommerfeld měl příběh od aachenského profesora experimentální fyziky Adolfa Wüllnera.
8. ↑ O počtu prvočísel pod danou velikostí na Wikisource .
9. ↑ Erhard Scholz : Herbertův vliv na Bernharda Riemanna . In: Historia Mathematica , sv. 9, 1982, s. 413-440.
10. ↑ Citováno z Riemannova životopisu Laugwitze.
11. ↑ Riemann, Werke, 1876, s. 476.
12. ↑ viz Marie-Luise Heuser : Schellingův koncept sebeorganizace, In: R. Friedrich / A. Wunderlin (Ed.): Evoluce dynamických struktur v komplexních systémech. Springer Proceedings in Physics, Berlin / Heidelberg / New York (Springer) 1992, s. 395-415 o riemannovské recepci Schellingovy přírodní filozofie prostřednictvím Fechnera.
13. ↑ Marcus du Sautoy, Hudba prvočísel. Na stopě největší hádanky v matematice , Mnichov 2003, ISBN 3-423-34299-4 , strana 130.
14. ↑ Erwin Neuenschwander Stručná zpráva o řadě nedávno objevených souborů poznámek Riemannových přednášek a o přenosu Riemann Nachlass , Historia Mathematica, 15, 1988, 101–113.
15. ↑ Riemann - Systém monitorování sítě. Přístup 9. února 2018 (anglicky). 

osobní data
PŘÍJMENÍ	Riemann, Bernhard
ALTERNATIVNÍ JMÉNA	Riemann, Georg Friedrich Bernhard
STRUČNÝ POPIS	matematik
DATUM NAROZENÍ	17. září 1826
MÍSTO NAROZENÍ	Breselenz u Dannenbergu (Labe)
DATUM ÚMRTÍ	20. července 1866
MÍSTO SMRTI	Selasca poblíž Verbania