Matematická přísnost
Pod matematickou přísností (v poněkud odlišném kontextu, často s matematickou přesností ) je jasný logický přístup v rámci matematiky a ostatních na jejích vědeckých základech. Zahrnuje na jedné straně axiomatický přístup založený na přísných definicích a na druhé straně přesvědčivý důkaz . Hledá se také metoda systematického odpočtu . V důsledku toho, matematické věty jsou v zásadě konečné a univerzální pravdy, takže matematika může být považována za v exaktní vědu. Matematická přesnost není cílem sama o sobě, ale nezbytným prostředkem umožňujícím trvalý pokrok v matematice. Je to také dobrý myšlenkový směr v řeckém smyslu . Následně bude mít matematická přesnost také za následek zjednodušení matematických úvah.
příběh
Již v řecké matematice lze nalézt zejména u Euklida v jeho prvcích (konec 4. století, V. Chr.) První pokusy o matematickou přísnost Axiomatizace a systematické matematické dedukce. Ve starověku se však často upřednostňovalo méně přísné zacházení s matematikou než s euklidovským. Bylo také jasné, že princip matematické přesnosti nelze aplikovat na všechny vědy . Aristoteles tak píše: „Matematická přísnost nemá spočívat ve všech věcech, ale pravděpodobně v nehmotném.“ Po dlouhém období stagnace začalo v 17. století oživení matematických věd analytickou geometrií a kalkulem . Řecký ideál axiomatiky a systematické dedukce však byl překážkou produktivním matematikům té doby. Výsledky hrály větší roli než tam. Tento přístup původně ospravedlňoval silný intuitivní pocit a téměř slepé přesvědčení o síle nově vynalezených metod. Věk začínající industrializace tuto formu ještě více podporoval. Sylvestre Lacroix s tímto sebevědomím v roce 1810 řekl : „Už nepotřebujeme takové jemnosti, kterými se Řekové trápili.“
Teprve na počátku 19. století byla rychle rostoucí víra v pokrok nahrazena nově probouzející se sebekritikou. Vznikla potřeba jistoty výsledků a jasnosti. Tento proces byl podpořen silnou popularizací věd po francouzské revoluci .
Disquisitiones Arithmeticae od Carl Friedrich Gauss jsou považovány za jeden z prvních příkladů děl matematické přísnosti. Je psaný úplně v duchu věty - důkaz - Důsledek neobsahuje motivaci řad dokazování a pečlivě skrývá způsob, jakým Gauss přišel jeho objevů. Poslední aspekt je však částečně založen na požadavku matematické přesnosti, a nikoli na zvláštní zvláštnosti Gauss. Souvisí to s požadavkem na absolutní „ osvobození od nadbytečnosti “, který je popsán níže .
Díky práci Augustina Louisa Cauchyho a Karla Weierstrassa byl zejména infinitezimální počet umístěn na bezpečném a přísném základě. 19. století se tak vyznačovalo úspěšnou úvahou o klasickém ideálu přesnosti a přísnosti argumentace, přičemž byl překročen příklad řecké vědy. Ještě před Cauchym Bernard Bolzano v roce 1817 významně přispěl k přísnému zacházení s analýzou prací Čistě analytický důkaz věty, že mezi dvěma hodnotami, které poskytují opačný výsledek, existuje alespoň jeden skutečný kořen rovnice .
Citáty
Jedním z hlavních zastánců matematické přesnosti v kombinaci s obrovskou všestranností byl David Hilbert . Na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 formuloval :
"Stručně probereme, jaké oprávněné obecné požadavky je třeba klást na řešení matematického problému: Myslím tím především to, že správnost odpovědi lze prokázat konečným počtem závěrů, na základě konečného počtu Předpoklady, které v problému spočívají a které je třeba pokaždé přesně formulovat. Tento požadavek logické dedukce pomocí konečného počtu závěrů není nic jiného než požadavek přísnosti argumentace. Požadavek přísnosti, který, jak je dobře známo, se stal v matematice příslovečným významem, odpovídá obecné filozofické potřebě našeho porozumění a na druhé straně intelektuální obsah a plodnost problému plně vstoupí v platnost pouze prostřednictvím jeho naplnění. Nový problém, zvláště pokud pochází z vnějšího světa, je jako mladá rýže, která prospívá a přináší ovoce pouze tehdy, je-li roubována pečlivě a podle přísných pravidel zahradníka na starý kmen, bezpečnou držbu našich matematických znalostí se stává.
Je také chybou domnívat se, že důslednost uvažování je nepřítelem jednoduchosti. Naopak v mnoha příkladech nacházíme potvrzení, že přísná metoda je zároveň jednodušší a snáze uchopitelná. Snaha o závažnost nás nutí hledat jednodušší způsoby odvození; také nám to často připravuje cestu k metodám, které jsou schopnější vývoje než staré, méně přísné metody. “
Alexander Danilovich Alexandrov řekl:
"Matematika nás morálně učí, abychom byli přísní ohledně toho, co se tvrdí jako pravda, co se tvrdí nebo co se uvádí jako důkaz." Matematika vyžaduje jasnost termínů a tvrzení a netoleruje mlhu ani neprokázatelné vysvětlení. “
Osvobození od nadbytečnosti
Výše uvedené osobní charakteristiky Carla Friedricha Gauße byly kvazi „ internalizovány “ matematiky prostřednictvím implicitně nebo explicitně požadovaného principu osvobození od nadbytečnosti : Všechna zbytečná tvrzení by měla být odstraněna a pochopení toho, co bylo řečeno, je ponecháno na čtenáři (věcná správnost a důležitost pokud). V typické matematické práci jsou tedy kromě větných výroků, předpokladů a implementace důkazních kroků přinejlepším žádoucí ospravedlňující výroky následujícího typu: „Tento výsledek je důležitý, protože ...“, aby byla jednotlivá tvrzení přinejmenším uvedena do správného kontextu. Tento princip „osvobození od nadbytečnosti“ je užitečný nebo nezbytný pro realizaci matematické přesnosti a zakazuje osobně barevné dodatky jako „nadbytečné a u. U. dokonce škodlivé pro věc “, ale zároveň je to jedna z největších překážek srozumitelnosti mnoha matematických výroků, nebo obecně hlavní důvod často bědující nepochopitelnosti„ matematického stylu “s jeho lemy , teorémy a důsledky včetně nedostatečné transparentnosti mnoha z nich Důkazy .
Bourbaisté
„Matematický styl“ byl zvláště výrazný a stále abstraktnější v pracích publikovaných pod pseudonymem Nicolas Bourbaki , rozsáhlé příručky, skupina vynikajících francouzských matematiků, kteří se od roku 1934 snažili o celkovou prezentaci matematiky. Po desetiletích dominantního vlivu tohoto autorského kolektivu je však trend ke zvyšování závažnosti a abstrakce zjevně na ústupu.
Viz také
literatura
- Günther Eisenreich , Ralf Sube: Langenscheidtův odborný slovník matematiky: angličtina, němčina, francouzština, ruština . 4. vydání. Langenscheidt, Berlin 1996, ISBN 3-86117-074-4 . Na str. 499 (M 171) [GN general] je uvedeno : matematická přesnost , mathematische Strenge, riguer mathématique ; S. 726 (R 1305) [GN general] přísný důkaz , přísný důkaz, předváděcí pocta
- Richard Courant , Herbert Robbins: Co je to matematika? Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 3-540-63777-X .
- Hans Niels Jahnke (ed.): Historie analýzy . Spectrum Academic Publishing House, Berlin 1999.
- Oskar Becker : Velikost a limity matematického způsobu myšlení . Verlag Karl Alber, Freiburg / Mnichov 1959, Kritické zdůvodnění analýzy, str. 108–111 (Studium Universale).
- Harro Heuser : Učebnice analýzy . 11. vydání. Část 2. Teubner, Stuttgart 2000, ISBN 3-519-42234-4 , kapitola 29: A historické tour d'horizon , část: Die neue Strenge , s. 689-700 .
- Philip Davis , Reuben Hersh : Experience Mathematics. S úvodem Hanse Freudenthala . Z Američana Jeannette Zehnder . 2. vydání. Birkhäuser, Basilej 1996.
- Tom Archibald: Vývoj matematické analýzy v analýze . V Timothy Gowers , June Barrow-Green , Imre Leader (Eds.): Princetonský společník matematiky . Princeton University Press 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 , str. 117–129 ( omezená online verze v Google Book Search - USA )
- Israel Kleiner : Přísnost a důkaz v matematice: Historická perspektiva . (PDF; 410 kB) In: Mathematics Magazine , ročník 64, č. 5 (Dec., 1991), str. 291-314
- Haskell Brooks Curry : Některé aspekty problému matematické přesnosti . (PDF; 2,3 MB) In: Bulletin of the American Mathematical Society , 1941
- James Pierpont : Matematická přesnost, minulost a současnost . In: Bulletin of the American Mathematical Society , 1928
webové odkazy
- Eric W. Weisstein : Rigorózní . In: MathWorld (anglicky).
Individuální důkazy
- ↑ Aristoteles. Bibl. Didotiana, ročník 10, Aristotelis Opera II. De Gruyter, Berlín 1970, s. 488
- ↑ Heuser, s. 689
- ^ David Hilbert: Matematické problémy . ( Memento na originálu z 19. ledna 2012 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. Přednáška, publikovaná jako: Matematické problémy. Přednáška na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 , Zprávy ze Společnosti věd v Göttingenu, matematicko-fyzikální třída. Č. 3, str. 253-297
- ^ Heiner Stauff: Matematická přesnost .