Axiomatizace

„ Axiomatizace teorie znamená její prezentaci takovým způsobem, že určité věty této teorie, axiomy , jsou umístěny na začátek a další věty jsou z nich odvozeny logickou dedukcí .“

Axiomatizace obecně

Koncept axiomatizace sahá až k Euklidovi (přibližně 350–300 př. N. L.), Který tento postup poprvé platně aplikoval na matematickou disciplínu, geometrii. Axiomatizaci proto od Euklida chápeme jako generování a konstrukci pravdivých vět (derivací, vět) z obecných principů (definice, postuláty, axiomy), které jako celek vedou k úplnému a konzistentnímu systému. To nebylo až do konce 19. století, které matematici podařilo axiomatising dalších oblastí jejich tematické oblasti (například aritmetický z přirozených čísel od Giuseppe Peano v roce 1899 nebo teorie množin od Ernst Zermelo v roce 1908).

"Axiomatizace jako první aproximace spočívá v zavedení řádu do souboru tvrzení, která platí v určité oblasti." Toto pořadí spočívá ve pokusu izolovat co nejmenší podmnožinu všech těchto pravdivých příkazů, která má tu vlastnost, že ostatní příkazy z nich logicky vyplývají; v této (malé) podmnožině výroků, axiomech, jsou představeny veškeré znalosti o oblasti. “

`` Axiomatická reprezentace oblasti poskytuje tři věci: na jedné straně ekonomické reprezentace znalostí o oblasti, pak vyjasnění vzájemných závislostí mezi prohlášeními oblasti a nakonec jasná definice povinností odůvodnění, které jsou převzaty při prosazování prohlášení v dané oblasti. „Axiomatizace teorie podporuje její„ jasnost a ověřitelnost “.

"Jedním z nejdůležitějších důsledků axiomatizace je definice". Při budování deduktivní vědy je třeba vycházet z nedefinovaných základních pojmů, jejichž význam nelze vysvětlit. Současně nesmí být zaveden nový termín, aniž by byl vysledován zpět k základním termínům nebo jinak vysvětlen.

Axiomatizace je také považována za metodu, která - aby se předešlo nekonečnému regresu při určování základních konceptů pro oblast výzkumu - vybere malou skupinu výrazů a použije je nedefinovaným způsobem, ale použije všechny ostatní výrazy, pouze pokud jsou na nich založeny jsou určeny vybrané základní pojmy nebo axiomy.

Axiomatizace v matematice

Axiomatizace označuje pokus redukovat matematická fakta na axiomy. Historicky byl tento proces doprovázen rostoucí formalizací . V důsledku toho dochází k modernímu univerzálnímu sporu .

Zatímco axiomy se používají od starověku, až do konce 19. století bylo vyvinuto značné úsilí, aby byla veškerá matematika postavena na axiomatický základ. David Hilbert přidal tento cíl do svého seznamu 23 nevyřešených problémů a v roce 1920 zahájil program Hilberta k vytvoření takového systému axiomů.

Od roku 1934 se francouzská skupina matematiků Bourbaki pokusila o systematickou axiomatizaci celé matematiky.

V roce 1931 rakouský matematik Kurt Gödel ukázal, že veškerou matematiku nelze axiomatizovat ( věta o neúplnosti ).

Viz také

bobtnat

  1. ^ Carnap: Úvod do symbolické logiky. 3. vydání, 1968, s. 172.
  2. ↑ Hoyningen-Huene: Logika. 1998, s. 240 f.
  3. ↑ Hoyningen-Huene: Logika. 1998, s. 241
  4. ^ Bußmann: Lexikon lingvistiky. 3. vydání, 2002 / Axiom.
  5. ↑ Bochenski: Současné metody myšlení. 10. vydání, 1993, s. 78.
  6. ↑ Tarski: Úvod do matematické logiky. 5. vydání, 1977, s. 127.