Teorie kvantového pole

Kvantová polní teorie ( QFT ) je oblast teoretické fyziky , v principech klasické teorie pole (například klasické elektrodynamiky ) a kvantové mechaniky jsou kombinovány pro vytvoření expandované teorie. Překračuje kvantovou mechaniku v tom, že popisuje částice a pole jednotným způsobem. Nejen takzvané pozorovatelné (tj. Pozorovatelné veličin, jako je energie nebo hybnosti ) jsou kvantované , ale i interakce (částice), pole se; S poli a pozorovatelnými se zachází stejně. Kvantizace polí je také známá jako druhá kvantizace . Toto výslovně bere v úvahu tvorbu a zničení elementárních částic ( vytváření párů , anihilace ).

Metody kvantové teorie pole se používají hlavně ve fyzice elementárních částic a statistické mechanice . Rozlišuje se mezi relativistickými teoriemi kvantového pole , které zohledňují speciální teorii relativity a často se používají ve fyzice elementárních částic, a nerelativistickými teoriemi kvantového pole , které jsou relevantní například ve fyzice pevných látek .

Objekty a metody QFT jsou fyzicky motivované, i když se používá mnoho podoblastí matematiky. Tyto axiomatické Kvantová teorie pole pokusí se najít její principy a pojmy v matematicky přísné rámce.

Od kvantové mechaniky ke kvantové teorii pole

Klasická kvantová mechanika se zpočátku zabývala atomy, molekulami nebo pevnými látkami, tj. H. se systémy s daným počtem částic. Schrödingerova rovnice a prostor Hilbertova překlenul byly od vlnové funkce použít.

Jeden dospívá ke kvantové teorii pole s následným přechodem z vlnové funkce na reprezentaci počtu částic, druhá kvantování . Přesněji to znamená, že takový mnohobodový Hilbertův prostor může být vybrán všemi možnými (povolenými) produkty jednočásticových funkcí (např. Slaterovy determinanty ) poté, co byla vybrána sada funkcí s jednou částici . Kompletní soubor takovýchto základních vektorů pak může být charakterizován pouze obsazovacími čísly stavů jedné částice.

Rozptyl částice na potenciálu se objevuje v takovém zobrazení počtu částic jako změna počtu obyvatel: stav odpovídající hybnosti přicházející částice obsahuje po rozptylu o jednu částici méně, stav odpovídající hybnosti odcházející částice obsahuje jeden po rozptýlení částic více. To je přirozeně interpretováno jako zničení a vytvoření částic v určitých stavech jedné částice. Základními operátory jsou pak operátory tvorby částic a anihilace, z Hilbertova prostoru se stává Fockův prostor . Výsledný formalismus je kvantová teorie pole.

Teorie kvantového pole jsou i. d. Obvykle adekvátní způsob popisu kvantově mechanických vícetělových systémů. Správná komutační symetrie vlnové funkce je pak implicitní a pro Pauliho princip a obecnější teorii spinové statistiky vyplývají jednoduchá zdůvodnění nebo odvození.

Základním aspektem teorií kvantového pole je, že počet částic se může měnit. Základními operátory pak již nejsou částicové souřadnice a pulsy, ale kvantová pole jako nebo , která ničí nebo generují částici (nebo antičástici) v daném místě . ${\ displaystyle \ phi \ left (x \ right)}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {\ dagger} \ left (x \ right)}$ ${\ displaystyle x}$

Jakmile vstoupí do hry teorie relativity, částice mohou vzniknout nebo zmizet podle ekvivalence energie a hmotnosti a formalismus kvantové teorie pole je proto metodou volby ve fyzice elementárních částic. Klein-Gordonova rovnice a Diracova rovnice dostávají novou interpretaci a komplikace, ke kterým dochází v klasickém formalismu s antičásticemi, zmizí.

Základy

Teorie kvantového pole byly původně vyvinuty jako relativistické teorie rozptylu . Ve vázaných systémech jsou energie částic obecně výrazně menší než hmotnostní energie mc ² . Proto je v takových případech obvykle dostatečně přesné pracovat s teorií poruch v nerelativistické kvantové mechanice . V případě srážek mezi malými částicemi však mohou nastat mnohem vyšší energie, takže je třeba vzít v úvahu relativistické efekty.

Následující část vysvětluje, jaké kroky jsou nutné k rozvoji teorie relativistického rozptylu. Nejprve se nastaví Lagrangian, potom se pole kvantizují. Nakonec je popsána teorie rozptylu s kvantovanými poli a problém, který vzniká, je vyřešen renormalizací .

Lagrangian

Prvním krokem k teorii kvantového pole je najít Lagrangian pro kvantová pole. Tyto Lagrangeovy hustoty musí poskytovat obecně známou diferenciální rovnici pro pole jako Euler-Lagrangeova rovnice . Jedná se Klein-Gordon rovnice pro skalární pole , Dirac rovnice pro pole spinor a Maxwell rovnice na foton .

V následujícím textu je použita 4cestná (časoprostorová) vektorová notace . Používají se obvyklé zkratky, jmenovitě zkratka pro diferenciály a Einsteinova sumační konvence , což znamená, že sčítání se provádí pomocí indexu nad a pod (od 0 do 3). Jak je použito jednotka systém platí: . ${\ Displaystyle \ textstyle \ částečné _ {\ mu} = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ {\ mu}}}}$ ${\ Displaystyle c = \ hbar = \ varepsilon _ {0} = 1}$

Zdarma Lagrangian různých oborů
pole	Polní rovnice	Lagrangian
Skalární (spin = 0) ${\ Displaystyle \ phi \}$	${\ Displaystyle 0 = (\ square + m ^ {2}) \ phi}$	${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = (\ partial _ {\ mu} \ phi ^ {\ dagger}) (\ partial ^ {\, \ mu} \ phi) -m ^ {2} \ phi ^ { \ dagger} \ phi}$
Spinor (spin = 1/2) ${\ Displaystyle \ psi \}$	${\ Displaystyle 0 = (i \ gamma ^ {\ mu} \ částečná _ {\ mu} -m) \ psi}$	${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ tfrac {i} {2}} \ left ({\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} (\ partial _ {\ mu} \ psi) - (\ partial _ {\ mu} {\ overline {\ psi}}) \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) -m {\ overline {\ psi}} \ psi}$
Foton (spin 1) ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} \}$	${\ Displaystyle 0 = \ částečné _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = \ náměstí A ^ {\ nu} - \ částečné ^ {\ nu} (\ částečné _ {\ mu} A ^ {\ mu })}$	${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ tfrac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - {\ tfrac {1} {4}} (\ částečné _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ částečné _ {\ nu} A _ {\ mu}) (\ částečné ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ částečné ^ {\ nu } A ^ {\ mu})}$

Označuje se matrice Dirac . je takzvaný pomocný spinor. jsou komponenty tenzoru intenzity pole . Byly zde použity Maxwellovy rovnice v kovariantní formulaci bez zdrojových výrazů (hustota náboje a proudu). ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$ ${\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ částečná _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ částečná _ {\ nu} A _ {\ mu}}$

Výše uvedený Lagrangian popisuje volná pole, která neinteragují. Dávají pohybové rovnice pro volná pole. Pro interakce mezi poli musí být do Lagrangian přidány další podmínky. Věnujte pozornost následujícím bodům:

Přidané podmínky musí být všechny skalární . To znamená, že jsou pod Poincarými transformacemi neměnné .
Přidané termíny musí mít rozměr (délku) ⁻⁴ , protože Lagrangian je integrován do skalárního působení v časoprostoru. V případě potřeby toho lze dosáhnout konstantním faktorem s vhodným rozměrem. Takovým faktorům se říká spojovací konstanty .
Lagrangeus musí být neměnný . To znamená, že forma Lagrangeových podchodových transformací se nesmí změnit.

Povolené výrazy jsou například tam, kde m a n jsou přirozená čísla (včetně nuly) a k je vazebná konstanta. Interakce s fotonem jsou většinou realizovány kovarianční derivací ( ) v Lagrangian pro volné pole. Elektrický náboj e z elektronu je vazebná konstanta elektromagnetického pole. ${\ Displaystyle k ({\ overline {\ psi}} \ psi) ^ {n} (\ phi ^ {\ dagger} \ phi) ^ {m} \ ,,}$ ${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} \ rightarrow \ partial _ {\ mu} + ieA _ {\ mu}}$

Kvantizace pole

Doposud nebylo učiněno žádné prohlášení o vlastnostech polí. V případě silných polí s velkým počtem bosonových excitací je lze zpracovat poloklasicky, ale obecně je třeba nejprve vyvinout mechanismus k popisu účinků kvantové povahy polí. Vývoj takového mechanismu se nazývá kvantování pole a je to první krok k tomu, aby bylo chování polí vypočítatelné. Existují dva různé formalismy, které zahrnují různé postupy.

Starší kanonický formalismus vychází z formalismu kvantové mechaniky. Interpretuje zde vyskytující se vlnové rovnice o jedné částici jako popis amplitud klasické klasické teorie pole, které zase vyžadují kvantizaci podle kanonických komutačních pravidel kvantové mechaniky. Formalismus je proto vhodný k zobrazování základních vlastností polí, jako je věta o statistice otáčení . Jeho nevýhodou však je, že mnoho aspektů tohoto formalismu působí dost svévolně. Výpočet interakčních amplitud a kvantování pole v neabelských teoriích měřidel je navíc poměrně komplikovaný.
Novější integrální formalismus cesty je založen na principu nejmenšího efektu , to znamená, že je integrován ve všech konfiguracích polí, ale nerucující příspěvky pocházejí pouze z cest blízkých minimům účinku v případě slabé vazby. Výhodou tohoto formalismu je, že výpočet interakčních amplitud je poměrně jednoduchý a symetrie polí je jasně vyjádřena. Vážným nedostatkem tohoto formalismu z matematického hlediska je, že konvergence integrálu cesty a tedy fungování metod formalismu nebylo striktně matematicky prokázáno. Proto je někdy odmítán jako heuristický a „nepřesný“ nebo „nekonstruktivní“, zejména v matematické fyzice , ačkoli slouží také jako výchozí bod pro teorie mřížkových rozsahů , které jsou jedním z hlavních nástrojů numerického zpracování kvantové polní teorie.

Základy kvantování polí pro volná pole v obou formalismech jsou vysvětleny níže.

Kanonický formalismus

Pro kvantizaci pole v kanonickém formalismu se používá hamiltonovský formalismus klasické mechaniky. Každému poli ( nebo ) je přiřazeno kanonicky konjugované pole analogické s kanonickým momentem. Pole a jeho kanonicky konjugované pole jsou pak konjugované operátory ve smyslu kvantové mechaniky, takzvané polní operátory , a plní vztah neurčitosti , jako je poloha a hybnost v kvantové mechanice. Nejistota vztah může být realizován buď komutátoru vztahu (pro bozony podle statistik spinové teorém ), nebo anti- komutátoru vztahu (pro fermions), které jsou analogické ke komutátoru polohy a hybnosti. Operátor Hamilton , který charakterizuje energii systému, se získá tvoří na funkci Hamilton a nahrazení pole s operátory pole. Zpravidla je jednoznačně definitivní nebo alespoň nesmí mít neomezená záporná vlastní čísla, protože takový systém by spadal do stále nižších energetických vlastních čísel s jakýmkoli množstvím energie dané životnímu prostředí. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Skalární pole

Pro skalární pole dostaneme zu jako kanonicky konjugované pole a zu jako kanonicky konjugované pole . Požadovaný vztah komutátoru je ${\ Displaystyle \ pi = \ částečná _ {0} \ phi ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle \, \ phi}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {\ dagger} = \ částečné _ {0} \ phi}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {\ dagger} \}$

{\ Displaystyle [\ phi ({\ vec {x}}, t), \ pi ({\ vec {y}}, t)] = [\ phi ^ {\ dagger} ({\ vec {x}}, t), \ pi ^ {\ dagger} ({\ vec {y}}, t)] = i \ delta ^ {(3)} ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}). }

V teoriích kvantového pole je běžné počítat v hybném prostoru . Chcete -li to provést, zvažte Fourierovu reprezentaci operátoru pole, která čte skalární pole

{\ Displaystyle \ phi (x) = \ int {\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}}} 2 \ pi \ delta (k ^ {2} - m ^ {2}) \ theta (k_ {0}) \ left [a (k) e ^ {- ikx} + b ^ {\ dagger} (k) e ^ {ikx} \ right].}

Zde, puls a krokovou funkcí , což je záporné tvrzení a 0 jinak. 1 Jako a operátorů to platí také pro , a a . Jejich komutátoři vyplývají z komutátoru operátorů pole. Operátor lze interpretovat jako operátor, který produkuje částici s hybností, zatímco produkuje antičástici s hybností . Odpovídajícím způsobem a lze je interpretovat jako operátory, které s hybností zničí částici nebo antičástici . Použití vztahů komutátoru vede, jak je žádoucí, k pozitivnímu jednoznačnému Hamiltonovu operátoru. Ve stejném stavu může být libovolný počet skalárních polí ( statistiky Bose-Einsteina ). ${\ displaystyle \, k}$ ${\ displaystyle \, \ theta (k_ {0})}$ ${\ displaystyle \, \ phi (x)}$ ${\ Displaystyle \, \ phi ^ {\ dagger} (x)}$ ${\ displaystyle \, a (k)}$ ${\ Displaystyle a ^ {\ dagger} (k)}$ ${\ displaystyle \, b (k)}$ ${\ Displaystyle b ^ {\ dagger} (k)}$ ${\ Displaystyle a ^ {\ dagger} (k)}$ ${\ displaystyle \, k}$ ${\ Displaystyle b ^ {\ dagger} (k)}$ ${\ displaystyle \, k}$ ${\ displaystyle \, a (k)}$ ${\ displaystyle \, b (k)}$ ${\ displaystyle \, k}$

Spinorová pole

Pokud budete u spinorového pole postupovat stejným způsobem, získáte kanonicky konjugované pole zu a kanonicky konjugované pole zu . Výsledkem jsou požadované (anti-) komutátorové vztahy ${\ Displaystyle \ pi = i \ psi ^ {\ dagger} \}$ ${\ Displaystyle \ psi \}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ pi}} = i \ gamma ^ {0} \ psi}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \}$

{\ Displaystyle \ {\ psi _ {j} ({\ vec {x}}, t), \ pi _ {k} ({\ vec {y}}, t) \} = \ {{\ overline {\ psi}} _ {j} ({\ vec {x}}, t), {\ overline {\ pi}} _ {k} ({\ vec {y}}, t) \} = i \ delta _ { jk} \ delta ^ {(3)} ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}).}

Kde a jsou spinorové indexy. Poté se znovu podíváme na Fourierovu reprezentaci operátoru pole a vypočítáme Hamiltonův operátor. Pozitivní Hamiltonův operátor lze získat pouze se spinorovým polem, pokud jsou použity antikomutátory. Ty jsou psány s kudrnatými závorkami, což se již očekávalo ve vzorcích výše. Kvůli těmto antikomutátorům bude použití stejného generačního operátoru dvakrát na stav mít za následek nulový stav. To znamená, že dvě částice Spin 1/2 nemohou být nikdy ve stejném stavu (Pauliho princip). Pole Spinor se proto řídí statistikami Fermi-Diracovy . ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle k}$

Kalibrační pole

Požadované vztahy komutátoru pro kalibrační pole jsou

{\ Displaystyle [A _ {\ mu} ({\ vec {x}}, t), \ pi _ {\ nu} ({\ vec {y}}, t)] = ig _ {\ mu \ nu} \ delta ^ {(3)} ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}),}

kde označuje složky Minkowského metriky . Od Lagrangianů však člověk získá to, co požadovaný komutátorový vztah nemůže splnit. Kvantování kalibračních polí je proto možné pouze tehdy, jsou -li zadány podmínky kalibrace. Definice vhodné kalibrační podmínky, která umožňuje přístup k polím prostřednictvím komutátorových vztahů a současně zachovává Lorentzovu invarianci Lagrangeova, je komplikovaná. ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \, \ pi _ {0} = 0}$

Obvykle se používá modifikace Lorenzovy kalibrace , aby bylo možné smysluplně definovat kanonicky konjugované pole. Formalismus se nazývá Gupta-Bleulerův formalismus podle jeho vývojářů Suraje N. Gupty a Konrada Bleulera .

Alternativou je fyzická kalibrace, jako je např. B. časová plus další kalibrační podmínka Zde dvě ze čtyř polarizací kalibračního pole jsou eliminovány jako fyzické stupně volnosti přímo volbou kalibrace a následnou implementací Gaussova zákona jako podmínkou fyzických stavů. Hlavní výhodou je zmenšení Hilbertova prostoru na výhradně fyzické, příčné stupně volnosti. Nevýhodou je ztráta zjevně kovariantní formulace. ${\ displaystyle A_ {0} (x) = 0}$ ${\ Displaystyle G (x) \, | {\ text {fyz.}} \ rangle = 0}$

Cesta integrál

V integrálním formalismu cesty nejsou pole považována za operátory, ale za jednoduché funkce. Cesta základní podstatě představuje přechodný amplitudu z vakuového stavu v okamžiku k vakuové stavu v okamžiku , integrací přes všechny možné konfigurace pole ( pěšin ) v rozmezí , s fázovým faktorem, který je určen efektu. Má podobu skalárního pole ${\ Displaystyle t = - \ infty}$ ${\ displaystyle t = \ infty}$

{\ Displaystyle Z \ propto \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ exp {\ left \ {i \ int \ mathrm {d} ^ {4} x {\ mathcal {L}} (\ phi) \ že jo \}}}

.

Aby však při přechodu z vakua do vakua došlo k jakýmkoli interakcím , musí být pole možné generovat a ničit. V integrálním formalismu cesty je toho dosaženo ne pomocí operátorů tvorby a zničení, ale pomocí zdrojových polí. Do Lagrangian je tedy přidán zdrojový výraz formuláře . Zdrojové pole J (x) by se mělo od nuly lišit pouze v konečném intervalu na časové ose. To znamená, že interagující pole existují přesně v tomto časovém intervalu. Celá cesta integrálu pro volné skalární pole má tedy tvar ${\ Displaystyle J ^ {\ dagger} (x) \ phi (x) + \ phi ^ {\ dagger} (x) J (x) \}$

{\ Displaystyle Z [J] \ propto \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ exp {\ left \ {i \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \ left [(\ partial _ { \ mu} \ phi ^ {\ dagger}) (\ partial ^ {\, \ mu} \ phi) -m ^ {2} \ phi ^ {\ dagger} \ phi + J ^ {\ dagger} \ phi + \ phi ^ {\ dagger} J \ right] \ right \}}}

.

Kvůli integraci pomocí analogu Gaussova chybového integrálu je možné toto přenést do podoby, která závisí určitým způsobem pouze na zdrojovém poli J (x) , konkrétně: ${\ displaystyle \, \ phi}$

{\ Displaystyle Z [J] \ propto \ exp {\ left \ {- i \ int J ^ {\ dagger} (x) \ Delta _ {F} (xy) J (y) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \, \ mathrm {d} ^ {4} y \ right \}}}

.

Zde je dána jako inverzní provozovatele Klein-Gordon ( je operátor D'Alembert ). Tento objekt se nazývá časově uspořádaná zelená funkce nebo Feynmanův propagátor . Dráhový integrál je proto také označován jako generující funkce propagátoru , protože deriváty podle a účinně odpovídají násobení s propagátorem. ${\ displaystyle \ Delta _ {F}}$ ${\ Displaystyle (\ square + m ^ {2}) \ Delta _ {F} (x) = - \ delta ^ {(4)} (x)}$ ${\ displaystyle \ square}$ ${\ displaystyle J ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle \, J}$

Chování volného pole za přítomnosti zdrojů určuje pouze propagátor a zdrojové pole. Tento výsledek odpovídá očekávání, protože chování pole, které neinteraguje, je evidentně určováno pouze jeho vlastnostmi při vytváření a anihilaci a jeho volném pohybu. První jsou ve zdrojovém poli a pohybové chování je určeno Klein-Gordonovým operátorem, jehož informační obsah je zde dán jeho inverzí.

Při kvantifikaci spinorového pole v rámci integrálního formalismu cesty vyvstává problém, že na jedné straně se s poli zachází jako s běžnými numerickými funkcemi, ale na druhé straně působí proti komutaci. Normální čísla však dojíždějí. Tuto obtíž lze vyřešit zvážením fermionových polí jako prvků Graßmannovy algebry , takzvaných Graßmannových čísel . Matematicky to jen znamená, že se k nim chováte jako k číslům bez práce. Tento postup je teoreticky zajištěn Graßmannovou algebrou. Cesta integrální se zdrojovými poli a poté má tvar ${\ displaystyle {\ overline {\ eta}} \}$ ${\ displaystyle \ eta \}$

{\ Displaystyle Z [\ eta, {\ overline {\ eta}}] \ propto \ int {\ mathcal {D}} {\ overline {\ psi}} {\ mathcal {D}} \ psi \, \ exp { \ left \ {i \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \ left [\, {\ overline {\ psi}} (i \ gamma ^ {\, \ mu} \ partial _ {\ mu} -m ) \ psi + {\ overline {\ eta}} \ psi + {\ overline {\ psi}} \ eta \ right] \ right \}}}

.

Stejně jako u skalárního pole lze z toho odvodit formu, která určitým způsobem závisí pouze na a . Opět lze použít analogii Gaussova integrálu , která však neodpovídá obvyklému formalismu, ale je k němu určitým způsobem „inverzní“. V každém případě je nejprve nutné vyvinout integrální termín pro Graßmannova čísla. Pak může být integrál cesty vyjádřen v následujícím tvaru: ${\ displaystyle {\ overline {\ eta}} \}$ ${\ displaystyle \ eta \}$

{\ Displaystyle Z [\ eta, {\ overline {\ eta}}] \ propto \ exp {\ left \ {- i \ int {\ overline {\ eta}} (x) S (xy) \ eta (y) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \, \ mathrm {d} ^ {4} y \ right \}}}

.

Toto je převrácená hodnota Diracova operátoru, který je také označován jako Diracovův propagátor. Analogicky ke skalárnímu poli je zde také tvar, který, jak se očekávalo, je určen pouze zdrojovými poli a dynamikou polí. ${\ Displaystyle S = (i \ gamma ^ {\, \ mu} \ částečná _ {\ mu} + m) \ Delta _ {F}}$

Dráha integrálu pro kalibrační pole má tvar

{\ Displaystyle Z \ propto \ int {\ mathcal {D}} A _ {\ mu} \, \ exp {\ left \ {i \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \ left [- {\ frac {1} {2}} A ^ {\ mu} (g _ {\ mu \ nu} \ square - \ částečné _ {\ mu} \ částečné _ {\ nu}) A ^ {\ nu} \ vpravo] \ vpravo \}}}

.

Operátor však inverzi nemá. To lze vidět na skutečnosti, že při použití na vektory typu to vede k nule. Minimálně jedna z vlastních čísel je nula, což, jako matice , zajišťuje, že operátor nelze převrátit. ${\ Displaystyle (g _ {\ mu \ nu} \ square - \ částečná _ {\ mu} \ částečná _ {\ nu}) \}$ ${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} v}$

Nelze zde proto použít stejný postup jako u skalárního pole a spinorového pole. K Lagrangian musíte přidat další výraz, abyste získali operátor, který má inverzní hodnotu. To je ekvivalentní nastavení kalibrace. Proto se nový termín nazývá termín fixace kalibrace . Má obecný tvar . Odpovídající podmínky kalibrace jsou . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {gf} = {\ tfrac {1} {2 \ alpha}} f ^ {2} (A _ {\ mu})}$ ${\ displaystyle f (A _ {\ mu}) {\ stackrel {!} {=}} 0 \}$

To však znamená, že Lagrangian závisí na volbě měřicího termínu f . Tento problém lze napravit zavedením takzvaných duchů Faddeeva Popova . Tito duchové jsou anti-komutační skalární pole, a proto jsou v rozporu s teorémou statistiky otáčení. Nemohou se tedy objevit jako volná pole, ale pouze jako takzvané virtuální částice . Volbou takzvané axiální kalibrace lze zabránit výskytu těchto polí, což činí jejich interpretaci jako matematické artefakty zjevnou. Jejich výskyt v jiných kalibracích je však z hlubších teoretických důvodů (unitarita matice S ) naprosto nezbytný pro konzistenci teorie.

Kompletní Lagrangian s termínem pro fixaci kalibrace a duchovými poli závisí na podmínkách kalibrace. Pro Lorenzovu kalibraci to čte v neabelských kalibračních teoriích

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (A, {\ overline {\ eta}}, \ eta) = - {\ frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} ^ {a} F ^ {\ mu \ nu \, a} - {\ frac {1} {2 \ alpha}} (\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu \, a}) ^ {2} - {\ bar { \ eta}} ^ {a} \ částečná ^ {\ mu} (\ částečná _ {\ mu} \ delta ^ {ac} -igf ^ {abc} A _ {\ mu} ^ {b}) \ eta ^ { c}}

Existuje pole ducha a pole ducha. ${\ displaystyle \ eta \}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ eta}}}$

Pro abelianské měřicí teorie, jako je elektromagnetismus, má poslední termín formu bez ohledu na měřidlo . Proto lze tuto část integrálu cesty snadno integrovat a nepřidává to na dynamice. ${\ displaystyle {\ bar {\ eta}} \ square \ eta}$

Dráhový integrál také poskytuje spojení s distribučními funkcemi statistické mechaniky. Za tímto účelem imaginární časová souřadnice v Minkowského prostoru analyticky pokračuje do euklidovského prostoru a místo komplexních fázových faktorů v dráze integrální získává skutečné ty podobné Boltzmannovým faktorům statistické mechaniky. V této formě je tato formulace také výchozím bodem pro numerické simulace konfigurací polí (většinou náhodně vybrané v kvantových metodách Monte Carlo s vážením pomocí těchto Boltzmannových faktorů ) při mřížkových výpočtech. Poskytují dosud nejpřesnější metody. B. pro výpočet hadronových hmot v kvantové chromodynamice.

Rozptylové procesy

Jak již bylo uvedeno výše, cílem předchozí metody je popis relativistické teorie rozptylu. Ačkoli metody kvantových teorií pole se dnes používají i v jiných kontextech, teorie rozptylu je stále jednou z hlavních oblastí aplikace. Proto jsou zde vysvětleny jejich základy.

Ústředním objektem teorie rozptylu je takzvaná S-matice neboli rozptylová matice , jejíž prvky popisují pravděpodobnost přechodu z počátečního stavu do počátečního stavu. Prvkům S-matice se říká rozptylové amplitudy. Na úrovni pole je tedy S-matice určena rovnicí ${\ Displaystyle | \ alpha _ {\ mathrm {in}} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ beta _ {\ mathrm {out}} \ rangle}$

{\ Displaystyle \ phi _ {\ mathrm {out}} (x) = S ^ {\ dagger} \ phi _ {\ mathrm {in}} (x) S \}

.

S-matici lze v zásadě zapsat jako součet hodnot očekávání vakua časově uspořádaných produktů polního operátoru (nazývaných také funkce n-point, korelátory nebo Greenovy funkce ). Důkazem tohoto takzvaného rozkladu LSZ je jeden z prvních velkých úspěchů axiomatické teorie kvantového pole . V příkladu kvantové teorie pole, ve které je pouze jedno skalární pole, má rozklad formu

{\ Displaystyle S = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {n!}} \ left (\ prod _ {i = 0} ^ {n} \ phi (x_ {i}) K ( x_ {i}) \ right) \ langle 0 | T \ left (\ phi (x_ {1}) \, ... \, \ phi (x_ {n}) \ right) | 0 \ rangle}

Zde K je operátor Klein-Gordon a T je operátor časového pořadí, který seřazuje pole vzestupně podle hodnoty času . Pokud se vyskytnou jiná pole než skalární pole, musí být použity odpovídající Hamiltonovy operátory. Pro spinorové pole z. B. Místo operátoru Klein-Gordon lze použít operátor Dirac. ${\ displaystyle x_ {i} ^ {0}}$

K výpočtu matice S stačí vypočítat časově uspořádané funkce n-bodu . ${\ Displaystyle \ langle 0 | T \ left (\ phi (x_ {1}) \, ... \, \ phi (x_ {n}) \ right) | 0 \ rangle}$

Feynmanova pravidla a teorie poruch

Feynmanovy diagramy se ukázaly být užitečným nástrojem pro zjednodušení výpočtů funkcí n-bodu . Tuto zkratku vytvořil Richard Feynman v roce 1950 a využívá skutečnosti, že termíny, které se vyskytují při výpočtu funkcí n-bodu, lze rozdělit na malý počet elementárních stavebních bloků. K těmto termínovým modulům jsou poté přiřazeny obrazové prvky. Tato pravidla, podle kterých se toto přiřazení provádí, se nazývají Feynmanova pravidla . Feynmanovy diagramy umožňují reprezentovat složité termíny ve formě malých obrázků.

Pro každý výraz v Lagrangian je odpovídající obrazový prvek. Hromadný termín je společně s derivačním termínem považován za výraz, který popisuje volné pole. K různým polím jsou těmto výrazům obvykle přiřazeny různé řádky. Interakční termíny naopak odpovídají uzlům, takzvaným vrcholům , ve kterých pro každé pole v interakčním termínu končí odpovídající čára. Čáry, které jsou připojeny pouze k diagramu na jednom konci, jsou interpretovány jako skutečné částice, zatímco čáry, které spojují dva vrcholy, jsou interpretovány jako virtuální částice . V diagramu lze také nastavit časový směr, takže jej lze interpretovat jako druh ilustrace procesu rozptylu. Aby však bylo možné plně vypočítat určitou rozptylovou amplitudu, je třeba vzít v úvahu všechny diagramy s odpovídajícími počátečními a koncovými částicemi. Pokud Lagrangian kvantové teorie pole obsahuje interakční termíny, existuje obecně nekonečné množství diagramů.

Pokud je spojovací konstanta menší než jedna, členy s vyššími silami spojovací konstanty se zmenšují a zmenšují. Protože podle Feynmanových pravidel každý vrchol znamená násobení s odpovídající vazebnou konstantou, příspěvky diagramů s mnoha vrcholy jsou velmi malé. Nejjednodušší diagramy tedy představují největší příspěvek k amplitudě rozptylu, zatímco diagramy s rostoucí složitostí současně přinášejí menší a menší příspěvky. Tímto způsobem lze principy poruchové teorie aplikovat s dobrými výsledky pro rozptylové amplitudy pouze výpočtem diagramů nízkého řádu ve vazebné konstantě.

Renormalizace

Feynmanovy diagramy s uzavřenými vnitřními čarami, takzvané smyčkové diagramy (např. Interakce elektronu s „virtuálními“ fotony z vakua, interakce fotonu s virtuálně generovanými páry částic a antičástic z vakua), jsou většinou odlišné, protože jsou všechny energie / impulsy (frekvence / číslo vlny) integrovány. V důsledku toho nelze zpočátku vypočítat složitější Feynmanovy diagramy. Tento problém však lze často napravit takzvaným renormalizačním procesem, někdy také označovaným jako „renormalizace“ po nesprávném zpětném překladu z angličtiny.

V zásadě existují dva různé způsoby pohledu na tento postup. První tradiční pohled uspořádá příspěvky rozbíhajících se smyčkových diagramů takovým způsobem, že odpovídají několika parametrům v Lagrangeově jazyce, jako jsou hmotnosti a vazebné konstanty. Poté se v Lagrangeově funkci zavádí protisměrné termíny, které jako nekonečné „nahé“ hodnoty těchto parametrů tyto divergence ruší. To je možné v kvantové elektrodynamice, stejně jako v kvantové chromodynamice a dalších podobných rozchodových teoriích, ale ne u jiných teorií, jako je gravitace. Bylo by zapotřebí nekonečně mnoho protichůdných pojmů, teorie „není renormalizovatelná“.

Druhá, novější perspektiva z prostředí skupiny renormalizace popisuje fyziku prostřednictvím různých „efektivních“ teorií pole v závislosti na energetickém rozsahu. Například vazebná konstanta v kvantové chromodynamice je energeticky závislá, u malých energií se blíží nekonečnu ( uvěznění ), u vysokých energií se blíží nule ( asymptotická volnost ). Zatímco v QED jsou „nahé“ náboje účinně chráněny vakuovou polarizací ( vytváření párů a anihilace ), případ s Yang-Millsovými teoriemi , jako je QCD, je komplikovanější kvůli vlastní interakci nabitých měřicích bosonů.

Předpokládá se, že všechny spojovací konstanty fyzikálních teorií konvergují v dostatečně vysokých energiích, a tam je fyzika pak popsána velkou, jednotnou teorií základních sil. Chování vazebných konstant a možnost fázových přechodů s energií popisuje teorie skupiny renormalizace. Z těchto teoretických extrapolací byly v 90. letech 20. století první náznaky existence supersymetrických teorií, pro které se spojovací konstanty nejlépe setkávají v jednom bodě.

Technický přístup je však nezávislý na úhlu pohledu. Nejprve se provede regularizace zavedením dalšího parametru do výpočtu. Nakonec se tento parametr musí znovu přiblížit nule nebo nekonečnu (v závislosti na vaší volbě), aby znovu získal původní podmínky. Dokud je však parametr regularizace považován za konečný, podmínky zůstávají konečné. Termíny jsou pak transformovány takovým způsobem, že nekonečna se vyskytují pouze v termínech, které jsou čistými funkcemi parametru regularizace. Tyto termíny jsou poté vynechány. Poté je regulační parametr nastaven na nulu nebo nekonečno, přičemž výsledek nyní zůstává konečný.

Na první pohled se tento přístup jeví jako svévolný, ale „opomenutí“ musí být provedeno podle určitých pravidel. Tím je zajištěno, že renormalizované vazebné konstanty odpovídají naměřeným konstantám při nízkých energiích.

Antičástice

Zvláštní oblast relativistické kvantové mechaniky se týká řešení relativistické Klein-Gordonovy rovnice a Diracovy rovnice s negativní energií. To by částicím umožnilo sestoupit do nekonečné negativní energie, která není ve skutečnosti pozorována. V kvantové mechanice je tento problém vyřešen libovolným výkladem odpovídajících řešení jako entit s pozitivní energií pohybující se zpět v čase; záporné znaménko energie E je přeneseno na čas t ve vlnové funkci , což je zřejmé z důvodu vztahu ( h je Planckova konstanta a frekvenční interval přiřazený rozdílu energie ). ${\ Displaystyle \ Delta E = h / \ Delta t}$ ${\ Displaystyle h \ Delta f \, \, (= h / \ Delta t)}$ ${\ displaystyle \ Delta E}$

Paul Dirac interpretoval tato zpětně se pohybující řešení jako antičástice .

Teorie konkrétního kvantového pole

Standardní model

Kombinace elektroslabého modelu s kvantovou chromodynamikou vytváří jednotnou teorii kvantového pole, takzvaný standardní model fyziky elementárních částic. Obsahuje všechny známé částice a může vysvětlit většinu známých procesů.

Současně je však známo, že standardní model nemůže být konečnou teorií. Na jedné straně není zahrnuta gravitace, na druhé straně existuje řada pozorování ( oscilace neutrin , temná hmota ), podle nichž se rozšíření standardního modelu jeví jako nutné. Standardní model navíc obsahuje mnoho libovolných parametrů a vysvětluje např. B. velmi odlišné hmotnostní spektrum rodin elementárních částic ne.

Níže popsané teorie kvantového pole jsou součástí standardního modelu.

φ ⁴ teorie

Lagrangeština teorie je ${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = (\ partial _ {\ mu} \ phi ^ {\ dagger}) (\ partial ^ {\ mu} \ phi) -m ^ {2} \ phi ^ {\ dagger } \ phi - {\ frac {\ lambda} {4}} (\ phi ^ {\ dagger} \ phi) ^ {2}}

Tato kvantová teorie pole má velký teoretický význam, protože je to nejjednodušší myslitelná kvantová teorie pole s interakcí a na rozdíl od realističtějších modelů zde lze učinit některá přesná matematická tvrzení o jejích vlastnostech. Popisuje samostatně působící skutečné nebo komplexní skalární pole.

Ve statistické fyzice hraje roli jako nejjednodušší model kontinua pro (velmi obecnou) Landauovu teorii fázových přechodů druhého řádu a kritických jevů. Ze statistické interpretace se současně získá nový a konstruktivní přístup k problému renormalizace tím, že se ukáže, že renormalizace hmot, nábojů a funkcí vrcholů je dosaženo odstraněním jevů krátkých vln z takzvané funkce dělící funkce. Higgs pole na standardní model také má vlastní interakce, který je však, doplněnou interakcí s ostatními poli standardního modelu. V těchto případech je vazebná konstanta m ² záporná, což by odpovídalo imaginární hmotnosti. Tato pole se proto nazývají tachyonická pole. Toto označení však odkazuje na Higgsovo pole a ne na Higgsovu částici , takzvaný Higgsův boson, což není tachyon, ale obyčejná částice se skutečnou hmotností. Higgsova částice také není popsána Higgsovým polem, ale pouze určitou částí tohoto pole. ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$

Kvantová elektrodynamika

Lagrangeus kvantové elektrodynamiky (QED) je

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = i {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} (\ partial _ {\ mu} -ieA _ {\ mu}) \ psi -m {\ overline {\ psi}} \ psi - {\ frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

QED je první fyzicky úspěšná kvantová teorie pole. Popisuje interakci spinorového pole s nábojem -e , který popisuje elektron, s kalibračním polem, které popisuje foton. Jejich pohybové rovnice se získávají z elektrodynamiky kvantováním Maxwellových rovnic . Kvantová elektrodynamika s vysokou přesností vysvětluje elektromagnetickou interakci mezi nabitými částicemi (např. Elektrony , miony , kvarky ) prostřednictvím výměny virtuálních fotonů a vlastností elektromagnetického záření .

To umožňuje porozumět chemickým prvkům , jejich vlastnostem a vazbám a periodické tabulce prvků. V pevném stavu fyziky s hospodářsky významných fyziky polovodičů jsou odvozeny nakonec od QED. Konkrétní výpočty se však obvykle provádějí ve zjednodušeném, ale dostatečném formalismu kvantové mechaniky .

Slabá interakce

Slabá interakce, jejíž nejznámějším účinkem je rozpad beta , předpokládá fyzicky uzavřenou formulaci po standardizaci pomocí QED v elektroslabém standardním modelu . Interakce je zde zprostředkována fotony , W a Z bosony .

Kvantová chromodynamika

Dalším příkladem QFT je kvantová chromodynamika (QCD), která popisuje silnou interakci . V něm jsou některé interakce mezi protony a neutrony vyskytující se v atomovém jádru redukovány na subjadernou interakci mezi kvarky a gluony .

Na QCD je zajímavé, že gluony, které zprostředkovávají interakci, na sebe vzájemně působí. (Na příkladu QED by to bylo, jako by se dva pronikající světelné paprsky navzájem přímo ovlivňovaly.) Důsledkem této gluonické vlastní interakce je, že elementární kvarky nelze pozorovat jednotlivě, ale vždy ve formě kvarku a antikvaru stavy nebo stavy vyskytují se tři kvarky (nebo antiquarky) ( uvěznění ). Na druhou stranu z toho vyplývá, že vazebná konstanta se při vysokých energiích nezvyšuje, ale klesá. Toto chování je známé jako asymptotická svoboda .

Další aspekty

Spontánní porušení symetrie

Jak bylo uvedeno výše, teorie je vhodná pro popis systémů se spontánním porušením symetrie nebo kritickými body. Hromadný termín je chápán jako součást potenciálu. Pro skutečnou hmotnost má tento potenciál jen minimum, zatímco pro imaginární hmotu potenciál popisuje parabolu ve tvaru w čtvrtého stupně. Pokud má pole více než jednu skutečnou komponentu, získá jeden ještě více minim. V případě komplexního pole (se dvěma reálnými složkami) se například získá rotační obrazec paraboly ve tvaru písmene W s minikruhem. Tento tvar je také známý jako mexický kloboukový potenciál , protože potenciál připomíná tvar sombrera . ${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$

Každé minimum nyní odpovídá stavu nejnižší energie, který pole všechny přijímá se stejnou pravděpodobností. V každém z těchto stavů má však pole menší stupeň symetrie, protože symetrie minim mezi sebou je ztracena výběrem minima. Tato vlastnost klasické teorie pole je přenesena do kvantové teorie pole, takže je možné popsat kvantové systémy s porušenou symetrií. Příklady takových systémů jsou Isingův model z termodynamiky, který vysvětluje spontánní magnetizaci feromagnetu, a Higgsův mechanismus , který vysvětluje hmotnosti měřicích bosonů ve slabé interakci. Kalibrační symetrie je konkrétně snížena o získané hmotnostní členy kalibračních bosonů.

Axiomatická teorie kvantového pole

Axiomatická teorie kvantového pole se snaží dosáhnout konzistentního popisu kvantové teorie pole na základě souboru méně než možných axiomů, které jsou považovány za matematicky nebo fyzicky nepostradatelné.

Axiomatická teorie kvantového pole byla mimo jiné. na základě Wightmanových axiomů , vytvořených v roce 1956. Dalším přístupem je algebraická teorie kvantového pole formulovaná Haagem a Araki v roce 1962, která je charakterizována Haag-Kastlerovými axiomy . Tyto OSTERWALDER-Schrader axiomy představují třetí axiomatickou přístup k teorii kvantové pole.

Tímto přístupem bylo možné dosáhnout řady konkrétních výsledků, například odvození teorémy spinové statistiky a věty CPT pouze z axiomů, tj. H. nezávislý na speciální teorii kvantového pole. Redukční vzorec LSZ pro matici S vyvinutý Lehmannem , Symanzikem a Zimmermannem v roce 1955 byl první úspěch . Kromě toho existuje funkční analytický přístup k teorii S-matrix (také nazývané teorie BMP) zavedené Bogoliubovem , Medveděvem a Polianovem.

Další aplikace v oblasti klasické statistiky a kvantové statistiky jsou velmi pokročilé. Ty sahají od obecné derivace existence termodynamických veličin, Gibbsovy věty , stavových veličin jako je tlak, vnitřní energie a entropie až po důkaz existence fázových přechodů a přesné zpracování důležitých soustav mnoha těles:

Bardeen-Cooper-Schrieffer model supravodivosti
z Heisenberg feromagnetu
ideálního plynu Bose.

Vztah k jiným teoriím

Pokusy spojit tyto teorie kvantového pole s obecnou teorií relativity (gravitací) za vzniku kvantové gravitace byly zatím neúspěšné. Podle názoru mnoha výzkumníků vyžaduje kvantování gravitace nové koncepty, které přesahují kvantovou teorii pole, protože zde se samotné časoprostorové pozadí stává dynamickým. Příklady ze současného výzkumu jsou teorie strun , M-teorie a smyčková kvantová gravitace . Kromě toho je supersymetrie je twistor je teorie konečných kvantové pole a teorii topologické kvantové polní poskytnout důležité koncepční myšlenky, které jsou v současné době projednávány v profesionálním světě.

Aplikace (nerelativistické) kvantové teorie pole lze nalézt také v teorii pevných látek, hlavně v teorii mnoha těles .

literatura

Obecné úvody k tématu (v abecedním pořadí (prvních) autorů)

Němec:

Christoph Berger: Fyzika elementárních částic . 2. vydání, Springer, 2006
Freeman Dyson : Teorie kvantového pole. Springer Spectrum, 2014, ISBN 978-3-642-37677-1
Walter Greiner a kol.: Teoretická fyzika . Verlag Harri Deutsch, kvantizace objemového pole 1993, kvantová elektrodynamika 1994, teorie kalibrace slabé interakce , 1994, kvantová chromodynamika
Gernot Münster : Od teorie kvantového pole ke standardnímu modelu . de Gruyter, 2019, ISBN 978-3-11-063853-0

Angličtina:

James Bjorken , Sidney Drell : Relativistická kvantová teorie pole . BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, Zurich 1993, ISBN 3-411-00101-1 (anglicky: Relativistic Quantum Fields . Přeložil J. Benecke, D. Maison, E. Riedel).
Claude Itzykson a Jean-Bernard Zuber : Kvantová teorie pole . Dover 2006, ISBN 978-0-486-44568-7 .
Michio Kaku : Teorie kvantového pole: moderní úvod . Oxford University Press, New York, Oxford 1993, ISBN 0-19-509158-2 (anglicky).
Michael Peskin a Daniel Schröder: Úvod do kvantové teorie pole . Westview Press, Boulder, Col. 2007, ISBN 978-0-201-50397-5 (anglicky).
Franz Mandl a Graham Shaw: Kvantová teorie pole . Wiley 1993, ISBN 978-0-471-94186-6 .
- Německé vydání: kvantová teorie pole. Přeložil Ralf Bönisch . Aula 1993, ISBN 978-3-89104-532-9 .
Lewis Ryder: Teorie kvantového pole . Cambridge 1996, ISBN 978-0-521-47814-4 .
Matthew D. Schwartz: Teorie kvantového pole a standardní model . Cambridge 2013, ISBN 978-1-107-03473-0 .
Steven Weinberg : Kvantová teorie polí . 3 svazky, Cambridge University Press 1995, 2005 (Volume 3 on Supersymetry), Volume 1 ISBN 978-0-521-67053-1 , Volume 2 ISBN 978-0-521-67054-8 .
Anthony Zee : Stručně teorie kvantového pole . Princeton University Press, Princeton 2003, ISBN 0-691-01019-6 (anglicky).

Konkrétnější a související témata:

Aitchison, Hey: Rozchodové teorie ve fyzice částic . 2 svazky. 3. Edice. IOP Publishing, Bristol 2003, 2004
ND Birrell, PCW Davies : Kvantová pole v zakřiveném prostoru. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1984, ISBN 0-521-27858-9
James Glimm , Arthur Jaffe : Kvantová fyzika - funkční integrální úhel pohledu . 2. vydání. Springer, 1987, ISBN 978-0-387-96477-5
Hermann Haken, teorie kvantového pole pevné látky , Stuttgart, Teubner 1993
Claude Itzykson , Jean-Michel Drouffe: Statistická teorie pole . 2 svazky. Cambridge University Press, 1989 (také aplikace ve statistické mechanice)
Hagen Kleinert , Verena Schulte -Frohlinde: Kritické vlastnosti φ ⁴ -teorie . World Scientific , 2001, ISBN 981-02-4658-7 .
Hagen Kleinert : Pole s více hodnotami v kondenzované hmotě, elektrodynamice a gravitaci (PDF), World Scientific , 2008, ISBN 978-981-279-170-2 .
Richard Mattuck: Průvodce Feynmanovými diagramy v mnoha tělesných problémech . Dover Publications, New York 1992, ISBN 0-486-67047-3 (anglicky).
Jean Zinn-Justin : Teorie kvantového pole a kritické jevy . Clarendon Press, Oxford a kol. 2003, ISBN 0-19-850923-5 (Velmi rozsáhlá prezentace, která odpovídá oběma aspektům)

webové odkazy

Záznam v Edward N.Zalta (Ed.): Stanfordská encyklopedie filozofie .
Odkazy na skripty a eseje s.edu
David Tong: Přednášky o kvantové teorii pole cam.ac.uk
Odkazy na německé jazykové skripty o QFT ( Memento z 15. července 2014 v internetovém archivu ) Uni Aachen, přístup 14. července 2014

Languages