Topologický prostor

Příklady a protiklady topologií - šest čísel představuje podmnožiny množiny výkonů {1,2,3} (malý kruh vlevo nahoře je prázdná množina). První čtyři jsou topologie; v příkladu vlevo dole chybí {2,3}, vpravo dole {2} vlastnost topologie.

Topological prostor je základním předmětem sub-disciplína topologii z matematiky . Zavedením topologické struktury na množinu lze intuitivní polohové vztahy, jako je „blízkost“ a „usilovat o“, přenést z vizuálního prostoru do velkého počtu velmi obecných struktur a dát jim přesný význam.

definice

Topologie je systém souborů sestávajících z podmnožin základní sady , nazvaný otevřené nebo otevřené soubory , které splňují následující axiomy : ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$

• Prázdná množina a základní sada jsou otevřené.${\ displaystyle X}$
• Křižovatka finitely mnoho otevřených souborů je otevřen. (Stačí říci, že křižovatka dvou otevřených množin je otevřená.)
• Spojení libovolného počtu otevřených souborů je otevřen.

Pak volal topologie na , a pár topologický prostor . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, T)}$

Základní pojmy

Řeč: prvky jsou body, množina je prostor

Z vizuálního prostoru převládá označení „bod“ pro prvky základní množiny a označení „(topologický) prostor“ pro množinu, která nese topologickou strukturu. Topologický prostor je formálně správný, ale dvojice sady nesoucí strukturu a systému definujícího strukturu („topologie“) podmnožin. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, T)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$

Duální: dokončeno

Podmnožina topologického prostoru, jejíž doplňkem je otevřená množina, se nazývá uzavřená . Pokud se výše formulovaná definice zdvojnásobí a slovo „otevřené“ se nahradí slovem „uzavřeno“ (a dojde k výměně křižovatky a sjednocení), výsledkem bude ekvivalentní definice termínu „topologický prostor“ pomocí jeho systému uzavřených množin. ${\ displaystyle X}$

Prostředí

V topologického prostoru, každý bod má na filtr z okolí . To umožňuje, aby bylo intuitivní pojetí „blízkosti“ pochopeno matematicky. Tento termín lze také použít jako základ pro definici topologického prostoru. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle U (x)}$

Porovnání topologií: hrubší a jemnější

Na pevnou částku mohou být určité topologie a srovnání: Říká se tomu topologie jemnější než topologie, když , tj. Když je otevřená každá v otevřené sadě . pak znamená hrubší než . Pokud jsou dvě topologie odlišné, říká se také , že je opravdu jemnější než a je opravdu hrubší než . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S \ subseteq T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

Obecně platí, že existují také topologie a které nelze srovnávat v tomto smyslu. Existuje pro ně jasné společné upřesnění , to je nejhrubší topologie, která zahrnuje obě topologie. Topologie daná křižovatkou je pro toto společné upřesnění dvojí . Je to nejlepší topologie obsažená v obou topologiích. Se vztahem „je jemnější než“ se topologie sady stanou skupinou . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ cap T}$

Tento způsob mluvení je kompatibilní s funkcí „jemnější“ pořadí environmentálních systémů jako filtr: Pokud je pevný bod ve vesmíru, pak filtru životního prostředí generované topologií jemnější je jemnější než ten generovaného topologií hrubší . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U (x)}$

Morfismy: Kontinuální mapování

Stejně jako u každé matematické struktury existují v topologických prostorech také obrázky zachovávající strukturu ( morfismy ). Zde jsou spojité mapy : Obraz je (globální) trvale , když je archetypem každé otevřené podmnožiny z otevřené množině v je formální: . ${\ Displaystyle f \ tlustého střeva (X, S) \ až (Y, T)}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle O \ v T \ znamená f ^ {- 1} (O) \ v S}$

Tyto isomorphisms se nazývají homeomorphisms zde se jedná o bijective kontinuální mapování je inverze, která je rovněž kontinuální. Strukturálně podobné (izomorfní) topologické prostory se nazývají homeomorfní.

Příklady

Topologické prostory ve vztahu k jiným strukturám definujícím blízkost

• Na každé základní sadě jsou triviální příklady topologií: ${\ displaystyle X}$
  1. Topologie indiskrétní , který obsahuje pouze prázdnou množinu a základní sadu. Jedná se o nejhrubší topologii .${\ displaystyle X}$
  2. Diskrétní topologie , která obsahuje všechny podmnožiny. Je to ta nejlepší topologie .${\ displaystyle X}$
• Kofinitovou topologii lze zavést na nekonečné množině (např . Množině přirozených čísel) : Otevřená je prázdná množina a každá podmnožina, jejíž doplněk obsahuje pouze konečně mnoho prvků.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle M}$
• Každá přísně souhrnná objednaná sada může mít přirozenou formu topologie pořadí .
• Otevřené koule v metrickém prostoru vytvářejí (jako základ ) topologii, topologii indukovanou metrikou.
  • Zvláštní metrické prostory jsou normované prostory , zde metrika a tedy přirozený topologie ( standardní topologie ) je vyvolaná pomocí standardu .
• Některé konkrétní topologické prostory se speciálně konstruovanými vlastnostmi nesou jména svých objevitelů, např. B. Arens-Fort pokoj , Cantor pokoj , Hilbert kostky , Michael rovně , Niemytzki pokoj , hladina Sorgenfrey , Tichonow zabednit, atd.

Generování topologických prostorů

• Jakýkoli systém podmnožin sady lze rozšířit na topologii vyžadováním toho, aby byly (alespoň) všechny sady otevřené. To se stává dílčí základ topologie .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$
• Topologie subspace může být přiřazena každé podmnožiny prostoru topological . Otevřené množiny jsou přesně průsečíky otevřených množin s podmnožinou .${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• Pro každou rodinu topologických prostorů lze s topologií produktu poskytnout set-teoretický součin základních sad :
  • V případě konečných produktů tvoří základ této topologie produkty otevřených množin z faktorových prostorů .
  • V případě nekonečných produktů tvoří produkty otevřených množin z faktorových prostorů základ, ve kterém všechny kromě konečného počtu faktorů obklopují celý dotyčný prostor.
  • Pokud zvolíte kartézské produkty otevřených sad z faktorových prostorů jako základ v nekonečném produktu, získáte topologii pole na produktu. To je (obecně) lepší než topologie produktu.
• Zobecněním příkladů topologie podprostoru a produktu je konstrukce počáteční topologie . Zde je topologie definována na množině požadavkem, že určitá mapování z do jiných topologických prostorů by měla být spojitá. Počáteční topologie je nejhrubší topologie s touto vlastností.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Topologie kvocientu je vytvořen slepením některé body dohromady (identifikace) v topologického prostoru . Formálně se to děje prostřednictvím vztahu ekvivalence , takže body kvocientového prostoru jsou třídami bodů .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Zobecněním příkladu topologie kvocientu je konstrukce konečné topologie . Zde je topologie definována na množině požadavkem, že určitá mapování z jiných topologických prostorů by měla být spojitá. Konečná topologie je nejlepší topologie s touto vlastností.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

literatura

• Gerhard Preuss: Obecná topologie . 2. opravené vydání. Springer, Berlin et al. 1975, ISBN 3-540-07427-9 , ( univerzitní text ).
• Horst Schubert: Topologie. Úvod. 4. vydání. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 , ( matematičtí průvodci ).
• Klaus Jänich : Topologie. 6. vydání. Springer, Berlin et al. 1999, ISBN 3-540-65361-9 , ( Springerova učebnice ).
• Charles E. Aull, Robert Lowen (Eds.): Handbook of the History of General Topology . Svazek 3. Kluwer Academic, Dordrecht 2001, ISBN 0-7923-6970-X .
• Boto von Querenburg : Nastavit teoretickou topologii. 3. přepracované a rozšířené vydání. Springer, Berlin et al. 2001, ISBN 3-540-67790-9 , ( Springerova učebnice ).
• René Bartsch: Obecná topologie I . Oldenbourg, Mnichov a kol.2007 , ISBN 978-3-486-58158-4 .