Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, FRS ( Tamil : ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் , sriːniˈʋaːsə raːˈmaːnudʒən ; také Srinivasa Ramanujan Iyengar; narozen 22. prosince 1887 v Erode ; † 26. dubna 1920 v Chetpet , Madras ) byl indický matematik . Své matematické znalosti získal autodidakticky z odborné literatury a měl na to mimořádný talent , analytické a číselné teoretikyŘešení problémů intuitivně, obvykle bez předchozího poskytnutí řešení nebo důkazů .

Patronymický Srinivasa byl většinou zkráceně S. od Ramanujan. Jeho přezdívkou byla Ramanujan. Příjmení Iyengar, které také označuje příslušnost ke kastě, je nepovinné. Ramanujan znamená „malý bratr (Anuja) z Rama “, toto jméno bylo také vybráno s ohledem na Ramanuja .

Jeho matematické dovednosti byly podporovány ve škole, ale jeho studium selhalo, protože zanedbával matematické předměty. Žije na úrovni životního minima, soukromě se věnuje matematice a svá zjištění zapisuje do takzvaných „notebooků“. Pokusy o vědecké uznání byly zpočátku neúspěšné, dokud britský matematik Godfrey Harold Hardy v roce 1913 nepoznal jeho talent a nepřivedl ho do Anglie, kde učinil řadu důležitých objevů. O šest let později se Ramanujan vrátil do Indie jako známý vědec a zemřel v roce 1920 ve věku pouhých 32 let. Celý život musel bojovat se zdravotními problémy.

Život

Ramanujanův rodný dům v Erode, Alahiri Street

Ramanujanův domov na ulici Sarangapani v Kumbakonamu

Gopuram chrámu Sarangapani v Kumbakonamu, poblíž kterého vyrostl Ramanujan. Ulice, kde se nacházel domov jeho rodičů, vedla přímo do chrámu.

Střední školu v Kumbakonamu, kterou Ramanujan navštěvoval. Jedna hala je pojmenována po Ramanujanu.

Mládež a vzdělávání

Srinivasa Ramanujan se narodil 22. prosince 1887 v rodině pravoslavných tamilských brahminů z kasty Iyengarů . Poté, co se narodil v Erode , kde žili jeho prarodiče z matčiny strany a kde jeho matka tradičně chodila rodit, vyrůstal v domě svých rodičů (matka se tam vrátila rok po porodu) v Kumbakonamu, zpočátku v malém domě na Ulice Sarangapani. Jeho otec K. Srinivasa Iyengar pracoval jako úředník v sárí , jeho matka Komalatammal Srinivasa byla vzdělaná žena v domácnosti a pracovala jako zpěvačka liturgických zpěvů ( bhajan ) v nedalekém chrámu . Polovina příjmů šla do chrámu, druhá polovina zpěvákům. Jeho matka dostávala 5 až 10 rupií měsíčně ve srovnání s výdělkem jeho otce 20 rupií měsíčně. Rodina žila ve špatných podmínkách a musela se často stěhovat. Tři z jeho čtyř bratrů, narozeni později, zemřeli v dětství. I jako batole v Erode vynikal svou citlivostí a tvrdohlavostí - proto se pohazoval v hlíně na podlaze, když nedostal to, co chtěl jíst. První tři roky svého života téměř nemluvil, ale rychle to dohnal, když se pod vedením svého dědečka naučil vyslovovat tradiční způsob kreslení tamilských písmen ve vrstvě rýže na zem.

V prosinci 1889 Ramanujan onemocněl neštovicemi , které zabily tisíce lidí v regionu. Poté odešel s matkou do města Kanchipuram , kam se předtím přestěhovali jeho prarodiče z Erode.

1. října 1892 ve čtyřech letech nastoupil do mateřské školy a v březnu 1894 na střední školu v Telugu . Poté jeho dědeček přišel o úřad soudce v Kanchipuramu a Ramanujan se s matkou přestěhoval zpět do Kumbakonamu. Tam navštěvoval základní školu Kangayan. Po smrti svého dědečka z otcovy strany byl poslán žít k prarodičům z matčiny strany, kteří nyní žili v Madrasu (nyní Chennai). Ramanujan se tam vyhýbal škole a dostal stráž, aby zajistil školní docházku. Po šesti měsících se přestěhoval zpět do Kumbakonamu.

Ramanujan si vytvořil blízký vztah se svou matkou, která ho vychovala jako brahmína a naučila ho tradicím, kastovnímu systému , puranům , náboženským písním a oslavě púdže . Jeho otec byl zřídka doma.

Na základní škole Kangayan, krátce před svými desátými narozeninami, byl Ramanujan považován za nejlepšího studenta v okrese z předmětů angličtina, tamilština , zeměpis a aritmetika . Poté navštěvoval Town High School a brzy si ho všimli jako zázračné matematiky : ve věku jedenácti let byl matematicky nadřazený dvěma sousedním vysokoškolským studentům. Do dvou let zpracoval knihy o pokročilé trigonometrii od samotného Sidneyho Luxtona Loneyho . Jeho zájmy a dovednosti ho však vystavily nebezpečí, že se stane outsiderem:

V roce 1902 obdržel Ramanujan certifikáty za zvláštní zásluhy a ocenění a pomohl vedení školy rozdělit 1200 studentů mezi 35členný učitelský sbor. Začal se zajímat o nekonečné řady . Ve věku 16 let narazil na knihu Synopse základních výsledků v čisté a aplikované matematice od George Shoobridge Carra s více než 5 000 matematickými větami . Na maturitě (1904) obdržel Cenu K. Ranganatha Rao za své matematické úspěchy , což mu umožnilo získat stipendium na Government College v Kumbakonamu, takzvaném „Cambridge South India“. V 17 letech Ramanujan vypočítal Euler-Mascheroniho konstantu v hlavě na 15 desetinných míst.

Začal studovat na Government Arts College v Kumbakonamu, ale zanedbával povinné předměty angličtina a sanskrt, a proto v lednu 1905 opět přišel o stipendium, takže musel odejít. V srpnu 1905 se přestěhoval do Visakhapatnam a zapsal se na Pachaiyappa College v Madrasu, ale kvůli nemoci a neúspěšným zkouškám se této studie musel vzdát.

Život v Indii

Bez tréninku nebo zaměstnání žil Ramanujan na úrovni životního minima a často hladověl. Na žádost své matky se 14. července 1909 oženil s desetiletou S. Janaki Ammal (1899–1994), která nadále žila s rodiči. O několik měsíců později onemocněl semenníky hydrokély , nahromaděním tekutiny v pochvách varlat ; v lednu 1910 byl operován.

Poté, co se zotavil, Ramanujan nastoupil jako úředník v Madrasu a také dal studentům výuku matematiky na Presidency College . Požádal o okresního náčelníka V. Ramaswamiho Iyera, který nedávno založil Indickou matematickou společnost (IMS), se svými sešity vzorců na pozici ve finančním oddělení. Iyer později řekl:

Iyer poslal Ramanujana s doporučeními, aby se přátelil s matematiky v Madrasu. Doporučili ho okresnímu vedoucímu Nelluru a tajemníkovi IMS R. Ramachandrovi Raovi . Ramanujan pro něj vypočítal eliptické integrály , hypergeometrické funkce a vlastní teorii odlišných řad a Ramachandra Rao poznal jeho brilantnost. V Madrasu Ramanujan pokračoval ve své práci s finanční pomocí Ramachandry Rao a publikoval v časopise IMS.

Jedním z prvních problémů, kterým se v brožuře věnoval, byl výpočet výrazu

${\ Displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ dotsb}}}}}}}}.}$

Dlouho čekal na řešení od čtenářů, ale žádné nepřišlo, a tak řešení představil sám. Použil identitu :

${\ Displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ dotso}}}}}}}}$

S formulací úkolu i řešením 3. ${\ Displaystyle x = 2, n = 1, a = 0}$

Dalším příspěvkem v časopise Journal of IMS bylo sedmnáctistránkové pojednání Some Properties of Bernoulli's Numbers , ve kterém popsal vlastnosti Bernoulliho čísel . Mimo jiné představil způsob výpočtu na základě dalších Bernoulliho čísel pomocí rekurzivních vztahů. ${\ displaystyle B_ {n}}$

Zpočátku však Ramanujanovy texty obsahovaly řadu chyb. Redaktor časopisu MT Narayana Iyengar, profesor matematiky na Central College v Bangalore , napsal:

V lednu 1912 nastoupil na místo v obecné účetní kanceláři v Madrasu, kde dostával měsíční mzdu 20 indických rupií . Nyní se k němu nastěhovala jeho nyní 13letá manželka. 1. března 1912 se přestěhoval do účtárny přístavního úřadu v Madrasu, jeho měsíční plat se zvýšil na 30 rupií. Práce pro něj byla snadná a poskytla mu čas na výzkum. Jeho nadřízený, Sir Francis Spring, a jeho kolega S. Narayana Iyer, rovněž člen IMS, ho k tomu povzbudili.

Stránka z Ramanujanových „Notebooků“ z období mezi lety 1903 a 1910

Kontakt s evropskými matematiky

Sir Francis Spring, S. Narayana Iyer, R. Ramachandra Rao a Edward William Middlemast se snažili zaujmout evropské matematiky na Ramanujanově práci. Ale přestože Micaiah John Muller Hill (1856–1929) z University College London připustil, že Ramanujan má „smysl pro matematiku a určitý talent“, zjistil, že jeho nedostatek akademického vzdělání je příliš velký na to, aby jej mohli přijmout lepší matematici, a nechal ho s radou pro budoucnost. V roce 1912, Ramanujan napsal Henry Frederick Baker a Ernest William Hobson , dva přední matematici na univerzitě v Cambridge . Doklady dostal zpět bez komentáře.

Nakonec napsal mezinárodně známému matematikovi Godfreymu Haroldovi Hardymu , který také učil na Trinity College v Cambridgi . Jeho devítistránkový dopis ze 16. ledna 1913, plný formulí, začínal slovy:

Hardy si nejdřív myslel, že je podvodník. Některé vzorce mu byly známy, ale většina z nich „stěží vypadala věrohodně“. Jeden z nich byl na konci třetí stránky dopisu:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ cfrac {1+ {x} ^ {2} / ({b+ 1}) ^ {2}} {1+ {x} ^ {2} / ({a}) ^ {2}}} \ cdot {\ cfrac {1+ {x} ^ {2} / ({b+ 2}) ^ {2}} {1+ {x} ^ {2} / ({a + 1}) ^ {2}}} \ cdot \ dotsm \; \; {\ rm {d}} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ cdot {\ frac {\ Gamma (a + {\ frac {1} {2}}) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (ba + {\ frac {1} {2}})} {\ Gamma (a) \ Gamma (b + {\ frac {1} {2}}) \ Gamma (ba + 1)}}}}$ pro ${\ displaystyle 0 <a <b + {\ frac {1} {2}}}$

Hardy věřil, že může dokázat tuto rovnici, která zahrnuje gama funkci a určitý integrál (oblast, ve které si myslel, že je odborníkem). Později se mu to podařilo, i když důkazy o určitých integrálech v dopise nebyly snadné. Co však Hardyho fascinovalo především, byly výsledky uvedené v dopise přes nekonečné řady, jako např

${\ Displaystyle 1-5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} +9 \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {3} -13 \ left ({\ frac {1 \ times 3 \ times 5} {2 \ times 4 \ times 6}} \ right) ^ {3} + \ dotsb = {\ frac {2} {\ pi}}}$

a

${\ Displaystyle 1 + 9 \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {4} +17 \ left ({\ frac {1 \ cdot 5} {4 \ cdot 8}} \ right) ^ {4} +25 \ vlevo ({\ frac {1 \ times 5 \ times 9} {4 \ times 8 \ times 12}} \ right) ^ {4} + \ dotsb = {\ frac {2 ^ {\ frac {3} {2}}} {\ pi ^ {\ frac {1} {2}} \ left \ lbrace \ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) \ right \ rbrace ^ {2}}}.}$

První výsledek pochází od Gustava Bauera a byl již dlouhou dobu znám z teorie Legendrových polynomů . Ale druhý a dva další výsledky byly pro Hardyho zcela nové a podle jeho názoru představovaly mnohem vážnější problém, než se na první pohled zdálo. Souvisely s teorií hypergeometrických funkcí , kterou poprvé zkoumali Leonhard Euler a Carl Friedrich Gauß . Hardy shledal Ramanujanovy výsledky na nekonečných sériích „mnohem více fascinujících a rychle se ukázalo, že Ramanujan měl mnohem obecnější věty a mnohé zatajil.“ Výsledky nutné k prokázání toho byly později publikovány v monografii Wilfrida Normana Baileyho . Později se zjistilo, že Ramanujan již před rokem 1910 znal identitu ( identitu Dougall-Ramanujan ), ze které bylo možné odvodit mnoho takových výsledků.

Chrám Parthasarathy v Madrasu, okres Triplicane, kolem roku 1870. Ulice, na které Ramanujan žil, než odešel do Anglie, vedla do povodí chrámu

O výsledcích na poslední stránce dopisu týkajících se eliptických funkcí Hardy řekl:

Hardy ukázal Ramanujanův dopis svému příteli a kolegovi Johnu Edensorovi Littlewoodovi . Littlewood také ohromil indiánské úspěchy. Po diskusi o těchto dvou Angličanech Hardy poznamenal, že písmeno a vzorce „jsou pravděpodobně tím nejpozoruhodnějším, co jsem kdy dostal“, a že Ramanujan „je matematik nejvyšší kvality, muž mimořádné originality a síly“ může být. Další Hardyho kolega Eric Harold Neville , který učí v Madrasu , zjistil s ohledem na věty a vzorce:

Hardyho odpověď dopisem dorazila do Ramanujanu 8. února 1913 v Madrasu. V něm Brit vyjádřil svůj zájem o práci Inda:

V prvních únorových dnech, než Ramanujan obdržel dopis, Hardy požádal indické úřady, aby připravily Ramanujanovu cestu do Cambridge. Po příchodu dopisu, Arthur Davies, tím tajemník na Poradního výboru pro indické studenty , kontaktoval indický plánovat přejezd, ale Ind odmítl pozvání do Británie, protože, jak ortodoxní Brahmin , bál se, že by ke ztrátě sounáležitosti do své kasty, pokud by odešel do cizí země. Jeho matka byla také znepokojena. Místo toho Ramanujan poslal další dopis s formulemi Hardymu, ke kterému přidal slova:

Gilbert Walker , bývalý profesor matematiky na Cambridgi, se podíval na práci Ramanujana a požádal ho, aby přijel také do Anglie. Také indický matematik B. Hanumantha Rao k tomu chtěl přesvědčit svého krajana. Pozval svou pracovní kolegyni S. Narayanu Iyerovou na rozhovor s úřadem pro vzdělávání, katedrou matematiky, aby zjistil, „co můžeme pro S. Ramanujana udělat“. Na tomto setkání bylo dohodnuto poskytnout Ramanujanovi dvouleté výzkumné stipendium na univerzitě v Madrasu . Měsíčně by měl dostávat 75 rupií.

Během svého působení na univerzitě Ramanujan nadále publikoval matematické problémy a jejich řešení v časopise IMS. Během této doby vypracoval způsoby, jak snadněji řešit určité integrály , revidoval integrální teorii Giuliana Frullaniho z roku 1821 a vyvinul zobecnění pro odhad dříve zjevně neřešitelných integrálů.

Whewell's Court, Trinity College, Cambridge

Rodiče Ramanujana nakonec s výletem souhlasili. 18. března 1914 (jiné zdroje uvádějí 17. března), Neville a Ramanujan nastoupili do SS Nevasa v Madrasu a 18. dubna vstoupili do Londýna. Ramanujan našel dočasné ubytování u Nevilla na Chesterton Road v Cambridge. Neville ho přátelsky doprovázel na jeho prvních krocích v Anglii. V červnu se Ramanujan přestěhoval do pokojů na Whewell's Court na Trinity College , asi pět minut chůze od Hardyho pokojů na New Court na Trinity College. V říjnu 1915 se přestěhoval do Bishop's Hostel, který byl ještě blíže Hardymu. Zůstal většinou v Cambridgi, a to i během přestávky na semestr, ale občas navštívil Londýn, například Britské muzeum a zoo, a jednou byl na představení Charleyovy tety . Kvůli svým vegetariánským stravovacím zvyklostem se neúčastnil vysokoškolských jídel a ostatní členové školy ho zřídka vídali, například když „brouzdal“ po Velkém dvoře v pantoflích, protože neměl na sobě žádné boty běžné v Západ.

Vědecký úspěch v Anglii

Trinity College (Velký dvůr)

Nový soud, Trinity College, Cambridge

Ramanujan (uprostřed) a Hardy (zcela vpravo) s dalšími vědci na Trinity College

Ihned po jeho příjezdu začal Ind pracovat. Nejprve ukázal Hardymu své sešity. Ačkoli poslal Angličanovi asi 120 formulí dohromady v obou písmenech, knihy obsahovaly podstatně více přístupů, vět a řešení. Hardy si uvědomil, že některé výpočty byly chybné a jiné již byly objeveny, ale většina z nich byla novým průlomem. Littlewood a Hardy byli hluboce ohromeni a první řekl:

Hardy také nakreslil paralely mezi Ramanujanem a Jacobim:

Mezi Ramanujanem a Hardym byly vážné osobnostní a kulturní rozdíly. Brit byl ateista a viděl se jako zastánce důkazů pro teorie a určité přísnosti a přísnosti jeho vědy. Ind byl naopak hluboce věřící člověk, který se při své práci také spoléhal především na svou intuici a téměř nikdy neprokázal své věty. Během společných let se Hardy také pokusil vyplnit mezery ve znalostech a vzdělání, které měl Ramanujan v jiných disciplínách, ale bez ovlivnění jeho matematické inspirace. Spolupráce byla intenzivní a nebylo neobvyklé, že Ramanujan pracoval třicet hodin nepřetržitě a pak dvacet hodin spal.

16. března 1916 byl Ramanujan oceněn bakalářským titulem Výzkum kvůli uznání jeho výzkumné práce (to odpovídá asi doktorátu; doktorské tituly byly k dispozici až v Cambridgi od roku 1917 a nebyly nutně vyžadovány poté z vysoké školy byl důležitější), ctít jeho práci na vysoce složených číslech , která byla zveřejněna jako pojednání v časopise London Mathematical Society . Hardy řekl, že tyto výpočty patří k dosud nejneobvyklejším v matematice a že je Ramanujan provedl s mimořádnou vynalézavostí. 6. prosince 1917 byl Ramanujan zvolen do Londýnské matematické společnosti .

18. února 1918 byl jmenován členem Cambridgské filozofické společnosti . O tři dny později se jeho jméno objevilo na seznamu kandidátů na titul Fellow of the Royal Society ( FRS ). Byl navržen mnoha známými matematiky „pro jeho zkoumání eliptických funkcí a teorie čísel“. Podporovali ho mimo jiné Hardy, Littlewood, Percy Alexander MacMahon , Joseph Larmor , Thomas John I'Anson Bromwich , Seth Barnes Nicholson , Alfred Young , Edmund Taylor Whittaker , Andrew Russell Forsyth a Alfred North Whitehead . Ale Hobson a Baker, dva profesoři, kteří vrátili žádost Ramanujana bez komentáře před pěti lety, také podpořili kandidaturu. Ocenění proběhlo 2. května. Ramanujan byl teprve druhým Indem, kterému se dostalo této pocty, a jedním z nejmladších chlapců. Ve stejném roce, 10. října, získal také titul Fellow of Trinity College Cambridge .

Roky po Ramanujanově smrti se maďarský matematik Paul Erdős zeptal Hardyho na jeho největší přínos pro matematiku. Hardy bez zaváhání označil Ramanujanův objev a popsal ho jako „jedinou romantickou událost v mém životě“.

Nemoc, návrat do Indie a smrt

Ramanujan, pasová fotografie z roku 1919, vytvořená pro jeho zpáteční cestu do Indie. Fotografie je vyhlazená.

Typická vesnická ulice na předměstí Chetput v Madrasu, kolem roku 1905

Ramanujan měl po celý život zdravotní problémy. V tomto ohledu nebyl jeho pobyt v Anglii pro něj dobrý, zejména proto, že jako Brahmin byl přísně vegetarián , což mu během první světové války ještě více zkomplikovalo stravu . Poté, co jsme dvakrát onemocněli bakteriální úplavicí, byla diagnostikována jak tuberkulóza, tak nedostatky vitamínů . Ramanujanův fatalistický postoj, který Hardy připisoval svému indickému původu, také přispěl k tomu, že svému vlastnímu zdraví věnoval příliš malou pozornost.

Rok 1917 byl pro Ramanujana poznamenán zklamáním. Zpočátku nebyl zvolen Fellow na Trinity College, jak doufal (vysoká škola byla tehdy v rozporu kvůli aféře ohledně válečného protivníka Bertranda Russella ). Pak onemocněl tak vážně, že se chvílemi bál o život. Pobyt v sanatoriu na tuberkulózu v Matlocku zhoršil jeho náladu v hlubokou depresi: místo bylo vzdálené, diktátorské vedení, pacienti byli izolovaní od vnějšího světa, byla zima (což se v té době považovalo za terapeuticky užitečné), a nedostal obvyklé jídlo. Jeho práce trpěla nemocí, která na oplátku zhoršila jeho deprese. Navíc jen zřídka dostával dopisy od své manželky; jak se později ukázalo, zachytila ​​je jeho matka. V únoru 1918 se Ramanujan pokusil o sebevraždu tím, že se vrhl na kolejnice před přijíždějící vlak metra, ale pozornému strážci se podařilo vlak včas zastavit. Ramanujan utrpěl zranění, která mu na holeni zanechala hluboké jizvy. Byl zatčen a propuštěn pouze díky Hardyho zásahu. Na konci roku 1917 však Hardy zaznamenal známky zlepšení a v lednu 1918 napsal dopisu Františku Dewsburymu v Madrasu, že Ramanujan získal téměř 15 liber a že jeho tělesná teplota je stabilní.

Ramanujan se rozhodl vrátit do Indie po skončení války. Jako člen Královské společnosti mu bylo nabídnuto místo profesora (Společenstvo univerzity) v Madrasu, které mu za 250 liber nabídlo zhruba stejný plat jako člen Královské společnosti. Ramanujan se chtěl nejprve uzdravit a dokonce daroval peníze ze svého příjmu Královské společnosti, k nelibosti své rodiny, která se musela spolehnout na jeho podporu.

Ramanujan opustil Anglii 27. února 1919, dosáhl Indie 13. března a byl přijat jeho matkou v Madrasu. Rodinné konflikty znovu vypukly, když Ramanujan trval na tom, aby za ním přišla jeho 18letá manželka Janaki. Jeho povaha se změnila: místo aby byl vřelý a přátelský jako před svým odchodem, nyní se svým přátelům jevil skleslý, chladný a mrzutý; už nebyl dobře živený jako před svým odchodem, ale vypadal nemocně a vyhublý. Byl považován za odeslaného do sanatoria, ale Ramanujan začal být vůči lékařům podezřelý a často jim odmítal radit. Na Hardyho naléhání byli specialista na tuberkulózu v Madrasu a profesor PS Chandrasekhar posláni do Ramanujanu, který jasně diagnostikoval tuberkulózu.

V létě se rodina přestěhovala z horkého Madrasu do chladnějšího nitra země, zpočátku do Kodumudi , kde měla rodina matky dobré spojení, a od začátku září do méně vzdáleného Kumbakonamu. Na začátku roku 1920 byl Ramanujan zpět v Chetpet , předměstí Madrasu, kde opět zažil produktivní fázi. 12. ledna 1920 napsal Hardymu o objevu falešných funkcí theta. Do čtyř dnů před smrtí navzdory horečce a bolesti pracoval na svých matematických sešitech, jejichž listy jeho žena sbírala do krabice.

Ramanujan zemřel 26. dubna 1920 v Chetpet v Gometra domě mimo Huntington Road. Jeho vdova žila v Triplicane , okres Madras, až do své smrti v roce 1994 , kde se později živila hlavně jako samostatně výdělečně činný krejčí (a pobírala malý důchod z University of Madras) a vychovala adoptivního syna zesnulého přítel (W. Narayanan).

Lékař DAB Young v roce 1994 prozkoumal Ramanujanovy lékařské záznamy a lékařské záznamy a navrhl, aby zemřel nikoli na tuberkulózu, ale na amébovou úplavici, která v té době v Madrasu řádila. Navíc zastával názor, že Ramanujanova bakteriální úplavice úplně neustoupila a patogeny zůstaly v těle. Tímto způsobem se mohla amébová úplavice později vyvinout o to rychleji.

Práce

Ramanujan se během pěti let v Anglii zabýval hlavně teorií čísel . Proslavil se mnoha součtovými vzorci, které obsahují konstanty, jako je číslo kruhu, prvočísla a funkce rozdělení , a byl mistrem v řešení pokračujících zlomků . Mimo jiné vytvořil velmi dobrý přibližný vzorec pro výpočet obvodu elipsy . ${\ displaystyle \ pi,}$

Výpočet čísla kruhu

Jedním z jeho nejznámějších zjištění je rovnice pro výpočet počtu kruhů , která byla publikována v roce 1914 a vychází ze studií eliptických funkcí a funkcí modulu :${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \, { \ frac {(4n)! \ cdot (1103 + 26390 \, n)} {(n!) ^ {4} \ cdot 396 ^ {4n}}}}$

Tato metoda rychle konverguje a přináší až 9 přírůstků po bezkontaktní přestávce s 80místným čítačem je již výsledkem, 70 zlomků se shoduje: ${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ pi \ cca {\ frac {1} {{\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {8} \, {\ frac {(4n)! \ Cdot (1103 + 26390 \, n)} {(n!) ^ {4} \ cdot 396 ^ {4n}}}}} = {\ sqrt {2}} \ cdot {\ frac { 14071471712843535798792494970078253119671801362717159118900747103370578550063104} {6334387787708107824222495376281706107615730472323276284056009760393364218543125}}; \ \$

${\ Displaystyle \ pi \ cca 3 {,} 14159 \; 26535 \; 89793 \; 23846 \; 26433 \; 83279 \; 50288 \; 41971 \; 69399 \; 37510 \; 58209 \; 74944 \; 59230 \; 78164 \; {\ color {red} 10729 \ ldots}}$

V roce 1985 Bill Gosper použil tento přístup ke stanovení 17 milionů desetinných míst. ${\ displaystyle \ pi}$

Funkce rozdělení

Asymptotický vzorec publikovaný Hardym a Ramanujanem v roce 1918 pro funkci rozdělení udává, kolikrát se přirozené číslo rozpadlo :${\ displaystyle p (n)}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle p (n) \ sim {\ frac {1} {4n {\ sqrt {3}}}} \ exp \ left ({\ pi {\ sqrt {\ frac {2n} {3}}}} \ vpravo) \ quad {\ text {for}} \ quad n \ rightarrow \ infty}$.

Například , že vede k hodnotě, která je pouze 1,4% příliš vysoké, což je kolem . Hardy a Ramanujan našli přesný vzorec pro rozdělovací funkci, jejíž první člen je výše uvedená asymptotická hodnota. To také zapůsobilo na anglického specialistu na kombinatoriku Percyho Alexandra MacMahona , který vypočítal tabulky pro funkci rozdělení pomocí vzorce od Eulera - hodnota , pracně sestavená MacMahonem, vyplývá přímo z Ramanujanova vzorce. Práce na dělící funkci byla také původem kruhové metody, která byla později vytvořena ústřední metodou analytické teorie čísel od Hardyho a Littlewooda. ${\ displaystyle n = 1000}$${\ Displaystyle 2 {,} 44 \ cdot 10 ^ {31}}$${\ displaystyle p (200)}$

Další zjištění

Celkem Ramanujan v Cambridge našel kolem 3900 matematických výsledků, z nichž většinu tvořily rovnice identity , z nichž většinu bylo možné zpětně dokázat.

V letech spolupráce s Hardym byla vytvořena řada děl o vysoce komponovaných číslech , falešných funkcích theta ( funkce pseudo theta) - které byly dlouhou dobu záhadné, ale jejichž teorie získala velkou podporu kolem roku 2010 ( Sander Zwegers , Kathrin Bringmann ( Ken Ono ) - a po něm pojmenovaná domněnka o funkci Ramanujan tau , kterou v roce 1974 dokázal Pierre Deligne . Společně dokázali Hardyho a Ramanujanovu větu . Tato věta poskytuje dosud nejpřesnější odhad počtu různých prvočíselných faktorů celého čísla.

Abychom uvedli příklady typu výsledků Ramanujana, je zde několik dalších rovnic, které Ramanujan našel:

${\ Displaystyle {\ sqrt {(n + a) ^ {2} + x \, a + x \, {\ sqrt {(n + a) ^ {2} + (x + n) \, a + (x + n) \, {\ sqrt {(n + a) ^ {2} + (x + 2n) \, a + (x + 2n) \, {\ sqrt {\ dots}}}}}}}}}} = x \, + \, n \, + \, a}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 2 \ pi}} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 4 \ pi}} {\ displaystyle 1+ {\ frac {e ^ {- 6 \ pi}} {\ ddots}}}}}}}}} = {\ Biggl (} {\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2} }} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} {\ Biggr)} \ cdot e ^ {2 \ pi / 5} = {\ Bigl (} {\ sqrt {2+ \ Phi}} - \ Phi {\ Bigr)} \ cdot e ^ {2 \ pi / 5}}$... se zlatým řezem ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}}} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}}}} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 6 \ pi {\ sqrt {5}}}} {\ ddots}}}}}}}}}}}} = {\ Biggl (} {\ frac {\ sqrt {5}} {1 + {\ sqrt [{5}] {5 ^ {\ frac {3} {4}} ({\ frac {{\ sqrt {5}} - 1 } {2}}) ^ {\ frac {5} {2}} - 1}}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} {\ Biggr)} \ cdot e ^ {2 \ pi / {\ sqrt {5}}}}$

Pojmy pojmenované po Ramanujanu

• Landau-Ramanujanova konstanta (také pojmenovaná po Edmundovi Landauovi )
• Ramanujanova Soldnerova konstanta (dále rozvinutá teorie německého matematika Johanna Georga von Soldnera )
• Funkce Ramanujan theta
• Identity Rogers-Ramanujan (společně vyvinuté s britským matematikem Leonardem Jamesem Rogersem )
• Rogers-Ramanujan pokračoval ve zlomku
• Ramanujanské prvočíslo
• Součet Ramanujan
• Ramanujan dohady (o funkci Ramanujan tau)
• otevřený problém Brocarda a Ramanujana
• Ramanujan graf
• Ramanujan-Nagellova rovnice
• Ramanujanova g-funkce a G-funkce

Magický čtverec

Kouzelné náměstí Ramanujan. Pole stejné barvy sečtou až 139, první řádek - zvýrazněný barvou vpravo dole - ukazuje jeho datum narození.

Magickým čtvercům je věnována celá kapitola prvního sešitu . Od něj je čtverec vlevo, jehož první řádek ukazuje jeho datum narození.

Ramanujanovy metody a mezery ve vzdělávání

Ne všechny výsledky Ramanujanu byly přesné. V jednom ze svých prvních písmen například uvedl vzorec pro počet prvočísel pod pevným číslem ve formě nekonečné řady, což skutečně dává přesnou shodu hodnot až kolem 1000 (a také poskytuje relativně dobrá aproximace pro mnohem vyšší hodnoty), ale celkově Littlewood zjistil, že není přesný. Vzorec byl podobný tomu Bernharda Riemanna, přičemž Ramanujanův vzorec nebral v úvahu složité nuly funkcí Riemannova zeta . Ačkoli Ramanujan v analytické teorii čísel (a zejména v distribuci prvočísel) musel selhat (Littlewood) kvůli jeho nedostatku znalostí a důležité nezbytnosti přísných důkazů, zejména zde - kde se často zdánlivě věrohodné hypotézy později ukázaly jako nepravdivé - ( Littlewood), Littlewood považoval jeho příspěvky za jeden z jeho nejneobyčejnějších úspěchů.${\ displaystyle x}$

Hardyho se často ptali, jestli Ramanujan má nějaká zvláštní tajemství nebo „abnormální“ metody, které ho odlišují od ostatních matematiků. Hardy odpověděl, že ačkoli na to nemohl s naprostou jistotou odpovědět, nevěřil tomu.

Jedním z nedostatků Ramanujana bylo, že nevěděl nic o teorii funkcí komplexních proměnných (dokonce získal své znalosti o eliptických funkcích z výstředního představení učebnice Alfreda George Greenhilla ), jak Hardy uvedl ve své knize o Ramanujanu. Později se naučil nějakou teorii funkcí, ale k Hardyho úžasu nepoužil Cauchyovu integrální větu ani zbytkový počet , přestože mu jako formalistovi měli vyhovovat. Hardy charakterizoval Ramanujana jako mistra v řešení algebraických vzorců a nekonečných řad, což Hardy sám u žádného matematika, kterého znal, neviděl a díky čemuž byl srovnatelný pouze s Eulerem nebo Jacobim. Pracoval také více než ostatní matematici po Hardym díky uvedení numerických příkladů, například na kongruence dělící funkce, které objevil. Podle Hardyho zkombinoval mimořádnou paměť, trpělivost a vytrvalost a mimořádné dovednosti v oblasti počítání se schopností zobecnit a rychle změnit hypotézy, které vytvořil, stejně jako smysl pro formu, který ohromil a učinil jej jedinečným ve svém oboru na čas. Viděl méně jako tragédii, že Ramanujan zemřel předčasně (podle Hardyho byli matematici již ve věku 30 let relativně staří), než že nebyl v Indii v prvních letech povýšen, a tak získal zkreslený obraz matematiky. Podle Hardyho by se navzdory „hluboké a nezkrotné originalitě“ stal velkým matematikem, kdyby byl v mládí poněkud „zkrocen“, ale pak „méně Ramanujan než evropský profesor a ztráta mohla být větší než zisk “.

Anekdoty

Příběh, který vyjadřuje Ramanujanovy matematické úspěchy, pochází od samotného Hardyho, který jej vyprávěl po Ramanujanově smrti. Hardy jel taxíkem s číslem 1729 do Ramanujanu, trochu o čísle přemýšlel, ale nic zvláštního nenašel a místo pozdravu Ramanujana zklamaně řekl, jaké to bylo nezajímavé a nic neříkající číslo. Ramanujan, který byl nemocný v posteli, v rozporu najednou: v roce 1729 byl dokonce zajímavější než nejmenší přirozené číslo, které bude napsán dvěma různými způsoby jako součet dvou kostek: . Hardy se zeptal, jestli také zná odpověď na odpovídající problém čtvrtých mocností. Po chvilce přemýšlení Ramanujan řekl, že ho nenapadá příklad, ale první takové číslo musí být velmi velké.${\ Displaystyle 1729 = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 9 ^ {3} + 10 ^ {3}}$

Číslo 1729 je nyní také známé jako číslo Hardy Ramanujan a je druhým číslem taxíku . Nejmenším řešením čtvrté síly je . ${\ Displaystyle 635 \, 318 \, 657 = 133 ^ {4} + 134 ^ {4} = 59 ^ {4} + 158 ^ {4}}$

JE Littlewood kdysi řekl, že jakékoli kladné celé číslo je Ramanujanův osobní přítel.

Další příběh vyprávěla Prasanta Chandra Mahalanobis , Ramanujanův přítel z Cambridge. V pokoji Ramanujana narazil na hlavolam z časopisu Strand Magazine z prosince 1914. Existovala řada domů s po sobě jdoucími čísly domů 1, 2, 3…. Hledali jsme číslo domu, ve kterém jsou součty všech čísel domů vpravo nebo vlevo stejné, pokud je počet domů větší než 50 a menší než 500. Po chvilce přemýšlení našel Mahalanobis jako jediné řešení v daném intervalu dům číslo 204 z celkem 288 domů:

${\ Displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots + 203 = 20 \, 706 = 205 + 206 + \ cdots +288}$

Když přečetl úkol Ramanujanovi, nejenže našel toto speciální řešení stejně rychle, ale také zformuloval obecné řešení pro ulice jakékoli délky ve formě řetězového zlomku. Možné hodnoty čísla jsou kořeny v hranatých trojúhelníkových čísel , index trojúhelníkové číslo je počet domů. Pod 204 jsou řešení 6 (pro 8 domů) a 35 (pro 49 domů).

Další zájmy a pohledy na Ramanujan

Stránka rukopisu Ramanujan o vyrovnání kruhu (publikováno 1913)

Podle Hardyho účtu se Ramanujan zajímal o literaturu a umění jen okrajově, ale dokázal rozlišit dobrou a špatnou literaturu. Jeho znalost angličtiny byla tak špatná, že s ní nemohl složit zkoušku; Vůbec neuměl číst matematická pojednání v němčině nebo francouzštině. Filosofie ho velmi zajímala, politicky byl radikálním pacifistou . Přestože věnoval velkou pozornost dodržování svých náboženských konvencí, nebyl přesvědčen pouze o svém náboženství, ale o názoru, že všechna náboženství jsou víceméně stejná. Zajímal se o neobvyklé, neočekávané a podivné a vlastnil malou sbírku knih od squarers a dalších kliků (Hardy). Sám Ramanujan poskytl dvě geometrické konstrukce pro přibližnou kvadraturu kruhu .

Notebooky

Osobní poznámky Ramanujana, „sešity“, byly na několik let částečně ztraceny. Jeho vdova dala čtyři notebooky a několik dalších rukopisů univerzitě v Madrasu po jeho smrti . O tři roky později je místní registrátor Francis Drewsbury poslal do Godfrey Harold Hardy na univerzitě v Cambridge. Originály prvního a druhého sešitu byly později vráceny na univerzitu v Madrasu.

Čtyři knihy a rukopisy obsahovaly celkem 3 000 až 4 000 matematických vzorců vypracovaných Ramanujanem (759 výsledků v prvním sešitu). K žádnému však nebyl připojen žádný důkaz. Spolu s Brucem Berndtem , matematikem z University of Illinois v Urbana-Champaign , George E. Andrews prokázal velkou část vzorců (pomocí dokumentů od Bertrama Martina Wilsona a George Nevilla Watsona a za účasti dalších matematiků).

Sešity byly původně plánovány na vydání ve Sbíraných novinách v roce 1927 , ale to se z finančních důvodů neuskutečnilo. Wilson a Watson plánovali vydat sešity v roce 1929, ale to se zastavilo po Wilsonově smrti v roce 1935 (v roce 1957 vydal Tata Institute for Fundamental Research v Bombay fotostatickou kopii ve dvou svazcích, přičemž první, druhý a třetí notebook) . Na konci třicátých let Watson ztratil o publikaci zájem, ale jeho poznámky a poznámky Wilsona později použili Berndt a Andrews ve svém vydání a Watson publikoval na materiálu z notebooků. Sešity později upravili Andrews a Berndt.

Druhý notebook je rozšířením a zpracováním prvního notebooku a byl vytvořen před Ramanujanovým pobytem v Anglii. Oba mají přes 300 stran a jsou z velké části seřazeny tematicky (v druhém sešitu 21 kapitol po 256 stranách a kolem 100 stran neorganizovaného materiálu). Poslal Hardymu asi 120 výsledků v dopise (s první stránkou chybí první písmeno). Třetí notebook má pouze 33 stran.

Čtvrtý notebook byl vytvořen po návratu Ramanujana do Indie a obsahuje mimo jiné materiál o falešných funkcích theta, Rogers-Ramanujan pokračoval zlomky a q-série. Bylo ztraceno po celá desetiletí, čímž si vysloužilo přezdívku „Ztracený notebook“ (Ztracený notebook) . Po Watsonově smrti v roce 1965 Robert Alexander Rankin prozkoumal jeho majetek a 26. prosince 1968 poslal spisy Ramanujan, které tam ještě byly, do Wren Library of Trinity College. Tam Lost Notebook byl nalezen Andrews na jaře roku 1976, v krabici s předměty dříve patřit k Watson. Berndt řekl:

22. prosince 1987 (100. narozeniny Ramanujana ) vyšel Ramanujan's Lost Notebook v nakladatelství Narosa , které je propojené se Springer Verlag . Tehdejší indický premiér Rajiv Gandhi předal první dva výtisky knihy S. Janaki Ammal Ramanujan, vdově po matematikovi a George E. Andrewsovi. U některých vzorců však dosud nebyl nalezen žádný důkaz.

Vyznamenání

Ocenění za jeho života

• 1904: Cena K. Ranganatha Rao za matematiku
• 06.12.1917: člen Londýnské matematické společnosti
• 18. února 1918: Fellow of the Cambridge Philosophical Society
• 02.05.1918: Fellow of the Royal Society
• 10.10.1918: Fellow of Trinity College Cambridge

Posmrtné vyznamenání

• V roce 1962 indická vláda vydala razítko s podobou Ramanujana na památku jeho 75. narozenin. V současné době matematik zdobí řadu indických poštovních známek.
• V indickém státě Tamil Nadu , domovském státě Ramanujanu, se státní den IT slaví každoročně 22. prosince, v den jeho narozenin . To má připomenout kořeny tohoto vědce a jeho původ z Tamil Nadu. V domě na ulici Saarangapani v Kumbakonamu, kde Ramanujan a jeho rodina strávila většinu svého dětství, nyní sídlí rozsáhlé muzeum o matematikovi.
• Cena ICTP Ramanujan Prize a SASTRA Ramanujan Prize se udělují od roku 2005 na památku Ramanujana .
• V roce 2019 publikoval tým výzkumníků vedený Galem Raayonim z Technionu technický článek o softwaru, který vyvinuli a který by podle jejich autorů měl napodobovat způsob, jakým Ramanujan funguje. Počítačový program, nazývaný „stroj Ramanujan“, údajně našel dříve neznámé vnořené vzorce pomocí metody pokus-omyl, které udávají hodnotu důležitých konstant, jako je pi, Eulerovo číslo e nebo hodnoty Riemannova funkce zeta. Frank Calegari kritizoval obvinění výzkumného týmu jako intelektuální podvod.
• Asteroid (4130) Ramanujan , objevený 17. února 1988, byl po něm pojmenován v roce 1989.

Odkazy na Ramanujan v kultuře

• Profesor matematiky Gerald Lambeau ve filmu Good Will Hunting cituje Ramanujana - poněkud předramatizovaného - jako srovnání nadání mladého Willa Huntinga.
• Americká kriminální série Numbers přenesla Ramanujanovo jméno na indického matematika, který se specializoval na kombinatoriku .
• Drama First Class Man podle stejnojmenného románu Davida Freemana pojednává o Ramanujanovi a jeho pracovním vztahu s Hardym.
• 21. dubna 1998 měla v mnichovském Prinzregententheater premiéru opera Ramanujan německo-indického skladatele Sandeepa Bhagwatiho o životě matematika .
• Životopisný film Ramanujan byl propuštěn v roce 2014 .
• V roce 2016 se objevil celovečerní film Poezie nekonečna (anglicky: The Man Who Knew Infinity ), režie Matthew Brown s anglickým hercem Devem Patelem v roli Srinivasy Ramanujana a Jeremyho Ironse jako G. H. Hardyho .

Písma

• S GH Hardy : Žádná formule asymptotique pour le nombre des partitions de n . Comptes Rendus 164, 1917, s. 35-38.
• GH Hardy, P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar, Bertram Martin Wilson (Eds.): Sebrané papíry. Cambridge University Press, 1927; Dotisk Chelsea Publishing Co. 1962; AMS Chelsea Publishing (svazek 159) 2000, ISBN 0-8218-2076-1 (s moderními komentáři Bruce C. Berndta).
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt (Eds.): Ramanujan's Lost Notebook. Springer-Verlag, New York London 2005, ISBN 978-0-387-25529-3 .
• Bruce C. Berndt (Ed.): Ramanujan's Notebooks. (Pět dílů), Springer-Verlag, New York.
  • Část I, 1985, ISBN 0-387-96110-0 .
  • Část II, 1999, ISBN 0-387-96794-X .
  • Část III, 2004, ISBN 0-387-97503-9 .
  • Část IV, 1993, ISBN 0-387-94109-6 .
  • Část V, 2005, ISBN 0-387-94941-0 .
• George E. Andrews, Robert Alexander Rankin (Eds.): Ramanujan - dopisy a komentáře. American Mathematical Society, 1995, ISBN 978-0-8218-0470-4 .
• Ramanujan: Ztracený zápisník a další nepublikované papíry. Narosa Publ. House / Springer, New Delhi 1988.

literatura

• Godfrey Harold Hardy: Obituary, S. Ramanujan. Nature, sv. 105, 1920, s. 494-495.
• Godfrey Harold Hardy: Ramanujan - dvanáct přednášek o předmětech navrhovaných jeho životem a dílem. Chelsea Publishing Co, 1940, 1978 ISBN 0-8284-0136-5 .
• Godfrey Harold Hardy: Srinivasan Ramanujan (1887-1920) , Proč. London Math. Soc., Svazek 19, 1920, s. XL-LVIII, přetištěno v Hardy et al. Ramanujan. Collected Papers , Cambridge UP, 1927, s. XXI - XXXVI (s menšími změnami také v Proc. Roy. Soc., 1921)
• Robert Kanigel : Kdo znal nekonečno. Vieweg-Verlag, 2. vydání 1995, ISBN 3-528-16509-X , německý překlad Albrechta Beutelspachera z filmu Muž, který znal nekonečno: Život génia Ramanujana. Synové Charlese Scribnera, New York 1991. ISBN 0-684-19259-4 .
• Eric Harold Neville : Srinivasa Ramanujan. Nature, sv. 149, 1942, s. 292-295
• SR Ranganathan : Ramanujan: Muž a matematik , Bombay: Asia Publishing 1967
• Suresh Ram: Srinivasa Ramanujan , New Delhi, National Book Trust, 1972, 1979.
• K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan - matematický génius. East West Books, Madras 1998.
• George E. Andrews (Ed.): Ramanujan znovu navštíven. (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988
• George E. Andrews, Robert Alexander Rankin : Ramanujan: Eseje a průzkumy. American Mathematical Society, 2001, ISBN 978-0-8218-2624-9 .
• Bruce C. Berndt: Přehled Ramanujanových notebooků. In: Karel Veliký a jeho dědictví: 1200 let civilizace a vědy v Evropě. (Eds. PL Butzer, W. Oberschelp, H. Th. Jongen), Turnhout, 1998. s. 119-146.
• Bruce C. Berndt, S. Bhargava: Ramanujan pro lowbrows. In: American Mathematical Monthly. Svazek 100, 1993, s. 644 ( mathdl.maa.org ).
• Robert Alexander Rankin : Ramanujan's Manuscripts and Notebooks , Bulletin London Math. Soc., Sv. 14, 1982, s. 81-97, část 2, sv. 21, 1989, s. 351-365
• Lokenath Debnath: Srinivasa Ramanujan (1887-1920) a teorie rozdělení čísel a statistická mechanika. Centennial tribute , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 10, 1987, Issue 4, pp. 625-640, European Digital Mathematics Library
• Don Zagier : Ramanujan Hardymu. Od prvního do posledního písmene. In: Komunikace DMV. Svazek 18, 2010, s. 21–28 ( people.mpim-bonn.mpg.de PDF).

webové odkazy

• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Srinivasa Aiyangar Ramanujan. In: MacTutor History of Mathematics archive .
• Web na Srinivasa Ramanujan - prof. K. Srinivasa Rao, Chennai, s četnými skeny článků a notebooků, červen 2002 (anglicky)
• Alladi Krishnaswami (Ed.): Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125, Part I. Notices AMS, December 2012 and Part 2. Notices AMS, January 2013
• K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan
• Genius s intuicí: Ramanujan. (PDF) Krátký životopis, Quarks & Co , 5. dubna 2005
• Holger Dambeck: Matematici se klaní Ramanujanovi. In: Spiegel online . 22. prosince 2012 ( spiegel.de ).
• Martin Koch: Možná největší matematický génius zemřel příliš brzy. Věděl Ramanujan nekonečno? In: Berliner Zeitung . 29. dubna 1995 ( berliner-zeitung.de ).

Jednotlivé reference a komentáře