Filozofie matematiky

Filozofie matematiky je oblast teoretické filozofie , která se snaží pochopit a vysvětlit objekt, předmět, metody a povaze matematiky .

výchozí bod

Systematicky zásadní jsou otázky o

  1. způsob bytí matematických objektů: existují „skutečně“ a nezávisle na konkrétním použití, a pokud ano, v jakém smyslu? Co to vůbec znamená odkazovat na matematický objekt? Jaký je charakter matematických vět? Jaké jsou vztahy mezi logikou a matematikou? - To jsou ontologické otázky .
  2. původ matematických znalostí : jaký je zdroj a podstata matematické pravdy ? Jaké jsou podmínky matematické vědy? Jaké jsou v zásadě vaše metody výzkumu? Jakou roli v tom hraje lidská přirozenost? - To jsou epistemologické otázky .
  3. vztah mezi matematikou a realitou : jaký je vztah mezi abstraktním světem matematiky a hmotným vesmírem? Je matematika zakotvena ve zkušenostech , a pokud ano, jak? Jak to, že matematika „tak obdivuhodně zapadá do objektů reality“ ( Albert Einstein ) ? Jak pojmy jako číslo , bod a nekonečno získávají svůj význam, který přesahuje vnitřní matematickou oblast?

Výchozím bodem je téměř vždy názor, že matematické věty jsou apodikticky jisté, nadčasové a přesné a že jejich správnost nezávisí na empirických výsledcích nebo osobních názorech. Úkolem je určit podmínky možnosti takového poznání, jakož i zpochybnit toto východisko.

Realismus, platonismus, materialismus

Mezi matematiky rozšířenou pozicí je realismus , zastoupený mimo jiné. by Kurt Gödel a Paul Erdős . Matematické objekty (čísla, geometrické obrazce , struktury) a zákony nejsou pojmy, které vyvstávají v hlavě matematika, ale jsou dány existencí nezávislou na lidském myšlení , jak zdůrazňuje Friedrich Engels v Anti-Dühring . Matematika proto není vymyšlena , ale objevena. Tato koncepce odpovídá objektivnímu, tj. Interpersonálnímu charakteru matematiky. Tento ontologický realismus je materialistická filozofie.

Klasickou formou realismu je platonismus , podle kterého matematické objekty a tvrzení existují odděleně od hmotného světa a nezávisle na prostoru a čase, spolu s dalšími myšlenkami , jako je „dobré“, „ krásné “ nebo „božské“. Hlavním problémem platonismu ve filozofii matematiky je otázka, jak my jako omezené bytosti dokážeme rozpoznat matematické objekty a pravdy, když jsou doma v tomto „nebi idejí“. Podle Gödela je toho dosaženo prostřednictvím matematické intuice, která nám, podobně jako smyslový orgán , umožňuje vnímat části tohoto jiného světa. Tyto racionální intuice mimo jiné používá také většina klasiků racionalismu a v novějších debatách o ospravedlnění nebo znalostech a priori . bránil tím, Laurence Bonjour .

Aristoteles pokrývá svou filozofii matematiky v Knihách XIII a XIV metafyziky . Zde a na mnoha místech kritizuje platonismus .

Logicismus

Logicism byl, mimo jiné, Gottlob Frege , Bertrand Russell a Rudolf Carnap založil. Sledoval program, který matematiku zcela redukoval na formální logiku a následně ji chápal jako součást logiky . Logici zastávají názor, že matematické znalosti jsou a priori platné. Matematické koncepty jsou odvozeny z logických konceptů nebo jsou z nich konstruovány, matematické věty vyplývají přímo z axiomů čisté logiky.

Gottlob Frege , který je považován za jednoho z největších myslitelů 20. století, vystopoval právní strukturu numerického výpočtu zpět k logickým principům ve svých základních aritmetických zákonech . Fregeova konstrukce se ukázala být křehkou, než byla plně publikována, poté, co Russell svou slavnou antinomií ukázal, že rozpory ve Fregeově matematice lze odvodit. Russell o tom informoval Fregeho v dopise, načež upadl do hluboké osobní krize. Později se rozporům dalo vyhnout komplikovanějšími systémy axiomů, takže teorii množin a zejména teorii přirozených čísel lze odůvodnit bez rozporů. Tyto axiomy však nemohly být odůvodněny čistě logicky ve smyslu Fregeových základních zákonů.

Hlavní kritika logismu je, že neřeší základní problémy matematiky, ale pouze ji posouvá k základním problémům logiky, a proto neposkytuje žádné uspokojivé odpovědi.

Formalismus, deduktivismus

Formalismus odkazuje na matematiku podobné hry založené na určitém souboru pravidel, s řetězci (angl. Strings) , které mají být zmanipulované. Například ve hře „ Euklidovská geometrie “ se Pythagorova věta získává kombinací určitých řetězců postav ( axiomů ) s určitými pravidly (logickými úvahami), jako jsou stavební bloky. Matematické výroky ztrácejí charakter pravd (např. O geometrických obrazcích nebo číslech), v konečném důsledku již nejsou výroky „o ničem“.

Varianta formalismu je často označována jako deduktivismus . Například Pythagorova věta již nepředstavuje absolutní pravdu, ale pouze relativní pravdu : Pokud řetězec znaků přiřazuje významy takovým způsobem, že jsou pravdivé axiomy a pravidla odvozování, je třeba se řídit závěry, např. B. považovat Pythagorovu větu za pravdivou. Z tohoto pohledu nemusí formalismus zůstat nesmyslnou symbolickou hrou. Matematik může spíše doufat, že existuje interpretace sekvencí postav, které B. specifikujte fyziku nebo jiné přírodní vědy tak, aby pravidla vedla k pravdivým tvrzením. Deduktivistický matematik se tak může zbavit odpovědnosti za interpretace i ontologických potíží filozofů.

David Hilbert je považován za důležitého raného představitele formalismu. Usiluje o konzistentní axiomatickou strukturu veškeré matematiky, přičemž jako výchozí bod volí aritmetiku přirozených čísel za předpokladu, že má úplný a konzistentní systém. Krátce nato Kurt Gödel se vzepřel tento názor s jeho neúplnost trestu. Takže pro každý systém axiomů, který zahrnuje aritmetiku přirozených čísel, je dokázáno, že je buď neúplný, nebo sám sobě odporuje.

strukturalismus

Strukturalismus považuje matematiku primárně jako věda, která se zabývá obecnými strukturami, d. H. se vztahy prvků v systému. Pro ilustraci lze za příklad systému považovat správu sportovního klubu. Různé kanceláře (jako správní rada, auditor, pokladník atd.) Lze odlišit od lidí, kteří tyto úkoly převezmou. Pokud se podíváte pouze na rámec úřadů (a vynecháte tak konkrétní lidi, kteří je plní), získáte obecnou strukturu asociace. Samotná asociace s lidmi, kteří převzali úřady, je příkladem této struktury.

Stejně tak každý systém, jehož prvky mají jedinečného nástupce, je příkladem struktury přirozených čísel; Totéž platí pro další matematické objekty. Protože strukturalismus nepovažuje objekty, jako jsou čísla oddělené od jejich totality nebo struktury, ale spíše je vidí za místa ve struktuře, vyhýbá se otázce existence matematických objektů nebo je vyjasňuje jako chyby kategorie . Například na dvě jako na přirozené číslo již nelze pohlížet odděleně od struktury přirozených čísel, ale spíše na identifikátor druhého místa ve struktuře přirozených čísel, nemá ani vnitřní vlastnosti, ani vlastní strukturu. V souladu s tím existují varianty strukturalismu, které přijímají matematické objekty jako existující, stejně jako ty, které jejich existenci odmítají.

Problémy s tímto proudem vyvstávají zejména z otázky vlastností a povahy struktur. Stejně jako ve sporu o univerzálnosti jsou struktury evidentně něčím, co může platit pro mnoho systémů současně. Strukturu fotbalového týmu jistě ilustrují tisíce týmů . Nabízí se otázka, zda a jak struktury existují, zda existují nezávisle na systémech. Další otevřené otázky se týkají přístupu ke strukturám, např. B: Jak se můžeme dozvědět o strukturách?

Současnými představiteli strukturalismu jsou Stewart Shapiro , Michael Resnik a Geoffrey Hellman .

Další teorie

Intuicionismus založil podle Luitzen Brouwer popírá existenci matematických pojmů mimo lidské mysli, proto používá konstruktivní důkazy a ne ty, které tvoří prohlášení o existenci bez zadání stavby, což je důvod, proč teze vyloučené třetí strany se nepoužívá v intuitionist použitá formální logika . Zobecnění intuicionismu je konstruktivismus .

Konvencionalismus byl Henri Poincaré vyvinuta a částečně logických Empiricists ( Rudolf Carnap , A. J. Ayer , Carl Hempel vyvinuté).

Vycházejíc z pohledu matematika a současně z epistemologické kritiky Immanuela Kanta , vyvstává otázka kategorické konstituce lidské bytosti, ze které lze odvodit matematické disciplíny (srov. Ernst Kleinert ).

Otázky týkající se filozofie matematiky jsou také uvedeny v populární vědecké literatuře. Takže mimo jiné by John D. Barrow a Roger Penrose diskutovat, proč matematika je užitečná na prvním místě, a proto se hodí tak dobře ve světě.

Viz také

Individuální důkazy

  1. ^ Karl Marx / Friedrich Engels - funguje. (Karl) Dietz Verlag, Berlín. Svazek 20. Berlín / NDR. 1962. „Otřes pana Eugena Dlassunga ve vědě“, III. Klasifikace. Apriorismus
  2. ↑ mlwerke.de
  3. ↑ Srov. Na obranu čistého rozumu, racionalistický popis A Priori Odôvodnenie, 1998, ISBN 978-0-521-59236-9 a s přímým odkazem na filozofii matematiky, například Hartry Field: Nedávné debaty o A Priori ( Memento des Originals ze dne 3. září 2006 v internetovém archivu ) Info: Odkaz na archiv byl vložen automaticky a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte původní a archivační odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odeberte. (s další literaturou; PDF; 128 kB). @1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / as.nyu.edu
  4. ↑ Stewart Shapiro, „Thinking About Mathematics“, Oxford 2000, s. 263

literatura

Úvodní poznámky pro laiky
Odborná literatura
Více speciální
  • Hermann Weyl : Filozofie matematiky a přírodních věd , 6. vydání, Oldenbourg Verlag 1990 (English Princeton University Press 1949) (z příručky filozofie 1927).
  • Eugene Wigner : Bezdůvodná účinnost matematiky v přírodních vědách , in: Komunikace o čisté a aplikované matematice, sv. 13, č. I (1960), doi : 10,1002 / cpa.3160130102 .
  • Christian Thiel : Filozofie a matematika: úvod do jejich interakcí a do filozofie matematiky , Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1995
  • John R. Lucas : Koncepční kořeny matematiky . Routledge London / New York (2000). ISBN 0-415-20738-X .
  • Saunders Mac Lane : Matematika: Forma a funkce . Springer, New York (1986). ISBN 0-387-96217-4 .

webové odkazy