Matematická struktura

Matematická struktura je sada s určitými vlastnostmi. Tyto vlastnosti jsou výsledkem jednoho nebo více vztahů mezi prvky ( struktura první úrovně ) nebo podmnožinami množiny (struktura druhé úrovně). Tyto vztahy a tedy i struktura, kterou definují, mohou být velmi odlišných typů . Takový druh lze určit určitými axiomy, které musí definující vztahy splňovat. Nejdůležitějšími velkými typy, do kterých lze struktury zařadit, jsou algebraické struktury , relační struktury , zejména struktury řádu , a topologické struktury . Mnoho důležitých sad má dokonce více struktur , to znamená smíšené struktury z těchto základních struktur. Například číselné rozsahy mají algebraickou strukturu, pořadí a topologickou strukturu, které jsou vzájemně propojeny. Existují také geometrické struktury .

Algebraické struktury

Algebraická struktura, nebo (obecně) algebry pro krátké, je struktura (první stupeň), který je definován pouze jedním nebo více vazeb (jako funkce , odkazy jsou zvláštní vztahy).

Struktury s interním odkazem: skupiny a podobně

Hierarchická kompilace základních algebraických struktur

Základní algebraické struktury mají jedno nebo dvě dvouciferná vnitřní spojení . Taxonomie , to znamená, že zařazení těchto struktur, závisí na tom, které z následujících skupin axiomů v sadě se vztahují na odkaz : ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ circ}$

E. Existence a jedinečnost (také izolace ):${\ displaystyle \ forall a, b \ in M: a \ circle b \ v M.}$

A) Asociativní právo :${\ displaystyle \ forall a, b, c \ v M: (a \ circ b) \ circ c = a \ circ (b \ circ c).}$

(N) existence neutrálního prvku :${\ displaystyle \ existuje e \ v M: \ forall a \ in M: a \ circ e = e \ circ a = a.}$

(I) existence inverzního prvku :${\ displaystyle \ forall a \ v M: \ existuje a ^ {- 1} \ v M: a \ circ a ^ {- 1} = a ^ {- 1} \ circ a = e.}$

(K) Komutativní právo :${\ displaystyle \ forall a, b \ v M: a \ circ b = b \ circle a.}$

(Ip) Zákon o idempotenci :${\ displaystyle \ forall a \ v M: a \ circ a = a.}$

Následující struktury s dvouciferným vnitřním odkazem zobecňují nebo specializují základní představu o skupině:

Příjmení	Axiomy	popis
Groupoid (také magma)	E.	Sada s dvoumístným interním odkazem.
Poloviční skupina	EA	Grupoid s asociativním zákonem . Příklad: . ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$
Polo-sdružení	EAKIp	Poloskupina s komutativním zákonem a zákonem o idempotenci . Příklad:${\ displaystyle (\ mathbb {N}, {\ text {max}}).}$
Monoidní	EAN	Poloskupina s neutrálním prvkem . Příklad: s . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle (\ mathbb {N} _ {0}, +)}$${\ displaystyle e = 0}$
Smyčka s inverzní vlastností	ENI	Grupoid s neutrálním prvkem, ve kterém existuje (jedinečná) inverze pro každý prvek .
skupina	EANI	Současně monoid a kvazi-skupina. Skupiny byly zavedeny na počátku 19. století k popisu symetrií a ukázaly se jako zásadní pro celou strukturu algebry. Příklady číselných rozsahů, které tvoří skupinu: , . Příklady transformačních skupin, které popisují symetrie: bodové skupiny pro popis molekulárních symetrií , symetrické skupiny pro popis permutací , Lieovy skupiny pro popis spojitých symetrií. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace, \ cdot)}$
Abelian skupina	EANIK	Skupina s komutativním odkazem.

Struktury se dvěma vnitřními články: prsteny, těla a podobně

Následující struktury mají dvě propojení, obvykle psaná jako sčítání a násobení; Tyto konstrukce jsou z rozsahů rychlostí (jako je , , ) získávána který je obvykle považován. Slučitelnost multiplikativní s aditivní kombinace je zajištěna následujícími axiómy: ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

(Dl) Levý distributivní zákon : .${\ displaystyle \ forall a, b, c \ in M: a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c}$

(Dr) vpravo rozdělovací : .${\ displaystyle \ forall a, b, c \ in M: (a + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c}$

(D) rozdělovací : platí Dl a Dr .

Další axiomy, které platí pro obě připojení, jsou:

(U) Neutrální prvky týkající se sčítání a násobení a nejsou stejné.${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

(T) nula dělitel svobodou : Pokud element identity přísady uvedeného odkazu, pak to znamená, ze všech z které , nebo se použije.${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a \ cdot b = 0}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$

(I ^* ) Pro každý prvek, s výjimkou neutrálního prvku aditivního odkazu, existuje inverzní prvek, pokud jde o multiplikativní odkaz. Formální: .${\ displaystyle \ forall a \ in M ​​\ setminus \ lbrace 0 \ rbrace: \ existuje a ^ {- 1} \ v M: a \ cdot a ^ {- 1} = a ^ {- 1} \ cdot a = e }$

Příslušné platné axiomy jsou v následujícím pořadí označeny v pořadí (aditivní axiomy | multiplikativní axiomy | smíšené axiomy).

• Napůl ring : Axiómy ( EA | EA | D ) dvě pologrupy

• Dioid : axiomy ( EAN | EAN | D ) dva monoidy

• Fastring : Axioms ( EANI | EA | Dr ): Aditive group, a multiplicative semigroup and the right distributive law.

• (Vlevo) kvazi-těla : Axiomy ( EANIK | ENI | DlU ): Aditivní abelianská skupina, multiplikativní smyčka.

• Ring : Axioms ( EANIK | EA | D ): Aditive Abelian group, a multiplicative semigroup.

• Komutativní prsten : Axiomy ( EANIK | EAK | D ): prsten s komutativním násobením.

• Kroužek s jedním nebo jednotným kroužkem: Axiomy ( EANIK | EAN | D ): Kroužek s neutrálním prvkem násobení.

• Prsten s nulovým dělitelem : Axiomy ( EANIK | EA | DT ): Prsten, ve kterém vyplývá, že nebo .${\ displaystyle a \ cdot b = 0}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$

• Doména integrity : Axiomy ( EANIK | EANK | DTU ): Komutativní, unitární, kruh nulového dělitele s .${\ displaystyle 1 \ neq 0}$

• Half-body : Axioms ( EA | EANI ^* | D ) Half- ring with a multiplicative group on the set (without which, if there is ).${\ displaystyle 0}$

• Alternativní pole : Axiomy ( EANIK | ENI ^* | DTU ): Unitární, nulové dělitele a s multiplikativní inverzí, s výjimkou prvku . Místo asociativního práva existuje alternativa násobení.${\ displaystyle 1 \ neq 0}$${\ displaystyle 0}$

• ( Pravé ) rychlé tělo : axiomy ( EANI (k) | EANI ^* | DrTU ) rychlé vyzvánění s multiplikativní skupinou na množině bez . Přidání každého rychlého těla je komutativní.${\ displaystyle 0}$

• Šikmé tělo : Axiomy ( EANIK | EANI ^* | DTU ): Jednotný kruh bez nulového dělitele sa s multiplikativní inverzí, s výjimkou prvku .${\ displaystyle 1 \ neq 0}$${\ displaystyle 0}$

• Pole : Axiomy ( EANIK | EANI ^* K | DTU ): Komutativní pole zkosení, doména integrity s multiplikativní inverzí, s výjimkou prvku . Každé tělo je také vektorovým prostorem (se sebou samým jako základní skalární tělo). Pokud je v těle definována norma nebo skalární součin, tělo tím získá topologické vlastnosti normalizovaného prostoru nebo vnitřního prostoru produktu. Viz. níže. Příklady: číslo rozsahy , a .${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Důležité podmnožiny jsou:

• Ideály, s. Ideální (matematika) .

Struktury se dvěma vnitřními odkazy: svazy, množinové algebry a podobně

Mřížka je algebraická struktura, dvě vnitřní spojení, které v obecném případě nelze chápat jako sčítání a násobení:

(V) Zákony o spojování (nazývané také Zákony absorpce): a .${\ displaystyle a \ cap (a \ cup b) = a}$${\ displaystyle a \ cup (a \ cap b) = a}$

S tímto axiomem dostaneme jako struktury:

• Sdružení : Axiomy ( EAK (týkající se ) | EAK (týkající se ) | V ).${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$
• Distribuční asociace : Axiomy ( EAK (týkající se ) | EAK (týkající se ) | V, D ).${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$

V distribuční unii je třeba požadovat pouze jeden ze dvou zákonů o sloučení; druhá vyplývá z distribučního práva.

Boolean algebra je sdružení, ve kterém každý dva odkazy má neutrální prvek, a , a ve kterém každý Prvek a to s ohledem na odkazy na odpovídající doplněk má ${\ displaystyle a \ cup 0 = a}$${\ displaystyle a \ cap 1 = a}$

(C) Existence doplňku: pro každý existuje jeden, pro který platí a .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ lnot a}$${\ displaystyle a \ cup \ lnot a = 1}$${\ displaystyle a \ cap \ lnot a = 0}$

Všimněte si, že doplněk není inverzní prvek, protože poskytuje neutrální prvek druhého odkazu.

• Booleova algebra : axiomy ( EAKN (re ) | EAKN (re ) | V, D, C ).${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$
• Set algebra : Booleova algebra, jejíž prvky jsou množiny, jmenovitě podmnožiny základní množiny , s operátory množiny a jako odkazy, s nulovým prvkem a jedním prvkem .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ cup}$${\ displaystyle \ cap}$${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle X}$
• σ-algebra : uzavřená množinová algebra s ohledem na spočítatelné nekonečné spojení.
• Měřicí prostor a měřicí prostor jsou speciální σ-algebry.
• Borel algebra přeměňuje topologický prostor na měrný prostor : je to nejmenší σ-algebra, která obsahuje danou topologii.

• Divalentní booleovská algebra : pouze prvky a .${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

Struktury s vnitřním a vnějším spojením: vektorové prostory a podobně

Tyto struktury se skládají z aditivně psaného magmatu (obvykle abelianské skupiny) a rychlostního rozsahu (struktura se dvěma vnitřními vlákny, obvykle tělem) , jejichž skupinová akce na levé násobení nebo pravé násobení zapsaná (při pohledu z) je vnější konstruovaný odkaz . Prvky se nazývají skaláry , vnější spojení tedy také skalární násobení . Splňuje následující axiomy kompatibility (v notaci pro multiplikaci vlevo): ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ ast \ tlustého střeva K \ krát V \ až V}$${\ displaystyle \ ast \ tračník V \ krát K \ do V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$

(AL) asociativní právo: pro ze a ze skutečnosti .${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle (a \ cdot b) \ ast v = a \ ast (b \ ast v)}$

(DL) distribuční zákony: platí ven a ven a .${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle a \ ast (v + w) = a \ ast v + a \ ast w}$${\ displaystyle (a + b) \ ast v = a \ ast v + b \ ast v}$

To nám dává následující struktury v notaci ( | | Axiomy kompatibility): ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$

• Levý modul : (Abelianova skupina | Prsten | AL, DL ).
• Pravý modul : (Abelianova skupina | Prsten | AR, DR ) se skalárním množením zprava namísto zleva.
• Modul : (Abelianova skupina | komutativní kruh | ALR, DLR ) s vyměnitelným levým nebo pravým násobením.
• Levý vektorový prostor : (Abelianova skupina | šikmé tělo | AL, DL ).
• Pravý vektorový prostor: (Abelianova skupina | šikmé tělo | AR, DR ) se skalárním množením zprava namísto zleva.
• Vektorový prostor : (Abelianova skupina | tělo | ALR, DLR ) s vyměnitelným levým nebo pravým násobením.

Další algebraická struktura ve vektorových prostorech

Vztahy mezi matematickými prostory

• K-Algebra : algebra nad polem (také zastaralé: Lineární algebra (struktura)): vektorový prostor s dalším bilineárním spojením .${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ dvojtečka V \ krát V \ rightarrow V}$

• Lie algebra : vektorový prostor s Lieovou závorkou , jako další anti-symetrický bilineární odkaz .${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ dvojtečka V \ krát V \ rightarrow V}$

• asociativní algebra : vektorový prostor s bilineární asociativní vazbou .${\ displaystyle V \ times V \ rightarrow V}$

Vnitřní propojení skalárního součinu a normy zavedené v následujícím textu pomáhají vektorovému prostoru (může to být zejména také těleso, které je třeba chápat jako vektorový prostor) k topologické struktuře.

• Bilinear prostor je téměř vnitřní prostor výrobku (viz níže) - kromě toho, že interiér produkt nemusí být pozitivně definitní. Důležitým příkladem je Minkowského prostor speciální relativity.

• Skalární součin prostor: vektorový prostor se skalárním součinem (pozitivně definované bilineární forma podle do nebo sesquilinear forma podle ) . Euclidean prostor je speciální interiér produkt prostor .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ dvojtečka V \ krát V \ rightarrow K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• unitární prostor : vnitřní produktový prostor nahoře , jehož skalární produkt je hermitovská forma.${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• normalizovaný prostor : vektorový prostor s normou .${\ displaystyle \ | \ cdot \ | \ dvojtečka V \ pravá šipka K}$

• lokálně konvexní plocha : vektorový prostor se systémem z polovičních norem . Každý normalizovaný prostor je lokálně konvexní prostor s .${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {\ | \ cdot \ | \}}$

Specializace vektorových prostorů se zvyšuje směrem dolů a doprava. Vektorový prostor v tabulce níže má vlastnosti výše, protože skalární součin indukuje normu a norma indukuje vzdálenost . ${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ | = {\ sqrt {\ left \ langle v, v \ right \ rangle}}}$${\ displaystyle d (v, w) = \ vlevo \ | vw \ vpravo \ |}$

Organizační struktury

Struktura objednávky je struktura (první úroveň), která je vybavena relací objednávky , tj. to znamená, že se jedná o relační strukturu nebo zkrátka relativní .

• Kvazi-řád : reflexivní a tranzitivní . Příklad: Pro vypnuto , pokud (viz absolutní částka ) platí .${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a ~ R ~ b}$${\ displaystyle | a | \ leq | b |}$

• Částečné pořadí (částečné pořadí, částečné pořadí. Varování: někdy se jednoduše nazývá pořadí ): reflexivní, antisymetrické a tranzitivní. Příklady: Vztah podmnožiny v napájecí sadě ; vztah „po jednotlivých složkách menší nebo stejný“ ve vektorovém prostoru .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• přísný polořad: irreflexivní a tranzitivní. Příklady: Vztah „skutečná podmnožina“ v napájecí sadě ; vztah „složkově menší nebo rovný, ale ne rovný“ ve vektorovém prostoru .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• celková objednávka (lineární objednávka): celková dílčí objednávka. Příklad: „Menší nebo rovno“ zapnuto .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• přísné celkové pořadí : celkové, irreflexivní a přechodné. Příklad: „Menší“ zapnuto .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• řádně podložená objednávka : částečné pořadí, ve kterém má každá neprázdná podmnožina minimální prvek. Příklad: Vztah „stejný nebo člen“ v sadě množin.

• Pořadí : celkové pořadí, ve kterém má každá neprázdná podmnožina minimální prvek. Příklad: „Menší“ zapnuto .${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Topologické struktury

Geometrický koncept vzdálenosti ( metrický ) umožňuje použít základní koncept moderní analýzy , konvergence , v metrických prostorech . Topologické prostory vznikly ze snahy o konvergenci v obecném smyslu (každý metrický prostor je topologický prostor s topologií vyvolanou metrikou). Různé topologické prostory, mohou být se svými možnými lokálními strukturami klasifikovány , udržovat jejich strukturu přidělením určitých podmnožin jako otevřené nebo ekvivalentní k úplnému (strukturuje druhou fázi).

Geometrické struktury

Geometrická struktura je vyjádřena prostřednictvím vlastností, jako je shoda čísel. Jejich klasifikace podle platných axiomů (srovnej články Geometry , Euclidean Geometry , Euclid's Elements ):

• Projektivní geometrie
• Afinní geometrie
• Absolutní geometrie : Jakákoli geometrie, ve které platí první čtyři z pěti euklidovských postulátů (přesněji: Hilbertovy axiomy s výjimkou axiomu rovnoběžek).
• Euklidovská geometrie : Absolutní geometrie, ve které platí paralelní postulát . Nebo také: Geometrie, ve které platí všechny Hilbertovy axiomy.
• Neeuklidovská geometrie : Absolutní geometrie, ve které neplatí paralelní postulát . Nebo také: Geometrie, ve které platí Hilbertovy axiomy skupin I, II, III a V, stejně jako negace axiomu rovnoběžek.

Jejich klasifikace podle transformačních skupin, pod kterými zůstávají určité geometrické vlastnosti neměnné ( Felix Klein , program Erlanger ):

• Projektivní geometrie , invarianty: bod, přímka.
• Afinní geometrie , další invarianty: paralelismus, částečný poměr, poměr ploch.
• Geometrie podobnosti , další invarianty: poměr vzdálenosti, úhel.
• Geometrie kongruence , další invariant: délka segmentu.

Číselné rozsahy

Rozsahy čísel jsou částky, které se obvykle očekávají. Základem je množina přirozených čísel. Sčítání a násobení slouží jako algebraické spojení. Vyžadováním toho, aby vždy bylo možné odečítání a dělení inverzních operací, se rozšíří množina přirozených čísel na množinu celých čísel a na množinu všech zlomků. Skutečná čísla jsou uvedena jako mezní hodnoty pro číselné řady; umožňují (mimo jiné) extrakci druhé odmocniny libovolných kladných čísel. Kořeny záporných čísel vedou ke komplexním číslům.

• Sada přirozených čísel se používá pro počítání a je na samém začátku axiomatické struktury matematiky. Pod nulu by se to v být zahrnuty, ale opak konvence je také obyčejný. a jsou komutativní poloskupiny . Stejně jako u všech ostatních číselných rozsahů je sčítání a násobení distribuční .${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ cdot)}$

• Sada celých čísel je vytvořena konstrukcí nuly jako neutrálního prvku a záporných čísel jako inverzní funkce sčítání. je Abelianova skupina s neutrálním prvkem a je komutativním monoidem s neutrálním prvkem . je komutativní prsten s jedním.${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ cdot)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$

• Sada kladných zlomků se získá konstrukcí zlomků jako inverzní k násobení. je tedy skupina a je semigroup (obě komutativní).${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} ^ {+}, \ cdot)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} ^ {+}, +)}$

• Sada zlomků nebo racionálních čísel je vytvořena přidáním neutrálního prvku a inverze vzhledem k přidání nebo přidáním inverze vzhledem k násobení. a jsou abelianské skupiny, sčítání a množení jsou distribuční . je tělo .${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q}, +)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}, \ cdot)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

• Sada reálných čísel je výsledkem topologického dokončení : skutečné číslo je třída ekvivalence racionálních Cauchyových sekvencí . je tělo .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Množina komplexních čísel se skládá z dvojice reálných čísel , které jsou v souladu s obvyklými pravidly aritmetické při zápisu . V každé algebraické rovnici je řešitelný. je tělo .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a + bi}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• Kvaterniony , Cayleyova čísla a také rozšířené rozsahy čísel již nejsou komutativní, pokud jde o násobení.

Důležité jsou také některé omezené rozsahy čísel:

• Zbytek třída kroužek je omezení z celých čísel k sadě . Všechny aritmetické operace se provádějí modulo . je prsten ; pokud je prvočíslo , a to i pole . V programovacích jazycích na úrovni stroje jsou celá čísla bez znaménka reprezentována jako zbytkové kroužky třídy, například s nebo .${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, m-1 \}}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m = 2 ^ {16}}$${\ displaystyle m = 2 ^ {32}}$

literatura

• Nicolas Bourbaki : Architektura matematiky I . In: Fyzické listy . páska 17 , č. 4 , 1961, str. 161-166 , doi : 10,1002 / phbl.19610170403 . Architektura matematiky II . In: Fyzické listy . páska   17 , č. 5 , 1961, str. 212–218 , doi : 10,1002 / phbl.19610170503 (francouzsky: Les grands courants de la pensée mathématique . Marseille 1948. Překlad Karl Strubecker, Helga Wünsch). 
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: matematika dtv atlas . 11. vydání. páska 1 : Základy, algebra a geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, Mnichov 1998, ISBN 3-423-03007-0 , s. 36-37 . 

Individuální důkazy

1. ↑ Nicolas Bourbaki : Architektura matematiky I. S. 165 f.
2. ^ Nicolas Bourbaki : Architektura matematiky II. P. 212-214.
3. ^ Nicolas Bourbaki : Architektura matematiky II. S. 215.
4. ↑ úzce souvisí s konceptem relační struktury je to, že na grafu v grafu-teoretické smyslu. Sada podpěr se nazývá sada uzlů, místo relace zaujímá sada hran. Pokud není uvedeno jinak, grafy jsou konečné.