Teorie kategorií
Teorie kategorie nebo kategorické algebra je odvětví matematiky , začátek 1940 let nejprve jako součást topologie byly vyvinuty; Saunders MacLane nazývá svou „Obecnou teorii přirozených ekvivalencí“ ( Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945), kterou napsal ve spolupráci se Samuelem Eilenbergem v roce 1945, jako první výslovně kategoricky teoretickou práci. Základní pojmy této teorie jsou kategorie , funktor a přirozená transformace . Za účelem vyjasnění druhého termínu byly původně zavedeny první dva.
Teorii kategorií lze stejně jako univerzální algebru chápat jako obecnou teorii matematických struktur (klasickými strukturami jsou např. Skupiny , prstence , moduly a topologické prostory ). Vlastnosti matematických struktur nejsou definovány prostřednictvím vztahů mezi prvky nosné množiny (s), ale spíše pomocí morfismů a funktorů, jako by, prostřednictvím srovnání jak uvnitř, tak mezi kategoriemi.
důležitost
Tento typ abstrakce vede nejen k objasnění základních mezioborových pojmů, ale také umožňuje přenos úspěšných metod a konceptů speciální matematické teorie do jiných oblastí a tříd objektů.
Ilustrativní příklad poskytuje historie homologické algebry , jejíž metody byly zpočátku omezeny na abelianské skupiny , poté zobecněny na moduly přes prsteny a nakonec, jako teorie abelianských kategorií , přeneseny na abelianské snopy .
Teorie kategorií je relevantní i pro základní otázky. Teorie kategorie tak formuje Topoi a extrahuje kategorii množství důležitých vlastností množin čistě teoreticky šipkou (tj. Je třeba formulovat morfismy ), což je alternativa k axiomatické množině - teoretická konstrukce matematiky. Kromě teorie kategorie hraje roli v logice , teoretická informatika ( sémantika z programovacích jazyků , teorii domény , graf gramatiky ) a matematické fyziky ( topologické kvantové teorie pole ).
Kvůli vysoké úrovni abstrakce je teorie kategorií někdy označována jako obecný nesmysl , dokonce i matematiky, kteří ji vyvinuli .
Definice
kategorie
Kategorie se skládá z následujících:
- Class of objektů .
- Třída takzvaných šípů nebo morfismů . Morfizmus je členem třídy pro každou dvojici objektů jsou (s , , nebo je uvedeno). Tyto třídy jsou párově disjunktní ; H. žádný morfismus , také psaný, není prvkem jiné třídy morfismů. je zdrojem morfismu a je také označován jako (z anglické domény ), cíl s (z společné domény ).
- Propojte obrázky
- které jsou ve zjevném smyslu asociativní:
- za předpokladu a .
- (Občas vynecháno a jak bylo napsáno.)
- morfismus identity pro každý objekt , který je neutrálním prvkem pro spojení s morfismem se zdrojem nebo cílem , d. H. platí, jestli je a jestli . Místo toho se také používá formulář .
Třída všech morfismů se také označuje jako nebo (z anglické šipky , francouzské flèche , německé šipky ).
Podkategorie
Podkategorie kategorie je kategorie tak, že podtřída je a je podmnožina na dva objekty a v Morfizmus sadě . Pokud Morfizmus sety jsou stejné jako je plný podkategorii. Celá podkategorie je již určena určením objektů.
Duální kategorie
Dvojí kategorie pro určitou kategorii je kategorie s a
- .
Vazební mapy a morfismy identity jsou stejné jako v . Jasně řečeno, všechny šipky směřují opačným směrem. Kategorie je stejná .
Kategorie produktů
Kategorii výrobků do dvou kategorií a je kategorie, jejímž předmětem jsou přesně páry s a a jehož morphisms jsou dány
- .
Propojení morfismů se provádí po jednotlivých komponentách, tj. H. a je .
Funktor
(Kovariantní) functor je strukturálně kompatibilní mapování mezi kategoriemi. Funktor z kategorie do kategorie se skládá z následujících údajů:
- úkol
- Ilustrace pro každý dva objekty , od .
Mapování mezi sadami morfismu musí mít následující vlastnosti:
- Jsou kompatibilní s klávesovými zkratkami; H. .
- Získáte Identitätsmorphismen: .
Kontravariantní funktor (nebo cofunctor ) od do je functor . Výše uvedený popis je ekvivalentní tomuto, s následujícími rozdíly:
- Obrazy morfistických sad přecházejí od do .
- Kompatibilita s klávesovými zkratkami je .
Funktor z kategorie do sebe se nazývá endofunctor .
Pokud jsou kategorie a stejně tak ko- nebo kontravariantní funktory, pak je zřetězení (také psané) formalizováno
pro objekty a morfismy je funktor . je kovariantní právě tehdy, když a oba jsou spolu- nebo oba jsou v rozporu, jinak jsou v rozporu.
Přirozená transformace
Přirozené transformace jsou druhem mapování mezi „paralelními“ funktory. Předpokládáme funktory a že oba jdou ze stejné kategorie do stejné kategorie . Přírodní transformace z do obsahuje morfizmus pro každý objekt z , tzv součást na . Následující diagram musí dojíždět pro každý morfismus mezi objekty :
Jako vzorce, to znamená: .
Samozřejmě , dva funktory a od do jsou ekvivalentní, pokud existují přirozené transformace a takové, které jsou identitou. Jinými slovy: Přírodní ekvivalence je koncept izomorfismu v kategorii funktorů . Přirozená transformace je přirozená ekvivalence tehdy a jen tehdy, když je každá složka izomorfismem, proto se jí také říká přirozený izomorfismus .
Ekvivalence kategorií : Funktoru se říká rovnocennost kategorií, pokud existuje takový funktor , který je samozřejmě ekvivalentní identitě nebo . Lze ukázat, že ekvivalence kategorií jsou přesně věrnými , v podstatě surjektivními funktory.
Příklady
Kategorie
Poznámka: Názvy zvláštních kategorií jsou v literatuře extrémně nekonzistentní. Popis kategorie je často uveden v kulatých nebo složených závorkách, např. B. (Skupiny) nebo podtrženo.
- Kategorie Set , Ens nebo Me (z anglického setu , francouzského ansámblu , německého množství ) je kategorie veličin . Kategorie se skládá z třídy, která obsahuje všechny sady, a sada morfismů obsahuje přesně mapování od do , tj. Spojením mezi dvěma morfismy je zřetězení mapování.
- PoSet nebo Pos se nazývá kategorie polořadových množin (objektů) a monotónních mapování (morfismů).
- Začátek popisuje kategorii topologických prostorů (objektů) a spojitých mapování (morfismů). Zajímavý sub-kategorie, například full KHaus sub-kategorie na kompaktních Hausdorffových pokojů .
- kategorie Skup nebo Gr z na skupiny s homomorfizmy skupiny jako morphisms; další plně podkategorie AbGrp z na Abelian skupin , což je velmi důsledně jen Ab .
- kategorie NLinSp normalizovaných lineárních prostorů s kontinuálním (= omezeným) lineárním mapováním. Podkategorie jsou např. B. Banachovy prostory s kontinuálním lineárním mapováním ( BanSp 1 ), Banachovy prostory s kontinuálními normami redukujícími mapami ( BanSp 2 ) nebo komutativní komplexní Banachovy algebry s jednotou a homomorfismy algebry redukující normály ( CBanAlg ).
- Kategorie malých kategorií Kočka nebo Kat : Kategorie se nazývá malá, pokud je třída jejích morfismů hodně. Kočičí předměty jsou malé kategorie a morfismy jsou funktory. (Omezení na malé kategorie je nutné z důvodů teorie množin .)
- Sada s částečným pořadím určuje kategorii: objekty jsou prvky sady a mají právě jeden prvek (např. Uspořádaný pár ) if , a jinak jsou prázdné.
- Pokud je toto prázdné, výsledkem bude kategorie bez jakýchkoli objektů nebo morfismů. Je označen a nazývá se počáteční nebo prázdná kategorie. Pojmenování vychází ze skutečnosti, že původní objekt je v kat .
- Pokud na druhé straně existuje jeden prvek, výsledkem je kategorie, která se skládá právě z jednoho objektu a jeho morfismu identity. Říká se tomu konečná nebo koncová kategorie, která je motivována skutečností, že konečný objekt je v kat .
- Jsou a kategorie, takže můžete vidět formu funktoru : objekty jsou funktory po , morfismy jsou přirozené transformace.
- Je kategorie, a předmětem , kategorie objektů na definována takto: objekty jsou morphisms v s cíli a morphisms jsou morphisms z nichž se „ Strukturmorphismen “, aby být kompatibilní, tzn. H. jsou , a dva předměty , takže jsou Morfismy po v v morphisms z k , pro které platí.
- Naopak, nechť * je pevný jednobodový topologický prostor. Pak kategorie topologické prostor pod * isomorphic do kategorie Top * části se tečkovaných topologických prostorů .
Většina výše zmíněných příkladů má takovou povahu (nebo je lze snadno přizpůsobit), že objekty jsou sady společně s další strukturou, morfismy jsou obrazy kompatibilní s touto strukturou a spojením morfismů je postupné provádění snímky. V tomto případě se mluví o konkrétní kategorii . Avšak ne každá kategorie je betonová nebo dokonce ekvivalentní konkrétní kategorii (tj. Může být betonová ). Například nelze zadat následující (bez důkazu):
- Kategorie homotopy HoTop nebo hTop s topologickými prostory jako objekty a třídami homotopy spojitých mapování jako morfismy.
- Kategorie malých kategorií, ale s třídami přirozené ekvivalence funktorů jako morfismem.
Funktory
Přiřazení objektů pro funktory se obvykle dá pouze tehdy, pokud z něj lze snadno vidět mapování na morfistické množiny.
- Pro objekt kategorie je přiřazení
- (kovarianční) funktor . Funktor
- je v rozporu. Viz také Hom funktor .
- Je tělo a kategorie vektorových prostorů přes se - lineárních map je morphisms. Nechť je to nyní kontravariantní funktor
- definováno takto:
- U objektu je duální prostor na
- Pro lineární mapování je
- Je snadné to zkontrolovat a použít.
- : přiřadí svou skupinu jednotek k jednotnému kruhu . Obecněji :: přiřadí skupinu invertibilních matic prstenu .
- Základní skupina je functor , z kategorie tečkovaných topologických prostorů (dále tečkování označuje referenční bod) do kategorie skupin; vyšší homotopické skupiny jsou funktory ; že homologie skupiny jsou funktory ; že kohomologie skupiny jsou kontravariantní funktory .
- Zapomeňte na funktory : Existují zjevné funktory , , atd., Prostě „zapomněli“ část struktury abelian skupinou, která je základní částka skupina abelian sám (ale bez informací, že je abelian), topologický prostor Přiřadit základní množství atd.
- " Volné " konstrukce, zde zdarma Abelianova skupina : Ke každé sadě lze přiřadit Abelianovu skupinu (s bodovým přidáním). Spolu se zřejmými zobrazení, a to , v functor z k výsledkům . Pak existuje kanonický izomorfismus , kde je funkce zapomenutí. Říká se, že (vlevo) adjunkt funktor je uzavřen . Podobné konstrukty existují pro mnoho zapomnětlivých funktorů.
- Funktory mezi kategoriemi, které jsou určeny polořadovými množinami (viz výše), jsou přesně monotónní zobrazení .
Přirozené transformace
- Označení jsou jako v příkladu funktoru „dual space“ výše. Ilustrace
- vektorového prostoru do jeho duálního prostoru tvoří přirozenou transformaci
- V celé podkategorii konečných trojrozměrných vektorových prostorů existuje přirozená ekvivalence.
- : Pro kroužek , skupina homomorphism je determinant .
- Hurewicz postava
- Produkt poháru v cohomologii .
- Abelization z na skupiny
Yoneda lemma a univerzální konstrukce
Univerzální konstrukce přenášejí jednoduché výrazy z kategorie veličin do jakékoli kategorie.
Yoneda lemma
Je to kategorie. Funktor
funktor objektu
přidělí je zcela věrný . Obecněji platí pro objekty od a od :
- ;
je přiřazena přirozená transformace (poznámka ).
Přenos struktury
Lemma Yoneda umožňuje přenos výrazů známých z kategorie množin do jakékoli kategorie. Například produkt objektů lze definovat jako objekt, pro který je kartézským součinem objekt , tj.
platí; zde znamená přirozenou rovnocennost funktorů v . Tato ekvivalence také poskytuje morfismy jako ekvivalent . Yoneda lemma pak ukazuje, že kromě kanonického izomorfismu je jednoznačně určeno: jsou a via jsou přirozeně ekvivalentní funktory, takže a via jsou izomorfní.
Tento kategorický produkt je „univerzální“ v tomto smyslu: kdykoli někdo dal obrázky , pocházejí z univerzálních obrázků , tj. Existuje obrázek , takže to platí.
Kromě toho lze pro každou takto získanou konstrukci vytvořit duální konstrukci (obvykle označenou předponou „Ko“) přesunem do duální kategorie. Například vedlejší produkt objektů v jedné kategorii je stejný jako produkt stejných objektů v duální kategorii .
V souladu s tím, vlastnosti sady mapování mohou být také převedeny na kategorií: například morfizmus je monomorfizmus , je-li objekt-moudrý injective.
Speciální univerzální konstrukce nebo termíny
- Produkt a vedlejší produkt
- Počáteční objekty a koncové objekty
- Rozdíl jádro a rozdíl koks
- Vláknový produkt a vytlačování
- obecné limity nebo kolimity
- injektivní a projektivní objekty
- adjunkční funktory
- 2 kategorie
Viz také
literatura
Úvod:
- FW Lawvere , Stephen Schanuel : Konceptuální matematika. První úvod do kategorií. Cambridge 1997, ISBN 0-521-47817-0 .
- Steve Awodey: Teorie kategorie. Clarendon Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-856861-4 .
- Michael Arbib , Ernest G. Mánes: Šipky, struktury a funktory. Kategorický imperativ. Academic Press, 1975.
- Martin Brandenburg: Úvod do teorie kategorií . S podrobným vysvětlením a mnoha příklady. Springer Spectrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1 , doi : 10,1007 / 978-3-662-47068-8 .
- Hartmut Ehrig, Michael Pfender a studenti matematiky a informatiky: kategorie a automaty. Walter de Gruyter, Berlín / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8 . (Kapitoly 1, 3 a 5 knihy poskytují ucelený úvod do obecné teorie kategorií a kapitoly 2, 4 a 6 rozvíjejí teorii automatů pomocí kategorických metod.)
- Samson Abramsky , Nikos Tzevelekos: Úvod do kategorií a kategorické logiky.
Klasické učebnice:
- J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker: Abstrakt a konkrétní kategorie. Radost z koček. John Wiley, 1990.
- Horst Herrlich, George E. Strecker: Teorie kategorie: Úvod. Boston 1973.
- Saunders MacLane : Kategorie: Konceptuální jazyk a matematická teorie. Berlin 1972, ISBN 3-540-05634-3 .
- Saunders MacLane: Kategorie pro pracujícího matematika. 2. vydání. Springer, 1998, ISBN 0-387-98403-8 .
- Bodo Pareigis : Kategorie a funktory . BG Teubner, Stuttgart 1969.
- Horst Schubert : Kategorie I / II. Springer, 1970.
Referenční práce:
- Francis Borceux: Příručka kategorické algebry. 3 obj. (1: Základní teorie kategorií; 2: Kategorie a struktury; 3: Kategorie snopů). - Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1 , ISBN 0-521-44179-X , ISBN 0-521-44180-3 .
Antologie:
- W. Gähler, G. Preuss: Kategorické struktury a jejich aplikace. World Scientific, 2004, ISBN 981-256-053-X .
webové odkazy
- Záznam v Edward N. Zalta (ed.): Stanfordská encyklopedie filozofie .
- Článek o recenzi PlanetMath (anglicky)
- „Jemný úvod“ do teorie kategorií, který funguje pouze s příklady z algoritmů (anglicky; 80 s; PDF)
- nLab , Wiki s mnoha položkami o teorii kategorií a vztahu k jiným oborům
- J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker: Abstrakt a konkrétní kategorie. Radost z koček. Online vydání 2004 (PDF; 4,4 MB)
- Teorie a aplikace kategorií , časopis
- Kategorie , moderovaný seznam teoretiků kategorií o teorii kategorií
Individuální důkazy
- ^ Serge Lang : Algebra . Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X , str. 759 .
- ^ Theodor Bröcker : Lineární algebra a analytická geometrie . Springer, 2004, ISBN 3-0348-8962-3 , str. 212 .
- ↑ Bodo Pareigis: Kategorie a funktory . Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 3-663-12190-9 , str. 8 , doi : 10.1007 / 978-3-663-12190-9 .