Sierpiński pokoj

Sierpinski prostor je topologický prostor , skládající se ze dvou bodů, ve kterých je otevřen přesně hodně a nejsou uzavřeny ve stejné době. Je to nejmenší místnost s diskrétní a netriviální topologií.

definice

Množina bodů, na nichž je založen Sierpińského prostor, je ; jeho otevřené sady jsou a . ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle \ {\ bot, \ top \}}$ ${\ displaystyle \ emptyset, \ {\ top \}}$ ${\ displaystyle \ {\ bot, \ top \}}$

Vztah k jiným topologickým prostorům

Pokud je libovolnou sadou dvouprvková sada, pak každá funkce odpovídá podmnožině a naopak. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle 2: = \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {A} \ dvojtečka M \ až 2}$ ${\ displaystyle A \ subseteq M}$

V případě spojitých funkcí a otevřených podmnožin se předpokládá příliš analogická role . Nechť je jakýkoli topologický prostor. Pro spojitou funkci jsou podle definice pro spojité funkce archetypy otevřených množin otevřené. a . Poskytuje zajímavý výsledek . Jedná se zejména o otevřenou podmnožinu a je jednoznačně určena spojitostí . ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ chi \ dvojtečka M \ až \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {- 1} (\ {\ bot, \ top \}) = M}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {- 1} (\ emptyset) = \ emptyset}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {- 1} (\ {\ nahoru \})}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ chi}$

Sierpinski prostor je cogenerator v kategorii z Kolmogorovův pokojů : jsou spojité mapy mezi dvěma Kolmogorovská pokojích a s , pak existuje spojité zobrazení , takže : Ať je to s , takže alespoň prostřednictvím otevřeného prostoru o oddělené, nebo vice versa (as je Kolmogorovova místnost). Pak přináší požadované . Ve skutečnosti cogenerators této kategorie Kolmogorov vesmíru jsou všechny prostory Kolmogorovovy které obsahují podprostoru, který je homeomorphic se . ${\ displaystyle f, g \ dvojtečka A \ až B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle f \ neq g}$ ${\ displaystyle d \ dvojtečka B \ až \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle df \ neq dg}$ ${\ displaystyle x \ v A}$ ${\ displaystyle f (x) \ neq g (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle g (x)}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ chi _ {U}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$