Problém náhorní plošiny

V matematice je problém plošina je najít na minimální plochu , která má danou křivku jako hrany . Je pojmenována po Josephovi Plateauovi , který experimentálně určoval tvary mýdlových kůží v drátěných regálech. Problém byl poprvé matematicky formulován v roce 1760 Josephem-Louisem Lagrangeem . Patří do pole variačního počtu .

V obecnějším smyslu se tím rozumí celý komplex problémů, které mají následující podobu: najde se prvek z dané množiny „povrchů“, které splňují určité okrajové podmínky a které danou „povrchovou“ funkci minimalizují nebo kritickým bodem je tato funkce. Řešení by navíc měla splňovat určité podmínky pravidelnosti. Od svého vzniku v 19. století způsobil problém s náhorní plošinou příliš mnoho výzkumných prací a nového vývoje v matematice a ve svých různých zobecněních také představuje otevřené problémy, například s minimálními oblastmi . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f \ tračník E \ to \ mathbb {R}}$

řešení problému

Postupem času byly vyřešeny různé speciální formy problému, například Schwarz v roce 1865. V roce 1928 René Garnier vyřešil problém s náhorní plošinou řešením Riemannova-Hilbertova problému pro polygonální hranové křivky. Aproximační proces poté vyřeší problém plató pro spojité hraniční křivky. Avšak až na počátku 30. let byli Jesse Douglas a Tibor Radó nezávisle na sobě schopni dokázat existenci řešení problému pomocí přímých metod variačního počtu (srov. Jako příklad řešení princip Dirichlet ). Douglas (který za řešení obdržel první Fieldsovu medaili ) původně vyřešil pouze problém pro povrchy v trojrozměrném euklidovském prostoru (s Jordanovou křivkou jako hranou), které topologicky odpovídají disku (rod 0). Douglas a Richard Courant zobecnili řešení jakéhokoli topologického pohlaví a několika nesouvislých křivek jako hranice. Zatímco Douglas a Rado minimalizovali jakýsi druh energetické funkce, Herbert Federer a Wendell Fleming přišli v roce 1960 s řešením založeným na teorii geometrických dimenzí. V roce 1961 Ernst Robert Reifenberg poskytl řešení jakéhokoli pohlaví pomocí nových metod.

Charles Morrey uvažoval o zobecněném problému na plochách obecně Riemannovských variet. Frederick Almgren zkoumal variantu problému, ve kterém jsou hledané povrchy lépe přizpůsobeny fyzickým mýdlovým bublinám , následované mimo jiné Jeanem Taylorem a Jenny Harrisonovou .

Pravidelná řešení nemusí vždy existovat ve více než třech dimenzích a pro hyperplochy jiné než dimenze ( Ennio de Giorgi a další z roku 1961). V tomto případě se však singulární řešení objeví pouze v . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k \ geq n-1}$${\ displaystyle k \ geq n-1}$${\ displaystyle n \ geq 8}$

Parametrická formulace problému

Dejme si křivku Jordan se třemi pevně vybranými body. Těšíme se na obraz na konci otevřeného kruhového kotouče s vlastností s okrajem z The následující vlastnosti jsou potřebné pro obrázku : ${\ displaystyle \ Gamma \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ v \ Gamma.}$${\ displaystyle X \ colon {\ overline {B}} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle B = \ {(u, v) \ v B \ ,: \, u ^ {2} + v ^ {2} <1 \}}$${\ displaystyle X (\ částečné B) = \ gama}$${\ displaystyle \ částečné B = \ {(u, v) \ v \ mathbb {R} ^ {2} \ ,: \, u ^ {2} + v ^ {2} = 1 \}}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle X}$

• Harmonicita: v${\ displaystyle \ trojúhelník X (u, v) = 0}$${\ displaystyle B}$
• Shoda: stejně jako v${\ displaystyle | X_ {u} (u, v) | ^ {2} = | X_ {v} (u, v) | ^ {2}}$${\ displaystyle X_ {u} \ cdot X_ {v} = 0}$${\ displaystyle B}$
• Topologická okrajová podmínka: homeomorfismus zapnut${\ displaystyle X \ dvojtečka \ částečné B \ až \ gama}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$
• 3bodová podmínka: pro${\ displaystyle X (e ^ {2 \ pi ik / 3}) = X_ {k}}$${\ displaystyle k = 1,2,3.}$

Rozšířený problém ve vyšších dimenzích

Na druhou stranu se ukázalo , že rozšíření problému na vyšší dimenze, to znamená na k -rozměrné plochy v n -rozměrném prostoru, je mnohem obtížnější. Zejména řešení obecného problému nemusí být nutně pravidelná, ale může mít singularity . To platí vždy , ale také v případě hyperplochy , tj. Pokud . ${\ displaystyle k \ leq n-2}$${\ displaystyle k = n-1}$${\ displaystyle n \ geq 8}$

literatura

• Jenny Harrison , Harrison Pugh: Plateau's problem, in: John Forbes Nash jr., Michael Th. Rassias (eds.), Open problems in mathematics, Springer 2016, str. 273-302

Původní práce:

• Jesse Douglas : Řešení problému plošiny. In: Transakce americké matematické společnosti. 33, 1, 1931, ISSN  0002-9947 , str. 263-321, doi : 10,2307 / 1989472 .
• Tibor Radó : K problému Plateau. In: The Annals of Mathematics. 31, 3, 1930, ISSN  0003-486X , str. 457-469, doi : 10,2307 / 1968237 .

• AT Fomenko : Problém náhorní plošiny. Historical Survey , Gordon and Breach 1989
• Michael Struwe : Problém plošiny a variační počet , Princeton, NJ: Princeton University Press 1989

webové odkazy

• Eric W. Weisstein : Plateau's Problem . In: MathWorld (anglicky).
• Webová stránka Briana Whitea
• Springer Online Reference Works

Individuální důkazy

1. ^ Douglas Řešení problému Plateau , Transaction AMS, 33, 1941, 263-321
2. ↑ Rado Problém nejmenší plochy a problém Plateau , Mathematische Zeitschrift sv. 32, 1930, s. 763, Rado K problému Plateau , Springer Verlag 1933
3. ↑ zobrazeno v Courant Dirichletově principu konformního mapování a minimálních ploch , Interscience 1950
4. ↑ Federer, Fleming Normální a integrální proudy , Annals of Mathematics, 72, 1960, 458-520
5. ^ Reifenberg, Řešení plošinového problému pro m-rozměrné povrchy různého topologického typu, Acta Mathematica, 80, 1960, č. 2, 1-14
6. ^ Morrey Problém plošiny na Riemannově potrubí , Annals of Mathematics, sv. 49, 1948, s. 807