Ortodromy

Ortodromy na celém světě mezi Los Angeles a Londýnem

Nejkratší cestou na sférickém povrchu mezi body A a B je ortodrom.

Tyto Orthodrome ( řecké orthos pro „rovný“, Dromos na „útěku“) je nejkratší spojení mezi dvěma body na povrchu koule .

Ortodrom je geodetický pro speciální případ sférického povrchu. Ortodrom je vždy součástí velkého kruhu . V letectví se obvykle po těchto ortodromech létá, aby bylo možné překonat nejmenší letovou vzdálenost. Hovorově často používaná jiná synonyma je přímka .

výpočet

Vzorce ze sférické trigonometrie jsou základem pro následující výpočty .

Použité proměnné	důležitost
${\ displaystyle \, \ phi}$	Zeměpisná šířka
${\ displaystyle \, \ lambda}$	Zeměpisná délka
${\ displaystyle \, A (\ phi _ {A}, \ lambda _ {A})}$	Výchozí bod
${\ displaystyle \, B (\ phi _ {B}, \ lambda _ {B})}$	Konečný bod
${\ displaystyle \, P_ {N} (\ phi _ {N}, \ lambda _ {N})}$	Nejsevernější bod ortodromů
${\ displaystyle \, \ alpha}$	Úhel kurzu v A
${\ displaystyle \, \ beta}$	Úhel kurzu v B
${\ displaystyle \, \ zeta}$	Středový úhel (vzdálenost AB, vyjádřená jako úhel)

Směrem na západ je negativní, směrem na východ je pozitivní; je pozitivní pro zeměpisné šířky na severní polokouli a negativní pro jižní polokouli. ${\ displaystyle \, \ lambda}$${\ displaystyle \, \ phi}$

trasa

Vzdálenost může být zadána jako úhel následovně:

${\ displaystyle \, \ zeta = \ arccos \ left (\ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B}) + \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ cos (\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}) \ right)}$

Pro výpočet se vzdálenost mezi těmito dvěma body, musí se násobí v zemské poloměru (asi 6370 km) (pro v radiánech , je-li uveden ve stupních, je třeba také násobí °). ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ pi / 180}$

Úhel lze vypočítat pomocí skalárního součinu polohových vektorů a . Výše uvedený vzorec pak vyplývá z transformací pomocí vět o geometrických sčítáních pro sinus a kosinus. Alternativně vzorec může být odvozen použitím boční kosinové zákon o sférické trigonometrie do trojúhelníku z bodů a a severní pól. ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Úhly kurzu a právní kurzy

Úhel záhlaví

${\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {\ sin (\ phi _ {B}) - \ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ zeta)} {\ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ zeta)}} \ vpravo)}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {\ sin (\ phi _ {A}) - \ sin (\ phi _ {B}) \ cdot \ cos (\ zeta)} {\ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ sin (\ zeta)}} \ vpravo)}$

Tyto dva parametry, a může být také stanovena přímo z zeměpisné šířky a délky , nebo a , nebo : ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ phi _ {A}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle \ lambda _ {B}}$

${\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B})) - \ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ sin (\ phi _ {A})} {\ sqrt {1 - (\ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) + \ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B })) ^ {2}}}} \ vpravo)}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ phi _ {B}) \ cdot \ sin (\ phi _ {A}) - \ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda) _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B})} {\ sqrt {1 - (\ cos (\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ cdot \ cos (\ phi _ {B}) + \ sin (\ phi _ {A}) \ cdot \ sin (\ phi _ {B}) )) ^ {2}}}} \ vpravo)}$

právní kurzy A → B

${\ displaystyle \, rwK_ {A} = \ alfa}$

${\ displaystyle \, rwK_ {B} = 180 ^ {\ circ} - \ beta}$

právní kurzy B → A

${\ displaystyle \, rwK_ {B} = 360 ^ {\ circ} - \ beta}$

${\ displaystyle \, rwK_ {A} = 180 ^ {\ circ} + \ alpha}$

Nejsevernější bod

V gnomonické projekci jsou ortodromy vždy zobrazeny jako přímka

Výpočet nejsevernějšího bodu ortodromu pro výchozí bod A a počáteční úhel kurzu α:

${\ displaystyle \, \ phi _ {N} = \ arccos \ left (\ sin (| \ alpha _ {A} |) \ cdot \ cos (\ phi _ {A}) \ right)}$

${\ displaystyle \ lambda _ {N} = \ lambda _ {A} + \ operatorname {sgn} (\ alpha _ {A}) \ cdot \ left | \ arccos \ left ({\ frac {\ tan (\ phi _ {A})} {\ tan (\ phi _ {N})}} \ vpravo) \ vpravo |}$

Příklad výpočtu vzdálenosti Berlín - Tokio

Zeměpisné souřadnice počátečních a koncových bodů:

• Berlín
  • 52 ° 31 '0 "N = 52,517 °
  • 13 ° 24 '0 "E = 13,40 °
• Tokio
  • 35 ° 42 '0 "N = 35,70 °
  • 139 ° 46 '0 "E = 139,767 °

Výpočet úhlu

${\ displaystyle \, \ phi _ {A} = 52 {,} 517 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \, \ lambda _ {A} = 13 {,} 40 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \, \ phi _ {B} = 35 {,} 70 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \, \ lambda _ {B} = 139 {,} 767 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \, \ zeta & = \ arccos {\ Big (} \ sin (\ phi _ {A}) \ sin (\ phi _ {B}) + \ cos (\ phi _ { A}) \ cos (\ phi _ {B}) \ cos (\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}) {\ Big)} \\ & = \ arccos {\ Big (} \ sin (52 {,} 517 ^ {\ circ}) \ sin (35 {,} 70 ^ {\ circ}) + \ cos (52 {,} 517 ^ {\ circ}) \ cos (35 {,} 70 ^ {\ circ}) \ cos (139 {,} 767 ^ {\ circ} -13 {,} 40 ^ {\ circ}) {\ velký)} \\ & = \ arccos (0 {,} 79353 \ cdot 0 {, } 58354 + 0 {,} 60853 \ cdot 0 {,} 81208 \ cdot (-0 {,} 59296)) \\ & = \ arccos (0 {,} 1700) \\ & = 80 {,} 212 ^ { \ circ} \ end {zarovnáno}}}$

nebo v radiánech${\ displaystyle \, \ zeta = 1 {,} 400}$

Výpočet trasy

Pro zjednodušení předpokládáme glóbus s obvodem 40 000 km nebo poloměrem 6 370 km.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} L & = {\ frac {\ zeta} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 40 \, 000 \ \ mathrm {km} \\ & = {\ frac {80 { ,} 212 ^ {\ circ}} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 40 \, 000 \ \ mathrm {km} \\ & = 8912 \ \ mathrm {km} \ end {zarovnáno}}}$

Nebo pro v radiánech : ${\ displaystyle \, \ zeta}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} L & = \ zeta \ cdot 6370 \ \ mathrm {km} \\ & = 8918 \ \ mathrm {km} \ end {zarovnáno}}}$

Vzhledem k idealizovaným geoprostorovým datům jsou to samozřejmě pouze dvě aproximace. Liší se pouze o 6 km, protože zaoblený poloměr Země 6 370 km má za následek obvod zeměkoule téměř 40 024 km místo 40 000 km. Skutečná vzdálenost mezi dvěma uvedenými body v Berlíně a Tokiu, při použití WGS84 - odkaz elipsoid se vypočítávají na 8941.2 km přesněji, tedy s odchylkou asi 23 km nebo 0,26% ve srovnání s druhou aproximace.

Přesnější vzorec pro výpočet vzdálenosti na Zemi

Následující vzorce lze použít k výpočtu vzdálenosti mezi dvěma místy na Zemi s přesností na 50 metrů, viz také Thaddeus Vincenty . Není založen na kouli, ale na elipsoidu WGS84 . Pokud se použijí souřadnice jiného referenčního elipsoidu , je třeba upravit parametry (poloměr) a ( zploštění ). ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$

Dovolit a být zeměpisná šířka a délka polohy A a zeměpisná šířka a délka polohy B ve stupních. Vzdálenost mezi dvěma místy se vypočítá takto: ${\ displaystyle \ phi _ {A}}$${\ displaystyle \ lambda _ {A}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$${\ displaystyle \ lambda _ {B}}$

Zploštění země: ${\ displaystyle f = {\ frac {1} {298 {,} 257 \, 223 \, 563}}}$

Rovníkový poloměr Země: ${\ displaystyle a = 6378 {,} 137 \ \ mathrm {km}}$

${\ displaystyle F = {\ frac {\ phi _ {A} + \ phi _ {B}} {2}}}$` `${\ displaystyle G = {\ frac {\ phi _ {A} - \ phi _ {B}} {2}}}$${\ displaystyle l = {\ frac {\ lambda _ {A} - \ lambda _ {B}} {2}}}$

Nejprve se určí hrubá vzdálenost D:

${\ displaystyle S = (\ sin {G}) ^ {2} \ cdot (\ cos {l}) ^ {2} + (\ cos {F}) ^ {2} \ cdot (\ sin {l}) ^ {2}}$

${\ displaystyle C = (\ cos {G}) ^ {2} \ cdot (\ cos {l}) ^ {2} + (\ sin {F}) ^ {2} \ cdot (\ sin {l}) ^ {2}}$

${\ displaystyle w = \ arctan {\ sqrt {\ frac {S} {C}}}}$

${\ displaystyle D = 2 \ cdot w \ cdot a}$

Používá se v radiánech . ${\ displaystyle w}$

Vzdálenost je korigována faktory a : ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {S \ cdot C}} {w}}}$

${\ displaystyle H_ {1} = {\ frac {3 \ cdot T-1} {2 \ cdot C}}}$

${\ displaystyle H_ {2} = {\ frac {3 \ cdot T + 1} {2 \ cdot S}}}$

Vzdálenost v kilometrech se poté vypočítá takto: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle s = D \ cdot \ left (1 + f \ cdot H_ {1} \ cdot (\ sin {F}) ^ {2} \ cdot (\ cos {G}) ^ {2} -f \ cdot H_ {2} \ cdot (\ cos {F}) ^ {2} \ cdot (\ sin {G}) ^ {2} \ vpravo)}$

Příklad výpočtu Berlín - Tokio

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ phi _ {A} & = & 52 {,} 516666666666667 ^ {\ circ} \\\ lambda _ {A} & = & 13 {,} 400 ^ {\ circ} \\\ phi _ {B} & = & 35 {,} 700 ^ {\ circ} \\\ lambda _ {B} & = & 139 {,} 766666666666667 ^ {\ circ} \\\\ f & = & 0 {,} 00335281066474748 \\ a & = & 6378 {,} 137 \ \ mathrm {km} \\ F & = & 44 {,} 108333333333333 ^ {\ circ} \\ G & = & 8 {,} 408333333333333 ^ {\ circ} \\ l & = & - 63 {,} 183333333333333 ^ {\ circ} \\ S & = & 0 {,} 41498261872684 \\ C & = & 0 {,} 58501738127316 \\ w & = & 0 {,} 699965690768276 \\ D & = & 8928 {,} 9541420394 \ \ mathrm {km} \\ T & = & 0 {,} 70391883329502 \\ H_ {1} & = & 0 {,} 95019099899696 \\ H_ {2} & = & 3 {,} 74926124548527 \\\\ s & = & 8941 {,} 20250458698 \ \ mathrm {km} \ end {pole}}}$

Proto byla stanovena vzdálenost 8 941,2 km s přesností asi 50 m. ${\ displaystyle s}$

Loxodrom

Srovnání Loxodrome (červená) a ortodrom (modrá)

cesta	Lox.	Orth.	Rozdíl.
NY-MO	8359 km	7511 km	10,1%
NY-DA	6207 km	6150 km	00,9%
DA-MO	6596 km	6509 km	01,3%

Prodloužení loxodromu vzhledem k ortodromu podél 50. rovnoběžky v procentech.

Při navigaci z bodu A do B pomocí kompasu je Loxodrome vhodnější, protože vždy protíná meridiány pod stejným úhlem, takže můžete jednoduše udržovat nastavený kurz (kompasu).

Na krátké vzdálenosti je loxodrom jen o málo delší než ortodrom. Ve vysokých zeměpisných šířkách a ve vzdálenostech pod 30 stupňů zeměpisné délky je relativní délkový rozdíl menší než 1%. Pak se výrazně zvyšuje. Cesta po 50. rovnoběžce přes 180 stupňů zeměpisné délky je o 45% delší než cesta po velkém kruhu, který pak prochází přes tyč.

Viz také

• Geodetická čára (geodetická)
• Rozšíření

webové odkazy

• Výpočet vzdálenosti a otevírací ceny pro všechny sféroidy (anglicky)
• Great Circle Mapper - Great Circle Mapper včetně rozsahů ETOPS
• Výpočet vzdálenosti mezi dvěma místy na Zemi - na základě ideální koule o poloměru 6378,388 km.

prameny

Vzorec pro přesnější výpočet vzdálenosti:

• J. Meeus: Astronomické algoritmy. 2. vydání. Willmann-Bell, Richmond 2000, ISBN 0-943396-61-1 , s. 85.
• Loxodrom