Beeline

Věže kostela jsou vzdušnou čarou vzdáleny asi 17,5 km a jsou oddělené státní hranicí:
vpředu vpravo katolický kostel sv. Jakobusa ve Schutterwaldu (Německo), vzadu vlevo minster ve Štrasburku (Francie)

Nejkratší cestou na zemském povrchu mezi body A a B je ortodrom.

Přijata brzy ráno za jasného dne, Hoher Schneeberg v Českém Švýcarsku. Z umístění kamery v Drážďanech je to vzdušnou čarou přibližně 53 km. 33 m vysoká věž Schneeberg je také jasně rozeznatelná. V popředí je vidět Schuttberg Leuben (vlevo) a anténa na Cottaer Spitzberg (vpravo).

Vzhledem k tomu, vzdušnou čarou , kdo popisuje nejkratší vzdálenost mezi dvěma body v krajině přímým vzduchu v případě, že dva body jsou v zorném poli. V tomto případě je vzdušnou čarou vzdálenost (která může také překonat velké rozdíly v nadmořské výšce v terénu, například v horách). Je přímka přes překážku, např. Pokud je například přerušena budova nebo hora, odpovídá přímka vzdálenosti mezi dvěma body, pokud tam překážka nebyla.

Ve větších vzdálenostech úsečka nebere v úvahu konturu terénu - tj. Nadmořské výšky, údolí a výškové rozdíly - ale zahrnuje sférický tvar Země. V tomto případě probíhá linie „vodorovně“ a sleduje zakřivení Země; Z matematického hlediska odpovídá přímka zde oblouku kruhu, který leží na velké kružnici kolem středu Země (srovnej sférickou trigonometrii ). Když se takové trasy promítají na ploché mapy , obecně se již nevytvářejí přímé čáry , ale křivky , které však stále představují nejkratší vzdálenost mezi dvěma body. Například přímka mezi New Yorkem a Berlínem vede přes Skotsko. V geometrii a navigaci se hovoří přesněji o ortodromu místo o přímce.

Při plavbě se dává přednost loxodromu místo ortodromu: Loxodrom se vyznačuje tím, že úhel uložení k cíli se nemění.

Mapa výstupek , ve kterém velké kružnice (a tedy vzduchové vedení mezi dvěma body) jsou vždy znázorněny jako rovné čáry je gnómonická projekce .

Výpočet pro zeměkouli

Země lze považovat za dobré přiblížení jako koule. Pro zjednodušení lze předpokládat, že poloměr koule je jeden. Kartézské souřadnice se počítají ze zeměpisné šířky a zeměpisné délky bodu - s osou ve směru zemské osy - pomocí trigonometrických funkcí sinus a kosinus : ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle (x, y, z) = (\ cos (\ varphi) \ cdot \ sin (\ lambda), \ cos (\ varphi) \ cdot \ cos (\ lambda), \ sin (\ varphi))}$

Další bod na planetě má stejné souřadnice ${\ displaystyle P '}$

${\ displaystyle (x ', y', z ') = (\ cos (\ varphi') \ cdot \ sin (\ lambda '), \ cos (\ varphi') \ cdot \ cos (\ lambda '), \ sin (\ varphi '))}$

Nejprve lze euklidovskou vzdálenost mezi dvěma body v trojrozměrném prostoru vypočítat pomocí Pythagorovy věty ( nejedná se o přímku, ale o délku vzdálenosti, která vede skrz planetu):

${\ displaystyle d (P, P ') = {\ sqrt {(x-x') ^ {2} + (y-y ') ^ {2} + (z-z') ^ {2}}}}$

V každém bodě této přímky je kolmice, která je kolmá na zemský povrch (je zde bod ortodromu) a následně prochází středem Země. Všechny body takové kolmice mají stejné zeměpisné souřadnice , ale jiný poloměr (vzdálenost od středu Země). Pokud se jako poloměr použije poloměr Země, lze vypočítat zeměpisné souřadnice pro každý bod ortodromu. ${\ displaystyle R}$

Úhel otevření lze nyní vypočítat ze vzdálenosti a poloměru Země : ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ sin (\ omega / 2) = {\ frac {d / 2} {R}} \ qquad \ Rightarrow \ omega = 2 \ cdot \ arcsin \ left ({\ frac {d / 2} {R} } \ že jo)}$

Alternativně lze úhel otevření vypočítat pomocí skalárního součinu:

${\ displaystyle \ cos (\ omega) = {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}} {| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | }} = {\ frac {x * x '+ y * y' + z * z '} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} {\ sqrt { x '^ {2} + y' ^ {2} + z '^ {2}}}}}}$, což zjednodušuje rovnici.${\ displaystyle | {\ vec {a}} | = | {\ vec {b}} | = 1}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ omega = \ arccos \ left (x * x '+ y * y' + z * z '\ right)}$

Alternativně lze úhel otevření vypočítat také přímo z geografických souřadnic:

${\ Displaystyle \ cos (\ omega) = \ cos (\ varphi) \ cdot \ cos (\ varphi ') \ cdot \ cos (\ lambda - \ lambda') + \ sin (\ varphi) \ cdot \ sin (\ varphi ') \ qquad \ Rightarrow \ omega = \ arccos \, (\ dots)}$

Přímka, kterou hledáte, je délka oblouku a úhel otevření v radiánech vynásobený poloměrem Země: ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L = \ omega \ cdot R}$

Stejným způsobem lze vypočítat zdánlivou vzdálenost v radiánech mezi dvěma hvězdami s danou deklinací a pravým vzestupem .

webové odkazy

Wikislovník: beeline  - vysvětlení významů, původ slov, synonyma, překlady

• Interaktivní výpočet vzdálenosti přímky mezi dvěma místy s vizualizací oblouku velké kružnice na mapě:
  • luftlinie.org (Stephan Georg)
  • Vzdálenost (Martin Kompf)

Individuální důkazy

1. ↑ Vzdálenost New York → Berlín (luftlinie.org)
2. ↑ Definice v Duden
3. ↑ ^{a b} Výpočet vzdálenosti na Kompf.de