Modularita nastavena

Věta Modularita (dříve Taniyama-Shimura dohad ) je matematický teorém o eliptických křivek a modulárních tvarů . To bylo podezření Yutaka Taniyama a Goro Šimura v roce 1958 a dokázaly to Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond a Richard Taylor v roce 2001 poté, co Andrew Wiles již ukázal nejdůležitější (a nejtěžší) případ polostabilních křivek v roce 1995 . Věta a její důkaz jsou považovány za jeden z velkých matematických pokroků 20. století. Jedním z důsledků věty o modularitě je Fermatova velká věta . V dnešní době je věta o modularitě považována za speciální případ mnohem obecnějšího a důležitějšího Serreova domněnky o Galoisových reprezentacích . V návaznosti na práci Andrewa Wilesa to v roce 2006 prokázali Chandrashekhar Khare , Jean-Pierre Wintenberger a Mark Kisin .

Výrok o modularitě

Komplexně analytická verze

Buď

${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N): = \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in {\ text {Sl}} _ {2 } (\ mathbb {Z}) \ | \ c \ equiv 0 \ mod N \ vpravo \}}$

shoda podskupina do skupiny modulu . To také znamená úroveň přidruženého modulu. Tato skupina pracuje na horní polorovině prostřednictvím Möbiovy transformace . Kvocientový prostor je nekompaktní Riemannova plocha . Přidáním určitých bodů z (tzv. Píky) lze zhutnit a získat tak kompaktní Riemannovu plochu ( modulová křivka ). Komplex-analytická varianta modularita teorém říká, že pro každý eliptické křivky nad ( mřížce), se sdruženou hodnotou j-funkce , jeden a jeden nekonstantní holomorfní mapování Riemann povrchů ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle Y_ {0} (N): = \ Gamma _ {0} (N) \ zpětné lomítko {\ mathfrak {H}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ pohár \ {i \ infty \}}$${\ displaystyle Y_ {0} (N)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle E = \ mathbb {C} / \ Lambda}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle j (E) \ v \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle X_ {0} (N) \ rightarrow E}$

existuje. Číslo N se nazývá (modulární) vodítko E. Modulární křivka parametrizuje eliptickou křivku.

Eliptická křivka, pro kterou platí zde uvedený výrok, se nazývá modulární.

Komplexně analytická verze věty je velmi slabá a a priori nejde o číselně-teoretický výrok. Skutečná věta o modularitě dělá výroky pro eliptické křivky definované nad racionálními čísly a uvádí, že všechny eliptické křivky jsou přes modulární. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Verze řady L.

Následující verze domněnky dělá prohlášení o eliptických křivkách výše . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Nechť je eliptická křivka s řadou L (pro její definici viz domněnka Birch a Swinnerton-Dyer ). Pak existuje (vedoucí) a modulární forma s . Zde pochází řada Hecke-L (definice viz spojení mezi modulárními formami a řadou Dirichlet ). ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f \ v S_ {2} (N)}$${\ displaystyle L_ {f} (s) = L (E, s)}$${\ displaystyle L_ {f}}$${\ displaystyle f}$

Z teorie modulárních forem lze z toho snadno odvodit, že má analytické pokračování a funkční rovnici. To hraje důležitou roli v dobře definované povaze domněnky Birch a Swinnerton-Dyer . ${\ displaystyle L (E, s)}$

Algebraicko-geometrická verze

Z teorie Riemannův povrchů vyplývá, že modulovou křivku lze definovat jako výše uvedené schéma . Lze ukázat, že i schéma skončilo . Modularita věta nyní předpokládá se surjektivní morphism pro každý eliptické křivky${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle X_ {0} (N) \ rightarrow E}$

algebraických křivek nad a N . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Verze teorie reprezentace

Buďte modulární formou. Po hluboké vět podle Pierre Deligne , Jean-Pierre Serre a Robert Langlands , lze f dvourozměrné Galois reprezentace ${\ displaystyle f \ v S_ {k} (N)}$

${\ displaystyle \ rho _ {f, p}: {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) \ rightarrow {\ text {GL}} _ {2 } (\ mathbb {Q} _ {p})}$

přiřadit ( je algebraický závěr v ). Zde je absolutní Galois skupina na levé straně a obecné lineární skupiny dvourozměrného vektorový prostor přes oblasti s čísly p-adic na pravé straně . Podobně je možné přiřadit každou eliptickou křivku E prostřednictvím takové Galoisovy reprezentace . ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ rho _ {E, p}}$

V tomto případě věta o modularitě říká, že pro každou eliptickou křivku existuje E nad prvočíslem p a modulární forma pro N taková, že a jsou ekvivalentní. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f \ v S_ {2} (N)}$${\ displaystyle \ rho _ {E, p}}$${\ displaystyle \ rho _ {f, p}}$

Toto je verze osvědčená Wilesem.

Nástin spojení mezi Taniyama-Shimura a Fermatovými domněnkami

Fermatova poslední věta uvádí, že pro n větší než 2 neexistují žádná kladná celočíselná řešení rovnice . Od té doby, co francouzský matematik Pierre de Fermat v roce 1637 tvrdil, že našli důkazy pro toto tvrzení - ale aniž by je poskytli nebo nechali ve svých písemných záznamech - matematici hledali důkazy o tomto tvrzení. Hledání důkaz Fermat je poslední teorém má teorii čísel dominuje po více než dvě století a důležitých prvků, jako je teorie ideálů v Ernst Kummer , byly navrženy tak, aby dokázal tezi. ${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = c ^ {n}}$

Saarbrückenský matematik Gerhard Frey vytvořil v roce 1986 domněnku o souvislosti mezi Fermatovou poslední větou a domněnkou Taniyama-Shimura: Pokud se předpokládá, že Fermatova poslední věta je špatná a že ve skutečnosti existuje řešení rovnice , pak eliptická křivka pravděpodobně není modulární. Jean-Pierre Serre to dokázal až na zbytek, epsilonskou domněnku, kterou dokázal Ken Ribet v roce 1990, a tak ukázal, že tato takzvaná Freyova křivka (kterou Yves Hellegouarch již dříve zvažoval) ve skutečnosti není modulární (použil tzv. nazývá se „metoda snižování úrovně“, kde „úroveň“ označuje úroveň uvažovaných modulů). ${\ displaystyle a ^ {p} + b ^ {p} = c ^ {p}}$${\ displaystyle y ^ {2} = x (xa ^ {p}) (x + b ^ {p})}$

Jinými slovy, pokud je Fermatova poslední věta špatná, pak je také domněnka Taniyama-Shimura; na druhou stranu, pokud je domněnka Taniyama-Shimura správná, musí být správná také Fermatova poslední věta. Postačí ukázat, že domněnka Taniyama-Shimura platí pro polostabilní eliptické křivky nad racionálními čísly. Se semistabilní eliptickou křivkou nad racionálními čísly existují pouze špatná polostabilní redukce typu. Špatná redukce modulo p znamená, že křivka definovaná přes konečné pole celých čísel mod p (redukce mod p) se stane singulární. Pokud je singularita dvojtečka a ne špička , hovoří se o polostabilním typu. V tomto případě v rovnici pro eliptickou křivku s kubickým polynomem se třemi různými kořeny se maximálně dvě nuly shodují s redukčním modem p. Dobrá redukce znamená, že všechny tři nuly se liší v redukčním režimu p. Eliptická křivka je polostabilní, pokud má pouze dobré redukce nebo pokud jsou špatné redukce polostabilní. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E_ {p}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle y ^ {2} = f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Protože Freyova křivka je polostabilní, důkaz Fermatovy poslední věty vyplývá z verze věty o modularitě, kterou prokázal Wiles.

Význam pro matematiku

Věta Taniyama-Shimura je příkladem sjednocení matematiky; Jedná se o navázání spojení mezi oblastmi matematiky, které byly dříve považovány za zcela odlišné, což umožňuje matematikům převést problémy, které nelze vyřešit v jedné oblasti, na ekvivalentní problém v jiné oblasti a v případě potřeby je tam řešit. V tomto případě se standardizace odehrává prostřednictvím teorie modulárních forem , které také v programu Langlands objasnily jejich mimořádný význam pro teorii čísel.

Originální dílo

Následující tři publikace obsahují důkaz věty o modularitě:

• Andrew Wiles : Modulární eliptické křivky a poslední Fermatova věta (PDF; 10,7 MB). Annals of Mathematics 141: 443-551 (1995)
• Richard Taylor , Andrew Wiles : Kruhové teoretické vlastnosti určitých Heckových algeber . Annals of Mathematics 141: 553-572 (1995).
• Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: O modularitě eliptických křivek nad Q : Divoká 3-adická cvičení (PDF; 1,1 MB) , Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), str. 843–939 (Obsahuje důkaz věty o modularitě.)

V následující publikaci je Fermatova poslední věta redukována na větu o modularitě:

• Ribet, KA Od dohady Taniyama-Shimura k Fermatově poslední větě . Annales de la faculté des sciences de Toulouse, 5. série, 11.1 (1990), str. 116-139

literatura

• Gary Cornell, Joseph H. Silverman , Glenn Stevens (Eds.): Modulární formy a Fermatova poslední věta , Springer, 1997
• Fred Diamond , Jerry Shurman: První kurz v modulárních formách (= Graduate Texts in Mathematics 228). Opravený 3. tisk. Springer, New York NY 2007, ISBN 978-0-387-23229-4 . (Kapitola 9: Reprezentace Galois)
• Gerd Faltings : Důkaz Fermatovy poslední věty R. Taylora a A. Wilesa, Notices American Mathematical Society, 1995, č. 7, PDF

Populární věda:

• Simon Singh : Fermatova poslední věta. Dobrodružný příběh matematické hádanky (= dtv 33052). 14. vydání. Deutscher Taschenbuch-Verlag, Mnichov 2010, ISBN 978-3-423-33052-7 .
• Simon Singh, Kenneth Ribet : Řešení Fermatovy hádanky. Ve spektru vědy. 1, 98, ISSN  0170-2971 , s. 96 a násl.