Harmonické dělení

Harmonické rozdělení: definice

V geometrii označuje harmonické dělení speciální poziční vztah čtyř bodů na přímce. Takže čtyři body leží harmonicky, pokud je čára rozdělena dvěma body uvnitř a vně (viz obrázek) takovým způsobem, že vztah pro řezy ${\ displaystyle A, B, S, T}$ ${\ displaystyle [AB]}$${\ displaystyle S, T}$

• ${\ displaystyle | AS |: | SB | = | AT |: | TB |}$ je spokojen.

Pravá strana se nikdy nemůže stát 1. Takže centrem z moštu nikdy být. Je napravo od , pak je napravo od . Je nalevo od , pak je nalevo od . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A, B}$
${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$
${\ displaystyle S}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$

Výše uvedená rovnice a předpoklad, že čára dělí vnitřek a vnějšek, znamenají, že dva parciální poměry mají stejnou částku a dvojnásobný poměr se rovná -1. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle (A, B; S)}$${\ displaystyle (A, B; T)}$ ${\ displaystyle (A, B; S, T)}$

Protože výše uvedená rovnice je také taková

${\ displaystyle | AS |: | AT | = | SB |: | TB |}$

pojďme psát, body také harmonicky rozdělují trasu . Harmonické rozdělení popisuje symetrický vztah mezi dvojicemi bodů na přímce. ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle [S, T]}$

Výkresové stanovení dílčích bodů

S paprskovými větami

Harmonické dělení: konstrukce s větami paprsků

Pokud je uveden segment a dílčí bod , lze najít čtvrtý harmonický bod (přesněji čtvrtý bod, který společně s těmito 3 body vede k harmonickému rozdělení) pomocí sad paprsků podle sousedního výkresu: ${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T}$

1. Bod je zvolen libovolně, přímky a jsou rovnoběžné.${\ displaystyle C}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle BD}$
2. Bod je výsledkem spojení s daným dílčím bodem .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle S}$
3. ${\ displaystyle D}$bude převedeno po . Trasy a jsou stejné délky.${\ displaystyle D '}$${\ displaystyle | BD |}$${\ displaystyle | BD '|}$
4. Dílčí bod je výsledkem průsečíku přímky s přímkou .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle CD '}$${\ displaystyle AB}$

Pokud je uveden dílčí bod , postupuje se stejným způsobem v opačném pořadí. ${\ displaystyle T}$

Pokud je uveden dílčí poměr , musíte zvolit bod tak, aby byl splněn. pak vznikne jako průsečík přímky s . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle | AC |: | DB | = \ lambda}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle CD}$${\ displaystyle AB}$

S půlící částí trojúhelníku

Harmonické dělení: Konstrukce s půlící částí trojúhelníku

V případě , že body nejsou rovnoramenný trojúhelník, vnitřní a vnější bisectors řez dva body od přímky tak, že body rozdělují linii harmonicky v poměru na přilehlých stran trojúhelníku (viz obrázek). Důkaz používá teorém o kruhu Apollonios . Všimněte si, že to musí být, s. výše. ${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle S, T}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle S, T}$${\ displaystyle [A, B]}$${\ displaystyle b: a}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle a \ neq b}$

Další grafické metody pro určení 4. harmonického bodu naleznete zde .

Matematické určení dílčích bodů

Matematicky délka trasy , je-li uvedena a částečný bod , vyplývá ze vzorce: ${\ displaystyle [AT]}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle S}$

• ${\ displaystyle | AT | = {\ frac {| AS || AB |} {2 | AS | - | AB |}}}$pokud je jmenovatel ( napravo od )${\ displaystyle> 0}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle | AT | = - {\ frac {| AS || AB |} {2 | AS | - | AB |}}}$pokud je jmenovatel ( nalevo od )${\ displaystyle <0}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$

Pokud někdo zavede na přímku souřadnicemi takovým způsobem, je výsledkem jednotný vzorec ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A = 0, B = 1, S = s, T = t}$

• ${\ displaystyle t = {\ frac {s} {2s-1}}.}$

Příklady harmonických čísel:

${\ displaystyle {\ text {1)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {3} {4}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} {\ tfrac {3} {2}}} \, \ quad {\ text {2)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {2} { 3}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} 2} \, \ quad {\ text {3)}} \ {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {3} {5}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} 3} \, \ quad {\ text {4)}} \ {\ color {red} - { \ tfrac {1} {2}}}, {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {1} {4}}}, {\ color {blue} 1}}$

Vztah k harmonickému průměru dvou čísel

Poslední rovnici lze přeformulovat takto:

• ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {1} {s}} + {\ frac {1} {t}} \ vpravo) = 1}$

To znamená , že harmonický průměr dvou souřadnic se rovná 1. ${\ displaystyle s, t}$

zobecnění

• Čtyři body afinní nebo projektivní přímky přes tělo na charakteristické lži harmonicky v případě, že dvojitý poměr je.${\ displaystyle A, B, S, T}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ neq 2}$ ${\ displaystyle (A, B; S, T) = - 1}$

Výrazy jako mezi, uvnitř, vně, délky, vzdálenosti , které jsou typické pro uspořádané tělo s metrikou, nejsou pro tuto definici vyžadovány. Harmonická poloha je definována také pro afinní / projektivní přímku přes komplexní čísla nebo konečné pole.

Výše uvedená koordinace ( ) je také možná v afinním případě nad jakýmkoli orgánem, takže vztah nadále platí. ${\ displaystyle A = 0, B = 1, S = s, T = t}$${\ displaystyle t = {\ tfrac {s} {2s-1}} \}$

Pokud jeden ukončí afinní přímku projektivně se symbolem a vypočítá "obvyklým" způsobem, vzorec mezi a čtyřmi body je harmonický, také v tomto případě . H. . ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle s, t}$${\ displaystyle {\ color {blue} 0}, {\ color {red} {\ tfrac {1} {2}}}, {\ color {blue} 1}, {\ color {red} \ infty}}$${\ displaystyle ({\ color {blue} 0}, {\ color {blue} 1}; {\ color {red} {\ tfrac {1} {2}}}, {\ color {red} \ infty}) = -1}$

Harmonické dvojice bodů: dvojitý poměr = -1

Důležitost harmonické polohy čtyř kolineárních bodů spočívá v tom, že vždy existuje involutivní projektivní mapování přímky, která ponechá dva (ze čtyř bodů) pevné a vymění si další dva. Na výše uvedeném obrázku lineární mapování, které ponechává pevné a mapuje na, vytváří takovou involuci. V nehomogenních souřadnicích to způsobuje: (zrcadlení v nulovém bodě). To znamená: jsou pevné a jsou vyměněny. ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle - {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ infty \ to \ infty, x \ to -x}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle S, T}$

Obecné pravidlo je:

• Čtvrtý harmonický bod tří afinních bodů, přičemž jeden je středem zbývající dvojice bodů, je vždy vzdáleným bodem (viz konstrukce čtvrtého harmonického bodu).${\ displaystyle \ infty}$

A:

• Harmonická poloha čtyř bodů projektivní přímky je analogií středu afinního termínu dvou bodů .

Další harmonické páry bodů:

Pro , je dvojnásobný poměr . ${\ displaystyle A = \ langle {\ vec {u}} \ rangle, \ B = \ langle {\ vec {v}} \ rangle, \ S (s) = \ langle s {\ vec {u}} + { \ vec {v}} \ rangle, \ T (s) = \ langle s {\ vec {u}} - {\ vec {v}} \ rangle \, s \ neq 0}$${\ displaystyle (A, B; S (s), T (s)) = - 1}$

Platí následující:

• Z takto: . To znamená, že harmonická poloha závisí pouze na dvou párech bodů a ne na jejich uspořádání.${\ displaystyle (A, B; S, T) = - 1}$${\ displaystyle (A, B; T, S) = (B, A; S, T) = (S, T; A, B) = - 1}$

Konstrukce 4. harmonického bodu

Konstrukce 4. harmonického bodu

Konstrukce 4. harmonického bodu: je vzdálený bod${\ displaystyle P_ {1}}$

Afinní varianta konstrukce 4. harmonického bodu: Konstrukce středu M z A, B. (A, B, T jsou uvedeny)

Pokud jsou na přímce projektivní roviny tři body, může být čtvrtý harmonický bod sestaven následovně: ${\ displaystyle A, B, S}$${\ displaystyle (A, B; S, T) = - 1}$

1. Ještě ne vyzvednout bodu .${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle g}$
2. Nakreslete rovné čáry .${\ displaystyle AP_ {1}, BP_ {1}, SP_ {1}}$
3. Vyberte bod na přímce .${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle SP_ {1}}$
4. Přímka protíná přímku v bodě . Přímka protíná přímku v bodě .${\ displaystyle BP_ {2}}$${\ displaystyle AP_ {1}}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ displaystyle AP_ {2}}$${\ displaystyle BP_ {1}}$${\ displaystyle P_ {4}}$
5. Přímka se protíná ve čtvrtém harmonickém bodě .${\ displaystyle P_ {3} P_ {4}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle T}$

Poznámka: Konstrukce probíhá v projektivní rovině, tj. Každé dvě přímky se protínají.

Komentář:

1. Pokud je daleko bod vybrán jako bod, a ne na dlouhé řadě, jsou linie paralelní v rovině výkresu (afinní části) (viz obrázek).${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle A, B, S}$${\ displaystyle AP_ {3}, SP_ {2}, BP_ {4}}$
2. Pokud chcete sestrojit jako čtvrtý harmonický bod , zvolíte volně, na přímce a sestrojíte . je pak průsečík přímky s .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A, B, T}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ displaystyle P_ {4}}$${\ displaystyle P_ {3} T}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ displaystyle g}$
3. Pokud jsou dány vzdálené body, výsledkem je afinní konstrukce středu dvou bodů zobrazená na obrázku . ( tvoří rovnoběžník!)${\ displaystyle A, B, T}$${\ displaystyle P_ {1}, T}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A, B, P_ {3}, P_ {4}}$

Důkaz nezávislosti výstavby čtvrtou harmonickou bodu od výběru pomocných bodů výsledků v první afinní varianty z ray věty nebo jednodušeji ve druhém afinní varianty (Konstrukce středového bodu), v tom, že 1) úhlopříčky půlí v paralelogramu a že 2) v případě paralelní projekce se střed čáry spojí se středem obrazové čáry. To je nezávislé na výběru bodů . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle P_ {3}, P_ {4}}$

Konstrukce 4. harmonického bodu pomocí kruhu

Konstrukce 4. harmonického bodu: s kruhem

Další afinní varianta konstrukce 4. harmonického bodu používá kruh (kompas) a olovnici (nastavený čtverec ):
Nechte tři afinní kolineární body zadat takovým způsobem, který leží zpočátku mezi nimi . Najděte 4. harmonický bod (venku). ${\ displaystyle A, B, S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle T}$

1. Nakreslit kružnici od jeho centra a střed bodů je.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A, B}$
2. Nastavte olovnici a ořízněte ji kruhem . Buďte křižovatkou .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle Q}$
3. Vytvořte tečnu ke kružnici v bodě . ( ).${\ displaystyle t}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t \ perp MQ}$
4. ${\ displaystyle t}$protíná g ve 4. harmonickém bodě .${\ displaystyle T}$

Pokud se přiblíží jeden z bodů , tak také . Je , tak je a vzdálený bod přímky . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S = M}$${\ displaystyle t \ paralelní g}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle g}$

Důkaz je dán podobnosti trojúhelníků . (Všimněte si, že stačí prokázat rovnici . Dvojitý poměr je pak automaticky −1, protože leží uvnitř a vně čáry !) Rovnice vyplývá z podobnosti: ${\ displaystyle MSQ, MQT}$${\ displaystyle | AS || TB | = | SB || AT |}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle [A, B]}$

• ${\ displaystyle | MS || MT | = r ^ {2}}$, kde r je poloměr kruhu.

Tato rovnice a návrhové pravidlo (viz obrázek) se objeví také při zrcadlení kruhu . (Odraz na jednotkové kružnici je popsán komplexními čísly pomocí .) Když je odraz na kružnici (viz obrázek), body jsou vyměněny a jsou pevnými body (každý bod kružnice zůstává pevný!). ${\ displaystyle z \ to {\ tfrac {1} {\ overline {z}}}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S, T}$${\ displaystyle A, B}$

Pokud bod neleží mezi body , použijte Thalesovu kružnici k vytvoření styčného bodu tečny až ke kružnici . Kolmo od do poskytuje 4. harmonický bod . (Na obrázku stačí vyměnit a .) ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$

Zde popsaná metoda pro konstrukci 4. harmonického bodu je afinním zvláštním případem následujícího tvrzení:

• Pokud přímka protíná non-degenerovaný projektivní kuželosečky ve dvou bodech a je jiný bod přímky , potom se spojené 4. harmonické bod průsečíku polární až (vzhledem k ) .${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A, B, S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle g}$

Viz také

• Kruh Apollonios
• Zlatý řez

webové odkazy

• Interaktivní konstrukce pro harmonické dělení (s dynamickou geometrií )

literatura

• D. Herrmann: Starověká matematika. Springer Spectrum, 2014, ISBN 978-3-642-37611-5 , s. 369.

Individuální důkazy

1. ^ Peter Breitfeld: Geometrie. ( Memento na originálu z 12. května 2013 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. Scénář, Störck-Gymnasium, Bad Saulgau 2012 @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / docs.sfz-bw.de