Newtonův gravitační zákon

Ekvivalentní přitažlivé síly dvou hmot

Na Newtonův gravitační zákon je fyzikální zákon o klasické fyziky , podle nichž každá zem bodu ke každému jinému bodu hmoty s atraktivním gravitační síla působí. Tato gravitační síla je směrována podél čáry spojující dva hmotné body a její síla je úměrná součinu obou hmot a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. V případě prodloužených těles platí tento zákon pro každý hmotný bod jednoho tělesa ve vztahu ke každému hmotnému bodu druhého tělesa, jednotlivé síly se sčítají do celkové síly.

Newtonův gravitační zákon je jedním ze základních zákonů klasické fyziky. Byl založen Isaacem Newtonem v jeho práci z roku 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Díky tomu Newton uspěl v rámci klasické mechaniky, kterou současně založil, první společné vysvětlení gravitační síly na Zemi, oběžné dráhy Měsíce kolem Země a planetárního pohybu kolem Slunce. Newtonova gravitační teorie s velkou přesností vysvětluje tyto a další gravitačně související jevy, jako jsou příliv a odliv na Zemi a orbitální poruchy Měsíce a planet. Zbývající nesrovnalosti byly vyjasněny až na začátku 20. století obecnou teorií relativity vyvinutou Albertem Einsteinem .

příběh

Ilustrace kvadratického poklesu gravitace se vzdáleností podle Martina Wagenscheina ( Měsíc a jeho pohyb )

Newtonova první, intenzivnější okupace s fyzickým popisem planetárních drah a rolí gravitace, která se odehrála v jeho annus mirabilis 1665/66, částečně obsahovala koncept kvadraticky klesající gravitační síly. Newton to však neodůvodnil nebo vycházel ze špatných předpokladů, zejména ještě ne z myšlenky univerzálního (tj. Mimozemského) účinku gravitace.

Od roku 1678 dále Newton ve spolupráci s Hookem a Flamsteedem intenzivně pracoval na mechanice, zejména na Keplerových zákonech. Při výměně dopisů s Newtonem Hooke zmínil svoji teorii planetárního pohybu, ve které se hovořilo o přitažlivosti, která se vzdáleností klesá; v Newtonově odpovědi předpokládal konstantní gravitaci. Tato korespondence byla výchozím bodem pro Hookovo pozdější obvinění z plagiátorství Newtonovi. Newton připustil, že ho Hooke vedl správnou cestou: jak myšlenka, že orbitální elipsa vychází z gravitační síly, která klesá (se čtvercem vzdálenosti od ohniska), pochází z Hooke, stejně jako myšlenka, že tento koncept platí také pro planetární pohyby. Hookeův návrh na snížení gravitace však byl založen na intuici a ne - jako u Newtona - na pozorování a logické dedukci.

Newton publikoval své předběžné výsledky v roce 1684 pod názvem De Motu Corporum. Na základě toho položil v roce 1687 základy klasické mechaniky ve svém trojdílném díle Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Matematické základy přírodní filozofie) . V něm Newton formuloval Newtonovy tři zákony pohybu a zákon gravitace, druhý, nikoli však ve formě stručné, jak je uvedeno v úvodu tohoto článku, ale distribuován v průběhu několika sekcí. Podrobně odůvodnil zákony pomocí geometrické formy nekonečně malého počtu, který vytvořil poprvé . Třetí část práce s názvem O systému světa se zabývá aplikací nových zákonů na skutečné pohyby nebeských těles, přičemž Newton srovnává své výpočty s velkým počtem naměřených dat od jiných přírodovědců a tímto způsobem dokazuje správnost jeho teoretických odvozenin.

Henry Cavendish jako první uspěl v roce 1797 v experimentu s citlivou rotační váhou, který experimentálně změřil vzájemnou přitažlivost dvou těles známé hmotnosti, jak vyplývá z Newtonova gravitačního zákona. Měřicí zařízení je podobné torzní rovnováze, se kterou Charles Augustin de Coulomb zkoumal elektrostatickou přitažlivost a odpuzování v roce 1785; původně ji navrhl geolog John Michell . Aby dokázal gravitaci, musel Cavendish vyloučit vliv nejmenších poruch, například experiment provozoval z jiné místnosti a odečítal pomocí dalekohledu.

V explicitní podobě používané dnes gravitační zákon nezformuloval sám Newton, ale až v roce 1873, tj. O 200 let později, Alfred Cornu a Jean-Baptist Baille . Do té doby byl Newtonův gravitační zákon používán pouze v původní podobě; H. ve formě proporcionalit a bez definice „gravitační konstanty“. ${\ Displaystyle F \ propto m_ {1} \, \ F \ propto m_ {2} \, \ F \ propto r ^ {- 2}}$

Newtonův gravitační zákon umožnil vypočítat polohy planet mnohem přesněji než dříve. Pozice vypočtené podle Ptolomea nebo Koperníka se často odchýlily (což odpovídá 1/3 průměru měsíce) od pozorování, která podle Keplerových zákonů vypočítala až o . Na druhou stranu, pomocí Newtonovy nebeské mechaniky bylo možné tyto odchylky , známé jako orbitální poruchy , připsat přitažlivosti ostatních planet. V případě Uranu byl dokonce učiněn závěr, že zde byla dříve neznámá planeta Neptun , jejíž přibližnou polohu nejprve vypočítal Urbain Le Verrier z přesných hodnot orbitální poruchy. Krátce nato Johann Gottfried Galle objevil novou planetu ve vzdálenosti pouze jednoho stupně oblouku od předpovědi. Později objevený perihelion oběžné dráhy Merkuru však bylo možné stejnou metodou vysvětlit pouze asi na 90%. Pro úplné vysvětlení byla nejprve vyvinuta obecná teorie relativity . Tato mnohem obsáhlejší teorie obsahuje Newtonův gravitační zákon jako omezující případ, který platí pouze pro dostatečně malé hmotnostní hustoty a rychlosti. ${\ displaystyle 10 ^ {\ prime}}$${\ displaystyle 1 ^ {\ prime}}$

Matematická formulace

Hromadné body

Množství síly mezi dvěma hmotných bodů a ve vzdálenosti je ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Velikost je gravitační konstanta . Síly působící na tyto dvě hmoty mají stejné množství a každý bod směřuje do druhého hmotného bodu (viz obrázek). Na rozdíl od matematicky podobného Coulombova zákona Newtonův gravitační zákon popisuje vždy přitažlivou sílu. ${\ displaystyle G}$

Vektorový

Ve vektorové podobě platí pro sílu působící na hmotnostní bod 1 ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {3}}} {\ vec {r}} _ {12} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {| {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1} | ^ {3}}} ({\ vec { r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1})}$,

kde a jsou pozice ( vektory polohy ) dvou hmotných bodů.${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$ukazuje na hmotnostní bod 1 a je opačným vektorem k :${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$.

Pokud je hmotnostní bod 1 přitahován několika hmotnými body 2, 3, ..., n, jednotlivé síly se sčítají k celkové síle působící na hmotný bod 1

${\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {1} = Gm_ {1} \ sum _ {i = 2} ^ {n} m_ {i} {\ frac {{\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {1}} {| {\ vec {r}} _ {i} - {\ vec {r}} _ {1} | ^ {3}}}}$

Gravitační zrychlení

Podle Newtonova druhého axiomu to má za následek zrychlení s absolutní hodnotou

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {F_ {1}} {m_ {1}}}}$,

kterému se také říká gravitační zrychlení nebo síla gravitačního pole v místě hmotnosti (viz gravitační pole ). ${\ displaystyle m_ {1}}$

Dvě bodové hmotnosti a zažijte zrychlení na dálku v nepřítomnosti jiných sil podle Newtonova gravitačního zákona: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle a_ {1} = {\ frac {F} {m_ {1}}} = G {\ frac {m_ {2}} {r ^ {2}}} \ qquad {\ text {or}} \ qquad a_ {2} = {\ frac {F} {m_ {2}}} = G {\ frac {m_ {1}} {r ^ {2}}}}$

Hmota přitahuje hmotu a naopak. Obě hmoty se zrychlují směrem ke společnému těžišti . Při pohledu z jednoho z těl se druhé pohybuje se zrychlením, které je součtem jednotlivých zrychlení: ${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} = G \, {\ frac {m_ {1} + m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Pokud je jedna z hmot mnohem menší než druhá, postačí uvažovat pouze o větší hmotnosti. Země má mnohem větší hmotnost než jablko, osoba nebo nákladní vůz, takže stačí, aby všechny tyto objekty vložily zemskou hmotu do rovnice pro zrychlení. Pokud jsou na stejném místě, všechny tři objekty se zrychlují stejně silně směrem ke středu Země. Padají stejnou rychlostí a stejným směrem. Při pohledu na binární hvězdnou soustavu je však třeba vzít v úvahu obě hvězdné hmoty, protože jsou přibližně stejně velké.

Pokud se předmět během pohybu mění jen velmi nepatrně, je gravitační zrychlení prakticky konstantní, například v případě objektu blízko zemského povrchu, který padá jen několik metrů hluboko, tedy mizivě málo ve srovnání s poloměrem Země r = přibližně 6370 km. Na dostatečně malé ploše lze tedy gravitační pole považovat za homogenní. Pokud nelze změnu gravitační síly se vzdáleností opomenout, je možné pomocí integrálního počtu vypočítat například rychlost nárazu volně padajícího tělesa, tj. H. o gravitačním potenciálu${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ Phi (r) = - {\ frac {Gm} {r}}}$.

Rozsáhlá těla

Skutečná těla nejsou bodové masy, ale mají prostorové rozšíření. Protože gravitační zákon je v hmotách lineární, lze tělo rozložit na malé části, jejichž příspěvky, jak je ukázáno v předchozí části, lze přidat vektorově. Při překročení hranice na nekonečně malé části vzniká místo součtu integrál .

Tímto způsobem lze mimo jiné ukázat, že předmět se sféricky symetrickým rozložením hmoty ve vesmíru má stejný gravitační účinek, jako kdyby celá jeho hmota byla spojena v jeho těžišti. Proto lze s rozsáhlými nebeskými tělesy zacházet přibližně jako s hmotnými body. Ve vnitřní části s eliptického nebo sférické symetrické homogenní rozdělení hmoty, z. B. dutá koule , gravitační síla vycházející z této hmoty je nulová. Z toho vyplývá, že v jakékoli vzdálenosti od středu sféricky symetrického rozložení hmotnosti je gravitační síla generována právě podílem celkové hmotnosti, která leží v kouli s poloměrem . Newton tuto větu (známou také jako Newtonova věta o skořápce ) dokázal ve své Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Obecně se věta nevztahuje na tělesa, která nejsou elipticky symetrická, ani na nehomogenní distribuce hmoty. Je třeba také poznamenat, že gravitace nemá žádnou protisílu, takže ji nelze stínit. Skutečné gravitační pole v duté sféře by proto nebylo nulové, protože gravitační síly všech ostatních hmot ve vesmíru by přirozeně působily uvnitř - pouze samotná sférická skořápka by ničím nepřispívala. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Meze teorie

Ačkoli je pro praktické účely dostatečně přesný, Newtonův gravitační zákon je pouze aproximací slabých a na čase nezávislých gravitačních polí. U silných polí se používá přesnější popis pomocí obecné teorie relativity , ze které lze přímo odvodit Poissonovu rovnici klasické gravitační teorie a tedy i Newtonův gravitační zákon, pokud člověk předpokládá, že gravitace je konzervativní oblast . Zákon je proto dnes často označován jako omezující případ malých polí. Obecná teorie relativity také řeší zde popsané problémy Newtonovy gravitační teorie.

Teoretické limity

• Newtonova teorie je efektivní teorie, což znamená, že nedává příčinu gravitační síle, ani nevysvětluje, jak může gravitace fungovat na vzdálenost. Mnoho současníků, včetně samotného Newtona a také Leonharda Eulera , odmítlo možnost okamžitého efektu na dlouhou vzdálenost prázdným prostorem. Aby se tato vysvětlující mezera zacelila, byla jako model vyvinuta takzvaná Le Sageova gravitace , která se však ve skutečnosti nikdy neuchytila.
• Newtonova teorie předpokládá, že gravitační efekt se šíří nekonečně rychle, takže jsou splněny Keplerovy zákony. To vede ke konfliktům se speciální teorií relativity . To vyžaduje, aby se gravitace šířila také pouze rychlostí světla.
• Rovnocennost inertní a těžké hmoty není vysvětleno v newtonovské mechaniky.

Rozpor s pozorováním

• Newtonova teorie plně nevysvětluje perihelion planetárních drah, zejména Merkuru . V tomto případě je rozdíl mezi rotací perihelia vypočítaný podle Newtonovy teorie a pozorovanou rotací perihelia 43 obloukových sekund za století.
• Podle Newtonovy teorie závisí, zda je světlo v gravitačním poli vychýleno nebo ne, závisí na povaze světla. Pokud je chápána jako elektromagnetická vlna , nedochází k žádnému vychýlení. Pokud je však podle korpuskulární teorie chápána jako částice s hmotností, pak podle Newtonova gravitačního zákona dojde k vychýlení světla , přičemž z pohybové rovnice, která je nezávislá na hmotnosti, lze tedy předpovědět zůstává v platnosti i v mezích mizející hmoty. Tato hodnota je však pouze polovinou skutečně pozorovaného průhybu. Naměřená hodnota vyplývá správně z rovnic obecné relativity.

literatura

• Wolfgang Demtröder : Experimentální fyzika 1 . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9 . 

Individuální důkazy

1. ↑ Připraven na Jürgen: První měsíční test Isaaca Newtona, který nebyl! (PDF; 4,5 MB). In: Oznámení Německé geofyzikální společnosti eV 1/2016.
2. ^ Henry Cavendish: Experimenty ke stanovení hustoty Země. (PDF) 1798 (anglicky).
3. ↑ Clive Speake, Terry Quinn: Hledání Newtonovy konstanty . In: Fyzika dnes . páska 67 , č. 7 , 2014, s. 27 , doi : 10,1063 / PT.3.2447 . 
4. ↑ A. Cornu, J. Baille: Détermination nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyennede la Terre . In: Comptes Rendus Hebd. Seances Acad. Sci. páska 76 , 1873, s. 954 ( online [přístup 3. dubna 2019]). 
5. ↑ Gearhart, CA: Epicycles, excentrics, and ellipses: The predictive capabilities of Copernican planetary models . In: Archiv pro historii exaktních věd . páska 32 , č. 3 , 1985, s. 207-222 , doi : 10,1007 / BF00348449 . 
6. ↑ James Lequeux: Le Verrier - velkolepý a hanebný astronom. Springer Verlag, 2013. s. 23.
7. ↑ Thomas Bührke: Velké momenty astronomie. Od Koperníka po Oppenheimer. Mnichov 2001, s. 150.
8. ↑ Walter Greiner: Klasická mechanika 1. Kinematika a dynamika bodových částic. Relativita . 8., revidováno. a zk. Edice. Harri Deutsch, Frankfurt 2008, ISBN 978-3-8171-1815-1 , s. 4 .