Plochá krystalografická skupina

Tyto ploché krystalografické skupiny , nazývané také stěnové znakové skupiny nebo ornament skupiny , jsou symetrické skupiny periodické vzory nebo obklady na euklidovské roviny . S výjimkou afinní ekvivalence existuje přesně 17 takových skupin. 230 krystalografických prostorových skupin jim odpovídá v trojrozměrném prostoru .

Ve smyslu teorii skupiny jsou skupiny se skládá z množiny všech zbytkových map , které jsou mapovány vzoru na sebe spolu s kompozicí z map jako skupinové operace .

Symetrické prvky

Periodický vzor může mít kombinace následujících elementů základní symetrie :

1. Překlad (výtlak)
2. Zrcadlení os
3. Klouzavé zrcadlení , tj. Kombinace translace a osového zrcadlení
4. otáčení
   • 2místné, tj. Rotace o 180 ° nebo bodové zrcadlení
   • 3místné, tj. Rotace 120 °
   • 4 číslice, tj. Rotace o 90 °
   • 6 číslic, tj. Rotace o 60 °

Jiné rotace než uvedené jsou nemožné. Je to proto, že (kromě dvojí rotace) má každá skupina symetrie periodický obklad roviny s pravidelnými polygony odpovídajících čísel. A například obklad s pětiúhelníky je nemožný, protože součet vnitřních úhlů má za následek vnitřní úhel 108 °, takže by se takový obklad neotevřel v rozích. V neeuklidovských geometriích jsou však možné i skupiny symetrie s jinými číslicemi.

4místná rotační symetrie přirozeně implikuje 2místnost, stejně jako 6místná implikuje jak 3místnou, tak 2místnou. Obvykle je pro každý střed otáčení uvedena pouze nejvyšší hodnota.

Libovolný periodický vzor lze vygenerovat opakováním těchto operací na omezené jednotkové buňce, dokud se neobjeví celá rovina. Podle definice obsahuje skupina symetrie periodického vzoru vždy dva lineárně nezávislé překlady. To také umožňuje generovat celý vzor jednoduše opakovaným posunutím translativní buňky. Translativní buňka obsahuje jednu nebo více kopií základní buňky.

notace

Orbifold notace

Vlastnosti skupiny symetrie lze také popsat takzvanou orbifold notací.

• Čísla n (2, 3, 4, 6) označují n -násobný střed otáčení.
• Symbol ∗ znamená osu zrcadla.
  • Čísla, která jsou před ∗, jsou mimo osy zrcadla
  • Čísla, která následují za ∗, jsou na osách zrcadla
• Symbol × znamená posuvný odraz.
• A ∘ znamená kromě překladů žádné symetrie
• Překlady vyskytující se v každé skupině nejsou výslovně uvedeny.

Stručné shrnutí

skupina	Orbifold notace	Překladová buňka (např.)	Jednotkové buňky v buňce s minimální translací
p1	∘1	rovnoběžník	1
p2	2222	rovnoběžník	2
odpoledne	**	obdélník	2
str	× θ	obdélník	2
cm	∗ ×	Kosočtverec	2
pmm	22 2222	obdélník	4 obdélníky
pmg	22 ∗	obdélník	4. místo
pgg	22 ×	obdélník	4. místo
cmm	2 * 22	Kosočtverec	4. místo
p4	442	náměstí	4. místo
p4m	2 442	náměstí	8 pravoúhlých trojúhelníků
p4g	4 ∗ 2	náměstí	8.
p3	333	Diamant složený ze dvou rovnostranných trojúhelníků	3
p3m1	3 333	Diamant složený ze dvou rovnostranných trojúhelníků	6 rovnostranných trojúhelníků
31 m	3 ∗ 3	Diamant složený ze dvou rovnostranných trojúhelníků	6.
p6	632	Diamant složený ze dvou rovnostranných trojúhelníků	6.
p6m	32 632	Diamant složený ze dvou rovnostranných trojúhelníků	12 pravoúhlých trojúhelníků s bočním poměrem 2: 1

seznam

Prvky uvedené ve strukturních diagramech jsou identifikovány následovně:

	Střed dvojí rotace (180 °).
	Střed trojnásobné rotace (120 °).
	Střed čtyřnásobného otočení (90 °).
	Střed šestinásobné rotace (60 °).
	Osa zrcadla.
	Klouzavá osa.

Různé třídy ekvivalence prvků se vyznačují různými barvami a rotacemi.

Oblast označená žlutě označuje jednotkovou buňku, celá zobrazená oblast je translativní buňka.

Skupina p1

Třídy prvků symetrie v p1

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	-	-	-	-	-

• Orbifold notace: ∘1 .
• Tato skupina má jako jedinou formu symetrie pouze posunutí.

Skupina p2

Třídy prvků symetrie v p2

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
4. místo	-	-	-	-	-

• Orbifold notace: 2222 .
• Tato skupina má čtyři třídy středů bodových zrcadel. Tato dvojitá rotace je kromě překladu jedinou formou symetrie.

Skupina pm

Třídy prvků symetrie v pm

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	-	-	-	2	-

• Orbifold notace: ∗∗ .
• Tato skupina má dvě zrcadlové osy navzájem rovnoběžné. Neexistuje žádná rotační symetrie.

Skupina str

Třídy prvků symetrie na str

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	-	-	-	-	2

• Orbifold notace: × phia .
• Tato skupina má dvě paralelní osy posuvného zrcadla. Neexistuje žádná rotační symetrie.

Skupina cm

Třídy prvků symetrie v cm

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	-	-	-	1	1

• Orbifold notace: ∗ × .
• Tato skupina má střídavé osy zrcadla a osy posuvných zrcadel navzájem rovnoběžně.

Skupina pmm

Třídy prvků symetrie v pmm

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
4. místo	-	-	-	4. místo	-

• Orbifold notace: ∗ 2222 .
• Tato skupina je charakterizována vzájemně kolmými osami zrcadlení. Dvojnásobná středy otáčení vznikají v průsečíku dvou os zrcadlení. Existují celkem čtyři třídy soustružnických center a čtyři třídy os zrcadlení.

Skupinová zpráva

Třídy prvků symetrie v pmg

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
2	-	-	-	1	2

• Orbifold notace: 22 ∗ .
• Existuje jedna třída os zrcadlení a také dvě různé třídy os klouzání zrcadla kolmé na ně, na kterých vznikají dvojí středy otáčení.

Skupina pgg

Třídy prvků symetrie v pgg

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
2	-	-	-	-	2

• Orbifold notace: 22 × .
• Tato skupina nemá jednoduchou osovou symetrii, ale má dvě vzájemně kolmé osy posuvného zrcadla a dvě třídy středů bodových zrcadel.

Skupina cmm

Třídy prvků symetrie v cmm

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
3	-	-	-	2	2

• Orbifold notace: 2 ∗ 22 .
• Tato skupina obsahuje dvě třídy os zrcadlení, které jsou na sebe kolmé, s dvojitými středy otáčení v průsečících. Další třída dvojitých soustružnických center leží mimo osy zrcátek. To také vede ke dvěma třídám os posuvných zrcadel.

Skupina p4

Třídy prvků symetrie v p4

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
1	-	2	-	-	-

• Orbifold notace: 442 .
• Tato skupina nemá žádnou formu axiální symetrie. Charakteristickými rysy jsou čtyřnásobné rotace, pro které existují dvě třídy středů. Mezi nimi jsou dvojí soustružnická centra.

Skupina p4m

Třídy prvků symetrie v p4m

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
1	-	2	-	3	1

• Orbifold notace: ∗ 442 .
• Tato skupina je také známá jako p4mm .

Skupina p4g

Třídy prvků symetrie v p4g

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
1	-	1	-	1	2

• Orbifold notace: 4 ∗ 2 .
• Tato skupina je také známá jako p4gm .

Skupina p3

Třídy prvků symetrie v p3

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	3	-	-	-	-

• Orbifold notace: 333 .

Skupina p3m1

Třídy prvků symetrie v p3m1

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	3	-	-	1	1

• Orbifold notace: ∗ 333 .

Skupina p31m

Třídy prvků symetrie v p31m

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
-	2	-	-	1	1

• Orbifold notace: 3 ∗ 3 .

Skupina p6

Třídy prvků symetrie v p6

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
1	1	-	1	-	-

• Orbifold notace: 632 .

Skupina p6m

Třídy prvků symetrie v p6m

Rotace				sekery
2	3	4. místo	6.	Zrcadlo-	Klouzavé zrcadlo
1	1	-	1	2	2

• Orbifold notace: ∗ 632 .
• Tato skupina je také známá jako p6mm .

Okrasné skupiny v umění

Ve dvojitých periodických vzorcích ze starověkého Egypta bylo zjištěno 12 ze 17 skupin ozdob; chybí 5 skupin s 3 nebo 6násobnou rotační symetrií. Tyto Arabesky v Alhambra jsou považovány za vynikající příklad použití dvojitých pravidelných vzorů v islámského umění . Zda se v Alhambře objeví všech 17 skupin ozdob, je kontroverzní: Edith Müller a Branko Grünbaum odmítají , José María Montesinos a Marcus du Sautoy říkají ano. S možnou výjimkou pm, p3 a pg byly v Číně použity všechny skupiny ozdob .

Viz také

• Symetrie (geometrie)
• Skupina bodů

literatura

• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard: Obklady a vzory. Freeman, New York NY 1987, ISBN 0-7167-1193-1 .
• Michael Klemm: Symetrie ozdob a krystalů. Springer, Berlin et al. 1982, ISBN 3-540-11644-3 .
• Klaus Lamotke: Skupiny symetrie plochých ozdob . In: Matematické semestrální zprávy . páska 52 , č. 2 , srpen 2005, s. 153-174 , doi : 10,1007 / s00591-005-0092-r . 

Individuální důkazy

1. ^ Branko Grünbaum: Císařovy nové šaty: Full Regalia, G struna nebo nic? In: Matematický zpravodaj. Svazek 6, č. 4, 1984, str. 47-53, doi: 10,1007 / BF03026738 .
2. ↑ Edith Müller: Skupinová teoretická a strukturální vyšetřování maurských ozdob z Alhambry v Granadě. Baublatt, Rüschlikon 1944 (také: Curych, univerzita, disertační práce, 1944).
3. ^ Branko Grünbaum: Jaké skupiny symetrie existují v Alhambře? In: Oznámení Americké matematické společnosti. Svazek 53, č. 6, 2006, ISSN  0002-9920 , str. 670-673, digitalizovaná verze (PDF; 1,97 MB) .
4. ^ José M. Montesinos: Klasické mozaikování a tři potrubí. Springer, Berlin et al. 1987, ISBN 3-540-15291-1 .
5. ↑ Marcus du Sautoy : Finding Moonshine. Matematikova cesta symetrií. Fourth Estate, London 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 , kapitola 3.
6. ^ Doris Schattschneider : Skupiny letadlové symetrie: jejich rozpoznávání a notace. In: The American Mathematical Monthly. Svazek 85, č. 6, 1978, str. 439-450, doi: 10,2307 / 2320063 .

webové odkazy

• morenaments euc , Java applet a aplikace. Zachová nakreslené čáry při změně skupiny.
• Escher Web Sketch , Java Applet. Kromě kreslení od ruky umožňuje také použití jednotlivých dalších objektů.