Paralelní posun

Příklad překladu

Paralelní posun nebo překlad je geometrický mapování, která posune každý bod v rovině výkresu nebo prostoru ve stejném směru o stejnou vzdálenost. Lze jej identifikovat pomocí vektoru , takzvaného vektoru posunutí .

Součástí pohybů jsou rovnoběžná posunutí , protože při jejich použití jsou zachovány délky a úhly . Jako pohyby se - zejména rovnoběžná posunutí v rovině - počítají také mezi mapy shody .

Koncept paralelního posunutí lze zobecnit z dvoj- nebo trojrozměrného vizuálního prostoru do n-rozměrného euklidovského prostoru a ještě dále do Riemannovy geometrie nebo afinní geometrie .

Dvourozměrný pozorovací prostor

Paralelní posun trojúhelníku

V dvourozměrném (euklidovském) prostoru je paralelní posun matematická funkce, která posouvá každý bod v prostoru o stejnou vzdálenost ve stejném směru. Paralelní posun je tedy dán afinní lineární funkcí${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle s \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

S

${\ displaystyle s (x): = x + a}$,

kde platí, popsáno. ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

Riemannova geometrie

Paralelní transport vektoru po křivce na sférické ploše.

V Riemannově geometrii je koncept paralelního posunutí od euklidovské geometrie zobecněn na zakřivené objekty, jako je povrch koule. Matematicky přesně jsou tyto zakřivené objekty definovány jako Riemannovy potrubí . Vektory na těchto rozdělovačích lze posunout paralelně podél křivek. Tuto metodu přesně formuloval Tullio Levi-Civita . Dnes se většinou označuje jako paralelní doprava, ale také jako paralelní posunutí.

Afinní geometrie

V axiomaticky konstruované afinní geometrii ( syntetická geometrie ) se kolineace nazývá překlad, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: ${\ displaystyle {\ mathcal {\ alpha}}}$

• Přímky jsou mapovány na rovnoběžky.
• Pokud se jakýkoli bod vůbec změní, obrázek nemá pevný bod.

T ₁ :     ${\ displaystyle \ forall g \ in {\ mathcal {G}} \ colon \; \ alpha (g) \ paralelní g}$

T ₂ :     ${\ displaystyle \ forall P \ in {\ mathcal {P}} \ colon \; \ alpha \ neq \ mathrm {id} \, \ Rightarrow \, \ alpha (P) \ neq P}$

( je množina všech bodů, množina všech čar, viz výskyt ). Tyto překlady lze použít například v afinní překladové rovině jako polohové vektory bodů.${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

I zde je překlad vždy afinitou ve smyslu syntetické geometrie. Pokračování překladu v projektivním uzavření afinního prostoru je projektivní perspektivou a tedy projektivitou .

Viz také

Při definování pojmu paralelní překlad nebo překlad se v různých oblastech geometrie a lineární algebry kladou různá zdůraznění, přičemž zobecněná definice platí všude. Přečtěte si prosím

• o konceptu paralelního posunutí v elementární geometrii roviny výkresu : mapování kongruence .
• o konceptu paralelního posunutí v trojrozměrném vizuálním prostoru: pohyb (matematika) .
• o konceptu překladu v syntetické geometrii : afinní úroveň překladu .
• o lineárním pohybu ve fyzice: překlad (fyzika)

literatura

Paralelní posun v lineární algebře a rovinné a prostorové geometrii:

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Učebnice matematiky, svazek II: Lineární algebra . BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8

Překlad v syntetické geometrii:

• Wendelin Degen a Lothar Profke: Základy afinní a euklidovské geometrie , Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
• Günter Pickert : Geometrie úrovně dopadu. 2. vydání, Frankfurt nad Mohanem 1968

webové odkazy

• Výtlačky a ozdoby na stužky - materiály pro samostatnou práci pro studenty

Individuální důkazy

1. ↑ Meč (1976)