Vogelova hliněná síť
Vogelsche Tonnetz je grafické a matematické vyjádření přívodu zvuku z čistého ladění , které bylo navržené podle hudebního teoretika Martin Vogel v roce 1976 ve své práci „Teorie tónových vztahů“. Grafické znázornění je založeno na Eulerově tónové síti , přičemž ke dvěma dimenzím pro dokonalou pětinu a čistou třetinu je přidána třetí dimenze pro čistou sedminu ( přirozená sedmina ). Jeho hlavním účelem je zobrazit a analyzovat akordy a vztahy akordů. Čtyřrozměrná matematická reprezentace umožňuje vyhodnocení podtónového přizpůsobení akordů v závislosti na použité sadě tónů, a tedy i tvrzení o optimální sadě tónů pro určitý akord.
Grafické znázornění
Grafické znázornění tónové sítě je omezeno na tři dimenze pro kvinty, tercie a sedminy. V této reprezentaci jsou tóny související s oktávou zobrazeny na stejných uzlech. Obrázek ukazuje zastoupení čtyřtónového čtyřtónového systému, který je statisticky nejběžnější v západní hudbě, sedmý akord , v dvojrozměrné Eulerově tónové síti s B vytvořeným pomocí kvinty a tercie a v trojrozměrné vogelianské tónové síti s přirozenou sedminou .
Sedmý akord
Zobrazení v Eulerově hliněné síti
Vyobrazení ve Vogelově hliněné síti
Reprezentace v trojrozměrné tónové síti s přirozeným septimem činí statistickou dominanci této čtyřbarevné reprezentace mnohem věrohodnější než dvourozměrná reprezentace: Existuje jasná referenční nota (C), ze které lze všechny ostatní tóny považovat za jednoduchý (což znamená: nekombinované z několika intervalů ) Intervalové výsledky: pátý nahoru, třetí nahoru, sedmý nahoru.
Matematické znázornění
Matematické znázornění tónových vztahů ve Vogelově tónové síti je čtyřrozměrné, protože se berou v úvahu také oktávy . Každý tón je reprezentován čtyřnásobkem čísel, který udává, kolik oktáv, „pětin“, „třetin“ a „sedmin“ je zapotřebí k tomu, aby se dostali z definovaného počátečního bodu k tomuto tónu v síti tónů (kde „pětiny“ „Třetí“ a „sedmý“ znamenají prvočísla 3, 5 a 7, nikoli intervaly 3/2, 5/4 a 7/4). Například sedmý akord C dur zobrazený výše s poznámkami c ', e', g 'a b' (při pohledu z C hlavní oktávy) by mohl být reprezentován čísly 4, 5, 6 a 7, a tedy čtyřnásobky (2. Lze reprezentovat, 0,0,0), (0,0,1,0), (1,1,0,0) a (0,0,0,1). Čtyřnásobná notace tedy představuje primární faktorizaci čísel vyskytujících se v popisu akordu pro první čtyři prvočísla.
Vogel přijímá duální tónový systém Arthura von Oettingena , ve kterém jsou hlavní a vedlejší akordy interpretovány jako vzájemné zrcadlové obrazy. Tento pohled rozšiřuje o kvantitativní výpočet hodnot souhlásky (či spíše disonance).
K tomu zavádí virtuální referenční tóny, které nemusí být nutně přítomny v akordu, ke kterému jsou všechny tóny přítomné v akordu v neporušených celočíselných vztazích. Pro každý akord zastoupený v tónové síti existuje nízký referenční tón (všechny tóny lze reprezentovat jako násobky frekvence tohoto referenčního tónu) a vysoký referenční tón (referenční tón pro každý akordový tón lze představovat jako integrální násobek jeho frekvence). V čtyřnásobné notaci obsahuje akord tedy pouze kladné hodnoty ve vztahu ke svému spodnímu referenčnímu tónu a pouze záporné hodnoty ve vztahu k hornímu referenčnímu tónu ve čtyřnásobcích, které popisují akordové tóny. Všechna prvočísla vyskytující se v popisu vztahů mezi tóny akordů a jejich referenčním tónem jsou sečtena vážená. Pro prvočísla 2, 3, 5 a 7 navrhuje Vogel váhy 1, 3, 5 a 7. Zjevnější variantu, ve které je prvočíslo 2 také váženo vlastní číselnou hodnotou, Vogel odmítá, protože vede k výsledkům, které podle jeho názoru neodpovídají poslechovému zážitku. Součet prvočísel se potom dělí počtem tónů v akordu. Tento výpočet se provádí jak pro horní, tak pro dolní referenční tón. Menší z těchto dvou číselných hodnot rozhoduje o tom, zda se jedná o horní zvuk nebo o spodní zvuk.
C durová triáda c'-e'-g 'v přerušované oktávě může souviset například s dolní referenční notou C z velké oktávy; Tři tóny triády s tím souvisí v celočíselných poměrech (4, 5 a 6). Primární faktorizace dává 2 · 2.5.2 · 3. S váhami navrženými Vogelem bude mít hodnota konsonance (1 + 1 + 5 + 1 + 3) / 3 = 11/3 = 3,67. Stejný akord může také souviset se čtyřtaktem h '' ': tato horní referenční nota má patnáctinásobek frekvence c', dvanáctinásobek frekvence e 'a desetinásobek frekvence g'. Primární faktorizace dává 3 x 5,2 x 2 x 3,2 x 5. To má za následek hodnotu souhlásky (3 + 5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 5) / 3 = 19/3 = 6,33. Hodnota souznění pro nižší referenční tón je příznivější; tedy triáda C dur je podtextem C. Pro triádu C minor c'-es'-g 'je hodnota souhlásky stejná, ale vychází z horní referenční poznámky g' ''. Ve Vogelově hudební teorii tedy tento akord nesouvisí s C („C minor“), ale s G (podzvuk pod G).
Vogel navrhuje speciální notaci pro stoupající a klesající. Horní noty jsou označeny O, spodní noty U. Referenční tón je uveden jako malé písmeno. Předci jsou známí zleva doprava, potomci zprava doleva. Výsledkem je notace cO pro akord C dur a Ug pro akord C minor. Další symboly pro další tóny (např. 7 pro horní nebo dolní sedmý) jsou odpovídajícím způsobem přidány vpravo pro horní zvuky a vlevo pro spodní zvuky. C 7 akord z prvního obrázku by tedy třeba poznamenat, jako CO7.
Vogel také navrhuje výpočet souzvuku přechodů akordů (při přechodu ze zvuku N na zvuk M se všechny přechody N · M hodnotí individuálně rozkladem prvočísel a váženým součtem, poté se vytvoří průměr) a celých hudebních skladeb Zahrnutí centrálního referenčního tónu ve smyslu finále .
Souznění a podtext
Konsonanční vzorec Martina Vogela by měl být ve skutečnosti nazýván disonanční vzorec, protože čím vyšší je disonance akordu nebo intervalu, tím vyšší je vypočítaná hodnota. Vogel netvrdil, že předpovídá souhláskové soudy dnešních posluchačů. Tomu čelí skutečnost, že souhláskové soudy silně korelují s úsudky známosti, že hlavní a vedlejší jsou dnes připisovány emocionálním tónům (minor = smutný) a že jeho formule bere v úvahu pouze fit podtónů , ale ne fit kombinačních tónů . Abych to řekl opatrněji, dalo by se říci, že Vogelova konsonanční formule vyjadřuje jakési podtextové přizpůsobení, tj. Je měřítkem toho, jak daleko do sebe zapadají podtóny akordu. I zde je platnost vzorce omezena limity lidského sluchu. Čistou oktávu nelze odlišit od oktávy rozladěné rozkolem (frekvenční rozdíl asi 2 centy ), protože limit lidského vnímání pro výškové rozdíly komplexních tónů je asi 0,25% (4 centy). Vogelův konsonanční vzorec však udává hodnotu konsonance (1,1 + 0,3 + 0,5,5 + 0,7) / 2 = 0,5 pro čistou oktávu (1,0,0,0) a pro přibližně jednu Schizma příliš velká oktáva (-14,8,1,0) má hodnotu (14 1 + 8 3 + 1 5 + 0 7) / 2 = 43/2 = 21,5.
Důsledky pro výběr tónu
S pomocí výpočtu hodnoty souznění lze rozhodnout, které tóny by měly být převzaty ze skladu tónů pro akord. Takže z. B. hodnota souznění pro sedmý akord v dvourozměrné Eulerově tónové síti (viz obrázek výše) 8.5. Pokud si naopak vezmeme přirozené sedmé místo pro B, hodnota souhlásky se zlepší na 4,5. Sedmý akord s přirozeným sedmým je tedy výhodnější než sedmý akord laděný pouze s kvinty a tercie.
Důsledky z hlediska složení
Pokud se člověk bude řídit hodnocením Vogelova konsonančního vzorce, pak to má důsledky pro to, jak musí být nastaveny durové a mollové akordy. Ve velkých akordech musí být třetiny a zejména sedminy nastaveny vysoko, pokud má akord znít souhlásky. S malými akordy je to přesně naopak. To však v žádném případě neodpovídá kompoziční praxi minulých století (na rozdíl od Tristanova akordu, viz níže), následkem toho zní takto drobné akordy umístěné neobvykle. Ve skutečnosti se vyznačují mnohem lepším přizpůsobením podtónů. Například levá část dvou akordů C minor na opačném obrázku je nastavena klasickým způsobem s hlavní třetinou: vede to k souhláskové hodnotě 4,33. Pravý akord s nízkou malou třetinou zní neobvykle, ale má mnohem lepší hodnotu součinnosti 3,0 a mnohem lepší harmonické přizpůsobení.
Omezení na prvočísla 2, 3, 5 a 7
Vogel považuje teoreticky nekonečný čtyřrozměrný hliněný kmen své hliněné sítě za úplný; vylučuje další dimenze pro vyšší prvočísla . Podle Vogela je konsonance zaměřená na čisté ladění založena na korespondenci v sérii podtextů ; další vyšší prvočíslo (11) již nemůže vést ke slyšitelné shodě, protože ve vnitřním uchu je odděleno pouze prvních osm až deset částeček. A z. B. Jedenáctý dílčí tón izolovaný pomocí flageoletu lze slyšet docela dobře a jasně odlišitelně od desátého nebo dvanáctého, ale v komplexním tónu se všemi dílčími tóny různé síly by se tyto dílčí části spojily a již nebylo možné určit shodu. Bylo by zajímavé zkontrolovat, zda je to možné u nástrojů s převážně lichými partials, protože vzdálenosti mezi partials jsou zde větší. S trochou praxe by teoreticky mohly být slyšitelné souhlásky až do prvočísla 17 nebo dokonce 19.
Polovina zmenšila sedmý akord ve Vogelově zvukové síti
Tristan akord je hudebně-historicky významný akord v Richarda Wagnera hudebního dramatu „Tristan a Isolda“. Nelze jej jasně interpretovat jako funkčně harmonický. Je to považováno za tonálně nestálé a extrémně chromatické.
Ve Vogelově Tonnetz je tento akord prezentován jako dvojitý ekvivalent sedmého akordu, tj. Jako vedlejší protějšek hlavního sedmého akordu. Tuto interpretaci podporuje nejen rozlišení tohoto „akordu G minor minor s subsedmou sedmou“ na akord E dur s horní sedmičkou (viz také animace vlevo), ale také Wagnerova kompoziční technika, přičemž dolní terez (H) a dolní sedmý (F, ve skutečnosti E ♯ ) lze nastavit hluboko. V ptačí notaci by bylo 7UD, aby tento akord ♯ psal, protože referenční nota G # mollového akordu, Dis (D ♯ je), se odvíjejí všechny ostatní noty, z nichž podtext. Za předpokladu, že konzistentní notace podle duálního systému (ostrý menší akord G, G ♯ m, by musel být notován jako D plochý podzvuk Ud ♯ ) nebude převládat, pak by to byl kompromis, Tristanův akord notated as a slash chord G ♯ m / F, tj. jako G ostrý menší akord s F v basu.
„Vysvětlení“ Tristanova akordu ve Vogelově Tonnetzovi jako dobře umístěného malého protějšku významného sedmého akordu nelze srovnávat s „vysvětlením“, pokud jde o funkční harmonii. Obě vysvětlení nemohou skutečně kauzálně ospravedlnit, proč se určité akordy a akordické postupy v hudební historii etablovaly. Zatímco funkčně harmonický přístup je primárně zaměřen na vztah akordů k tonalitě, a tak se v pozdně romantické hudbě dostává do potíží se ztrátou konzistentní tonality, vysvětlující přístup Vogelsche Tonnetz souvisí hlavně s vhodností not akordu k sobě navzájem nebo k sobě navzájem. na noty předchozího nebo následujícího akordu. Zde je alespoň jasné, že akord Tristan není útokem na tonalitu, ale respektuje ho stejně jako hlavní sedmý akord.
V jazzové harmonice odpovídá tento akord polovině sníženého sedmého akordu nad F (jako symbol akordu Fm 7 b5 ). Tento popis neodhaluje spojení s ostrým mollovým akordem G. Vyplývá to ze zvyku, který se stal standardem, popisovat akordy počínaje od nejnižší noty. Ve Vogelově teorii je to vhodné pro stoupence, ale ne pro sestupníky: ty musí být popsány shora dolů. Je třeba poznamenat, že princip nejnižší noty není dodržován ani při inverzích jednoduchých akordů; jinak by akord C dur v první inverzi musel být popsán jako akord E minor se změněnou pětinou (Em +5 ). Ani Tristanův akord není ve Vogelově systému jednoduše popsán z nejvyšší noty (G ♯ ); kořenová poloha D ♯ v hlavní síti je důležitější .
recepce
Vogelův Tonnetz je založen na teorii (Euler's Tonnetz), která je o více než 100 let starší než v současné době dominantní funkční harmonie. Ačkoli si tyto dvě teorie v žádném případě neodporují, spíše se navzájem doplňují (zvuková síť se zaměřením na místní kontexty a nálady, funkční harmonie se snahou klasifikovat globální funkci akordu vztahující se k celému dílu), jinakost Teorie a výstřednost Vogelova akordového zápisu jejich obecné přijetí. Vogelův výpočet kononance se teprve nedávno stal předmětem empirických studií. Jako zjednodušený zápis navrhuje Kaernbach vždy psát zleva doprava, s použitím velkých písmen pro referenční tóny (aby nedošlo k záměně s konvencí označování malých písmen malými písmeny) a pomocí trojúhelníků k označení horní a dolní délky (▲ a ▼). Začátek předehra Tristana by byl z. B. je třeba poznamenat jako D ▼ ♯ 7 → E ▲ 7.
literatura
- Martin Vogel: Tristanův akord a krize moderní harmonie. Düsseldorf 1962.
- Martin Vogel: Teorie tónových vztahů. Bonn 1976.
Individuální důkazy
- ^ B Agnieszka Karas, Christian Kaernbach: Uvedení Martin Vogel testu: Pokus o vyhodnocení hudební teorii. V U. Ansorge et al. (Ed.): Příspěvky k 55. konferenci experimentálních psychologů. ( Stránka již není k dispozici , hledejte ve webových archivech ) Informace: Odkaz byl automaticky označen jako vadný. Zkontrolujte odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. (PDF; 11,3 MB) Pabst Science Publishers, Lengerich, 2013, s. 43.
- ^ B Christian Kaernbach, Christian Bering: Zkoumání časovou mechanismus zapojený do roztečí nevyřešených harmonických. In: Journal of the Acoustical Society of America. Sv. 110, 2001, str. 1039-1048 ( PDF ).
- ^ Ernst Kurth: Romantická harmonie a její krize ve Wagnerově filmu „Tristan“, Bern 1920.
- ^ Christian Kaernbach: Pocta Martinovi Vogelovi - šampionovi intonace hudby. V U. Ansorge et al. (Ed.): Příspěvky k 55. konferenci experimentálních psychologů. ( Stránka již není k dispozici , hledejte ve webových archivech ) Informace: Odkaz byl automaticky označen jako vadný. Zkontrolujte odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. (PDF; 11,3 MB) Pabst Science Publishers, Lengerich, 2013, s. 43.
