Vektorová analýza

Vektorová analýza je odvětví matematiky, které se zabývá hlavně vektorovými poli ve dvou nebo více dimenzích, a tím podstatně zobecňuje oblasti diferenciálního a integrálního počtu , které již byly zpracovány ve školní matematice . Pole se skládá ze sady vzorců a technik řešení problémů, které jsou součástí výzbroje inženýrů a fyziků , ale obvykle se je učí až ve druhém nebo třetím semestru na příslušných univerzitách. Vektorová analýza je odvětví tenzorové analýzy .

Vezmeme v úvahu vektorová pole, která přiřadí vektor ke každému bodu v prostoru , a skalární pole , která přiřadí skalár ke každému bodu v prostoru . Teplota bazénu je skalární pole: skalární hodnota jeho teplota je přiřazena ke každému bodu. Pohyb vody na druhé straně odpovídá vektorovému poli, protože každému bodu je přiřazen vektor rychlosti s velikostí a směrem.

Výsledky vektorové analýzy lze zobecnit a abstrahovat pomocí diferenciální geometrie , matematické podoblasti, která zahrnuje vektorovou analýzu. Hlavní fyzikální aplikace jsou v elektrodynamice .

Tři operátory kovariantního diferenciálu

Tři aritmetické operace mají při vektorové analýze zvláštní význam, protože vytvářejí pole, která se otáčejí s prostorovou rotací původního pole. Z funkčního hlediska: U gradientu , rotace a divergence nezáleží na tom, zda jsou použity před nebo po rotaci. Tato vlastnost vyplývá z definic nezávislých na souřadnicích (viz příslušný hlavní článek) a není samozřejmostí. Např. Parciální derivace vzhledem k x se stává parciální derivací vzhledem k y při 90 stupňové rotaci. V následujícím operátor na parciální derivace a operátor nabla . ${\ displaystyle \ částečné}$${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$

• Gradient skalárního pole : Udává směr a sílu nejstrmějšího nárůstu ve skalárním poli. Gradient skalárního pole je vektorové pole.

${\ displaystyle \ operatorname {grad} \, \ phi: = {\ vec {\ nabla}} \ phi = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné y}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}}}$

• Divergence vektorového pole : Označuje tendenci vektorového pole odtékat z bodů (to platí pro kladné znaménko ; záporné znaménko znamená tendenci k toku k bodům). Divergence vektorového pole je skalární pole. Z Gaussovy integrální věty (viz níže) vyplývá, že divergence popisuje hustotu místního zdroje vektorového pole.

${\ displaystyle \ operatorname {div} ~ {\ vec {F}}: = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} = {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné x}} + {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné z}}}$

Tyto dvě definice již bylo zmíněno, a může být snadno zobecnit od do rozměrů. V případě rotace popsané níže to však není možné, protože počet lineárně nezávislých komponent ${\ displaystyle \ operatorname {grad}}$${\ displaystyle \ operatorname {div}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné F_ {i}} {\ částečné x_ {k}}} - {\ frac {\ částečné F_ {k}} {\ částečné x_ {i}}},}$které se objevují v definici, by byly příliš velké. Ale můžete definovat:${\ displaystyle n = 3}$

• Rotace vektorového pole : označuje tendenci vektorového pole otáčet se kolem bodů; rotace vektorového pole je vektorové pole pseudo vektorů . Z Stokesovy integrální věty (viz níže) vyplývá, že rotace popisuje lokální vírovou hustotu vektorového pole.

${\ displaystyle \ operatorname {rot} ~ {\ vec {F}}: = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné F_ { z}} {\ částečné y}} - {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné z}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné z}} - {\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné x}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné F_ { x}} {\ částečné y}} \ konec {pmatrix}}}$

Integrální věty

Gaussova integrální věta

V následujícím textu je „integrační svazek“ -dimenzionální. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle n}$

Objem integrál nad gradientem skalární množství, může být potom přeměněn na povrchu základní (nebo nadplochy integrálu přes okraj tohoto objemu): ${\ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle \ int \ limity _ {V} \ operatorname {grad} \, \ phi ({\ vec {x}}) \ mathrm {d} V = \ mast \ limity _ {\ částečné V} \ phi \, \ mathrm {d} {\ vec {A}}.}$

Na pravé straně vám symbol ve středu integrálu připomíná, že máte do činění s uzavřeným povrchem (nebo uzavřeným nadpovrchem ) kvůli vytvoření hrany .

Převod na povrchový integrál je také možný pro divergenci vektorové veličiny: Integrál divergence v celém objemu se rovná integrálu toku z povrchu,

${\ displaystyle \ int \ limity _ {V} \ operatorname {div} \, {\ vec {F}} ({\ vec {x}}) \ mathrm {d} V = \ mast \ limity _ {\ částečné V } {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}.}$

Toto je skutečná Gaussova věta o integrálu. Jak jsem řekl, nevztahuje se to pouze na .${\ displaystyle n = 3}$

Stokesova věta

V následujícím textu je použita notace s více integrály. ${\ displaystyle n = 3}$

Uzavřený křivkový integrál vektorové veličiny (pravá strana) lze převést pomocí rotace na plošný integrál přes zbytečně rovný povrch ohraničený uzavřenou integrační cestou (levá strana). Stejně jako u Gaussovy věty se předpokládají obvyklé vlastnosti orientace . Platí následující: ${\ displaystyle \ Gamma = \ částečné A}$

${\ displaystyle \ iint \ limity _ {A} \ operatorname {red} \, {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}} = \ mast \ limity _ {\ Gamma = \ částečný A} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}.}$

Vektor se rovná velikosti pozorované oblasti nebo členům nekonečně malých povrchových prvků vynásobeným odpovídajícím normálovým vektorem. Na pravé straně symbol kruhu v integrálním symbolu připomíná, že integrace probíhá přes uzavřenou křivku. ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ částečné V}$

Základní rozklad

Základní věta vektorové analýzy, nazývaná také Helmholtzova věta o rozkladu , popisuje obecný případ. Uvádí, že každé vektorové pole lze popsat jako superpozici zdrojové komponenty a vírové komponenty . První z nich je negativní gradient superpozice skalárních coulombovských potenciálů, určený hustotou zdroje jako formální „hustota náboje“ , jako v případě statických elektrických polí; Ta je rotace vektorového potenciálu , stejně jako v Biot-Savartův zákon o magnetostatice , určenou hustotou vířivé jako formální „proudové hustoty“${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {Q}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {W}}$${\ displaystyle \ rho ': = \ operatorname {div}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '})}$${\ displaystyle {\ vec {j}} ^ {\, '}: = \ operatorname {red}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '}):}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} \ equiv {\ vec {F}} _ {Q} + {\ vec {F}} _ {W}.}$

Platnost takového rozdělení je jasně vidět na toku potoka: V místech se strmým spádem a v přímce je toku dominována složka spádu, zatímco v plochých oblastech, zejména když je potok kolem „rohu“ nebo malého ostrůvku proudí kolem, převládá vírová složka.

Ve skutečnosti, pokud jsou složky vektoru všude spojitě diferencovatelné dvakrát (jinak musí být objemové integrály nahrazeny povrchovými integrály na rozhraních ) a zmizí dostatečně rychle v nekonečnu, použije se následující vzorec , který přesně odpovídá zmíněné kombinaci elektrodynamiky a všem výše uvedeným Mezi operátory patří: ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ iiint \ mathrm {d} V \ nabla \ tečky}$${\ displaystyle \ textstyle \ iint \ mathrm {d} ^ {(2)} A {\ vec {n}} \ tečky}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ equiv - \ operatorname {grad} \ left \ {\ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \, \ mathrm { d} V '\, {\ frac {\ mathrm {div}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '})} {4 \ pi | {\ vec {r} } - {\ vec {r}} ^ {\, '} |}} \ doprava \} + \ operatorname {red} \ leva \ {\ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \, \ mathrm {d} V '\, {\ frac {\ operatorname {rot}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '})} {4 \ pi | {\ vec {r }} - {\ vec {r}} ^ {\, '} |}} \ doprava \}.}$

Obecné vektorové pole je proto jasně specifikováno pouze s ohledem na jeho fyzický význam, pokud jsou k dispozici výroky o hustotách zdroje a víru a případně potřebné hraniční hodnoty.

Totožnosti

Tyto identity se často hodí během transformací:

• ${\ displaystyle \ nabla \, {\ frac {1} {r}} = \ operatorname {grad} \, {\ frac {1} {r}} = - {\ frac {\ vec {r}} {r ^ {3}}}}$ Pro ${\ displaystyle r \ neq 0.}$

Tento vztah je užitečný při odvozování potenciálu pole bodového náboje ( Coulombův zákon ).

Je to vektor obsahující pravoúhlé složky nebo v tomto pořadí ; zjednodušeně: dále je${\ displaystyle {\ vec {r}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ vec {r}} = (x, y, z).}$${\ displaystyle r = | {\ vec {r}} | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}$

• ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ big (} {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} {\ big)} = {\ vec {\ nabla}} { \ big (} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} {\ big)} - \ nabla ^ {2} {\ vec {F}}}$ nebo.
  ${\ displaystyle \ operatorname {red} (\ operatorname {red} \, {\ vec {F}}) = \ operatorname {grad} (\ operatorname {div} \, {\ vec {F}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {F}}}$

Tento vztah se často používá k odvození vlnové rovnice v elektrodynamice.

• ${\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ phi) = \ operatorname {red} \, \ operatorname {grad} \, \ phi \ equiv 0}$pro všechna skalární pole .${\ displaystyle \ phi \! \,}$
• ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {F}}) = \ operatorname {div} \, \ operatorname {red} \, {\ vec {F}} \ ekviv 0}$pro všechna vektorová pole .${\ displaystyle {\ vec {F}}}$
• ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi _ {1} \ times \ nabla \ phi _ {2}) = \ operatorname {div} \, (\ operatorname {grad} \, \ phi _ {1} \ times \ operatorname {grad} \, \ phi _ {2}) \ equiv 0}$pro všechna skalární pole .${\ displaystyle \ phi _ {1}, ~ \! \, \ phi _ {2}}$

V následujících dvou částech se používají obvyklé termíny nebo v jiném kontextu (elektrodynamika) : ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Závěr ze zmizení rotace

Pokud ano, následuje se skalárním potenciálem . To je dáno první částí základního rozkladu výše a je identické s odpovídajícím trojitým integrálem, tj. Je určeno hustotou zdroje. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = \ operatorname {red} \, {\ vec {E}} \ ekviv 0}$${\ displaystyle {\ vec {E}} \ equiv - {\ vec {\ nabla}} \ phi = - \ operatorname {grad} \, \ phi}$${\ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle {\ vec {E}}}$nebo jsou obvyklé termíny v elektrostatice pro elektrické pole a jeho potenciál. Zadaný požadavek je zde splněn. ${\ displaystyle \ phi \,}$

Závěr ze zmizení divergence

Pokud ano, následuje s takzvaným vektorovým potenciálem . To je dáno druhou částí základního rozkladu výše a je identické s odpovídajícím trojitým integrálem, tj. Je určeno hustotou víru. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = \ operatorname {div} \, {\ vec {B}} \ ekviv 0}$${\ displaystyle {\ vec {B}} \ equiv {\ vec {\ nabla}} \ krát {\ vec {A}} = \ operatorname {red} \, {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}}}$nebo jsou obvyklé termíny v magnetostatice pro magnetickou indukci nebo její vektorový potenciál. Tam je požadavek opět splněn. ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

Závěr ze zmizení rotace a divergence

Li

${\ displaystyle \ operatorname {rot} \, {\ vec {F}} = \ vlevo ({\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné y}} - {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné z}} \ pravé) {\ hat {e}} _ {x} + \ levé ({\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné z}} - {\ frac {\ částečné F_ { z}} {\ částečné x}} \ pravé) {\ hat {e}} _ {y} + \ levé ({\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné y}} \ pravé) {\ hat {e}} _ {z} \ equiv {\ vec {0}}}$

a

${\ displaystyle \ operatorname {div} \, {\ vec {F}} = {\ frac {\ částečné F_ {x}} {\ částečné x}} + {\ frac {\ částečné F_ {y}} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné F_ {z}} {\ částečné z}} \ ekviv 0}$

pak je vektorové pole harmonické : ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle \ Delta {\ vec {F}} = \ Delta F_ {x} {\ hat {e}} _ {x} + \ Delta F_ {y} {\ hat {e}} _ {y} + \ Delta F_ {z} {\ hat {e}} _ {z} \ equiv {\ vec {0}}}$

V něm je Laplaceův operátor . Závěr vyplývá z kombinace rotace a divergence odvozené od x, yaz. Pokud je například gravitace bez rotace a divergence, pak posunutí v lineárně elastickém těle splňují bipotenciální rovnici , viz Navier-Cauchyovy rovnice . ${\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2}}$${\ displaystyle \ Delta \ Delta {\ vec {F}} \ ekviv {\ vec {0}}}$

literatura

• Klaus Jänich : Vektorová analýza. Springer-Verlag, 4. vydání 2003, ISBN 3-540-00392-4 , doi : 10,1007 / 978-3-662-10750-8 .
• Lothar Papula : Matematika pro inženýry a přírodní vědce Svazek 3. Vektorová analýza, výpočet pravděpodobnosti [...] . Vieweg Verlag leden 2001, ISBN 3-528-34937-9 .
• M. Schneider: O použití operátorů div ⁻¹ , rot ⁻¹ , grad ⁻¹ v teorii pole . Archiv pro elektrotechniku, Springer Verlag, 1997.
• Donald E. Bourne, Peter C. Kendall: Vektorová analýza . Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02044-0 .
• Adolf J. Schwab : Konceptuální svět teorie pole . Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42018-5 .
• H. Klingbeil: Teorie elektromagnetického pole . Teubner Verlag, Stuttgart 2003.

webové odkazy

Individuální důkazy

1. ↑ Ve třech dimenzích se objemové integrály často píší třemi a plošné integrály často dvěma integrálními znaky. Pro uzavřené plochy se používá speciální dvojitý integrál, který je obklopen symbolem sférické plochy (LaTeX symbol \ oiint). Tento symbol LaTeX se bohužel ve Wikipedii nezobrazuje správně.