Zásada nejmenšího omezení

Princip nejmenšího nátlaku (také Gaussův princip nejmenšího nátlaku ) je soubor klasické mechaniky vypracovaný Carlem Friedrichem Gaußem v roce 1829 a doplněný Philipem Jourdainem , podle kterého se mechanický systém pohybuje takovým způsobem, že nutkání je za všech okolností minimalizováno. ${\ displaystyle t}$

Donucení je definováno jako:

${\ displaystyle Z = \ sum _ {i} {\ frac {1} {2m_ {i}}} ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ { i}) ^ {2} = \ sum _ {i} {\ frac {m_ {i}} {2}} \ vlevo ({\ frac {{\ vec {F}} _ {i}} {m_ {i }}} - {\ vec {a}} _ {i} \ doprava) ^ {2}}$

kde jsou hmotné body i sčítány s danými aplikovanými silami , hmotami bodových částic a zrychleními . Jednotlivé bodové částice, ze kterých se předpokládá, že je systém složen, podléhají dalším omezením. Působící síly mohou výslovně záviset na čase, umístění a rychlosti, ale ne na zrychlení. ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i}}$

S minimalizací omezení s ohledem na zrychlení jsou všechny pohyby kompatibilní s podmínkami omezení v soutěži, ve které se pozice a rychlosti aktuálně shodují. Konkurence znamená, že jsou brány v úvahu všechny možné pohyby - dokonce i ty, které se ve skutečnosti nevyskytují kvůli principu nejmenšího nátlaku . ${\ displaystyle t}$

Výše uvedená rovnice ukazuje rozdíly mezi zrychleními hmotných prvků a zrychleními, která by zažili jako volné hmoty při působení aplikovaných sil působících na ně . Princip lze formulovat následovně:

${\ displaystyle Z = {\ mathsf {min}}}$

nebo.

${\ displaystyle \ delta Z = 0}$,

s (mění se pouze zrychlení). ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} = 0, \ quad \ delta {\ vec {v}} = 0}$

Princip nejmenšího omezení platí pro velmi obecně formulovaná omezení. Čas, místa a rychlosti lze do toho zahrnout nelineárně. Tímto způsobem se princip nejmenšího omezení odlišuje například od d'Alembertova principu virtuální práce, ve kterém jsou v nejjednodušší verzi vyžadována holonomická omezení. Cornelius Lanczos to nazývá důmyslnou reinterpretací d'Alembertova principu mechaniky od Carla Friedricha Gauße , který našel formulaci mechanických principů, které spolu úzce souvisely v podobě jeho metody nejmenších čtverců .

příklad

Uvádí se kyvadlo se 2 bodovými hmotami a bezhmotná tuhá tyč (viz obrázek 1). Síly F ^e ₁ a F ^e ₂ jsou aplikované síly s množstvím m ₁ g a m ₂ g. _t1 a _t2 jsou tangenciální zrychlení masy m ₁ a m ₂ , s _n1 a A _{n2 jsou} přidružené normální zrychlení . Donucení je tedy:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {2} m_ {i} \ left [\ left (a_ {ti} + g \ sin \ phi \ right) ^ {2} + \ left (a_ {ni} + g \ cos \ phi \ right) ^ {2} \ right]}$

Při určování minima pro výše uvedený výraz je třeba poznamenat, že variace normálních zrychlení zmizí kvůli kloubovému zavěšení, zatímco pro tangenciální zrychlení platí následující:

${\ displaystyle a_ {ti} = r_ {i} {\ ddot {\ phi}}}$

a

${\ displaystyle \ delta a_ {ti} = r_ {i} \ delta {\ ddot {\ phi}}}$

Tak se stává

${\ displaystyle \ delta \ sum _ {i = 1} ^ {2} m_ {i} \ left [\ left (a_ {ti} + g \ sin \ phi \ right) ^ {2} + \ left (a_ { ni} + g \ cos \ phi \ right) ^ {2} \ right] =}$

${\ displaystyle = 2 \ sum _ {i = 1} ^ {2} m_ {i} r_ {i} \ vlevo (r_ {i} {\ ddot {\ phi}} + g \ sin \ phi \ vpravo) \ delta {\ ddot {\ phi}} = 0}$

Kvůli svévolnosti následuje po snížení faktoru 2 pohybová rovnice : ${\ displaystyle \ delta {\ ddot {\ phi}}}$

${\ displaystyle \ left (m_ {1} r_ {1} ^ {2} + m_ {2} r_ {2} ^ {2} \ right) {\ ddot {\ phi}} + \ left (m_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} \ vpravo) g \ sin \ phi = 0}$

Formální výklad

Následuje interpretace Gaussova principu pro obecný bodový hromadný systém s omezeními.

Popis systému

${\ displaystyle \ left (k = 1, \ ldots, n \ right)}$Hmoty bodů se souřadnicemi se pohybují pod vlivem aplikovaných sil, které závisí na čase, místě a rychlosti. ${\ displaystyle x = \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {3n} \ right) ^ {T}}$

Pohyb volného systému je dán rovnicí

${\ displaystyle M \ částečné _ {t} ^ {2} x (t) = F (t, x (t), \ částečné _ {t} x (t))}$

( je hmotová matice), kde má být poloha interpretována jako časově závislá funkce a jsou to derivace prvního a druhého času. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle \ částečné _ {t} x, \ částečné _ {t} ^ {2} x}$

V zkoumaném systému však existují další omezení, která jsou definována rovnicí ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (0 \ leq z \ leq 3n)}$

${\ displaystyle G (t, x, \ částečné _ {t} x) = 0 \ v \ mathbb {R} ^ {z}}$

lze popsat pomocí funkce s vektorovou hodnotou . ${\ displaystyle G \ dvojtečka (t, x, \ částečné _ {t} x) \ mapsto G (t, x, \ částečné _ {t} x) \ v \ mathbb {R} ^ {z}}$

S pomocí Gaussova principu by měla být stanovena pohybová rovnice systému s omezeními , která nahradí pohybovou rovnici volného systému.

Interpretace Gaussova principu

Výše verbálně formulovaný Gaussův princip není jen problémem programování, ale spíše celou rodinou časově parametrizovanými optimalizačními problémy, protože nutkání vždy minimálně akceptovat (to je jeden z jemných rozdílů Gaussova principu vůči principu stacionárního působení v kde efektem je funkce, která závisí na celém pohybu ). ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S [x]}$${\ displaystyle x}$

V každém pevném časovém bodě soutěží všechny křivky, které jsou dvakrát spojitě diferencovatelné v parametru křivky${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ tau \ mapsto x (t, \ tau) \ v \ mathbb {R} ^ {3n}}$

což je omezení

${\ displaystyle G (\ tau, x (t, \ tau), \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau)) = 0}$

setkat se v místě na stejném místě ${\ displaystyle \ tau = t}$

${\ displaystyle \ left.x (t, \ tau) \ doprava | _ {\ tau = t} = x (t)}$

jít a stejnou rychlostí

${\ displaystyle \ left. \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau) \ pravé | _ {\ tau = t} = {\ dot {x}} (t)}$

mít kolem povinného minima.

K nastavení rovnice pro pohyb, která minimalizuje omezení , se používá metoda uvedená v části „Nástroj pro analýzu reálných funkcí ve skutečné proměnné“ záznamu o výpočtu variací . ${\ displaystyle x}$

Ze sady všech konkurenčních křivek je vybrána jakákoli skutečná parametrická rodina , která je diferencovatelná podle parametru rodiny . Křivka , dobře , má se shodovat s fyzickým pohybem . To znamená, že omezení vždy závisí na parametru hejna${\ displaystyle \ {\ tau \ mapsto x (t, \ tau, \ alpha) \} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle \ tau \ mapsto x (t, \ tau, 0)}$${\ displaystyle t \ mapsto x (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle Z (t, \ alpha): = \ left. \ left (\ partial _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, \ alpha) -M ^ {- 1} F \ right) ^ {T} M \ vlevo (\ částečné _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, \ alfa) -M ^ {- 1} F \ vpravo) \ vpravo | _ {\ tau = t} }$

${\ displaystyle = \ left. \ left ({\ sqrt {M}} \ left (\ partial _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, \ alpha) -M ^ {- 1} F) \ right) \ right) ^ {2} \ right | _ {\ tau = t}}$

předpokládá v tomto okamžiku minimum (druhá reprezentace se v zásadě používá pro jasnější notaci). Pokud si ponecháte čas , pak záleží jen na. Nutnou podmínkou pro to, aby tato funkce převzala minimum, je to, že derivace omezení je rovna nule, tj. ${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ alpha \ mapsto Z (t, \ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$

${\ displaystyle \ left. \ částečné _ {\ alpha} Z (t, \ alpha) \ pravé | _ {\ alpha = 0} = 0.}$

Pokud vezmeme v úvahu, že tato rovnice musí platit pro libovolnou rodinu křivek vybraných podle výše uvedených podmínek , získá se pohybová rovnice systému s danými omezeními. ${\ Displaystyle \ left \ {x (t, \ tau, \ alpha) \ right \} _ {\ alpha}}$

Toto je rozpracováno v další části.

Přechod na Jourdainův princip a Lagrangeovo zastoupení

Podle výše popsaného postupu jsou nyní pohybové rovnice nastaveny ve formě, která je pro výpočet přístupnější. Výsledný systém rovnic je také interpretován jako Jourdainův princip nebo princip virtuálního výkonu .

Nejprve se provede diferenciace podle poslední rovnice. ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ left. \ partial _ {\ alpha} Z (t, \ alpha) \ right | _ {\ alpha = 0} = 2 \ left (\ partial _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, 0) -M ^ {- 1} F (\, t, x (t, \ tau, \ alfa), \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, \ alfa) \,) \ vpravo) ^ {T} M \, \ částečné _ {\ alfa} \ vlevo. \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, \ alfa) \ vpravo | _ {\ alfa = 0, \ tau = t}}$

Zde bylo použito, že mnoho termínů je způsobeno vnitřní derivací a rovná se nule. ${\ displaystyle \ částečné _ {\ alfa} x (t, \ tau, \ alfa) | _ {\ tau = t} = 0}$${\ displaystyle \ částečné _ {\ alfa} \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, \ alfa) | _ {\ tau = t} = 0}$

Aby bylo jasné, že levá strana rovnováhy sil představuje volný systém v závorkách , je do závorek nakreslena matice hmotnosti . ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ left. \ partial _ {\ alpha} Z (t, \ alpha) \ right | _ {\ alpha = 0} = 2 \ left (M \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x (t , \ tau, \ alpha) -F (\, t, x (t, \ tau, \ alpha), \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, \ alpha) \,) \ vpravo) ^ { T} \ částečný _ {\ alfa} \ vlevo. \ Částečný _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, \ alpha) \ pravý | _ {\ alpha = 0, \ tau = t}}$

Změny zrychlení, které jsou kompatibilní s omezeními, se získají odvozením omezení ${\ displaystyle \ částečné _ {\ alfa} \ levé. \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x (t, \ tau, \ alfa) \ pravé | _ {\ alpha = 0, \ tau = t}}$

${\ displaystyle G (\ tau, x (t, \ tau, \ alfa), \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, \ alfa)) = 0}$

poté v bodě a poté po . ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau = t}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle 0 = \ vlevo. \ částečné _ {\ tau} G (\ tau, x (t, \ tau, \ alfa), \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, \ alfa)) \ vpravo | _ {\ tau = t}}$

${\ displaystyle = \ left [\ částečné _ {1} G + \ částečné _ {2} G \ částečné _ {\ tau} x + \ částečné _ {3} G \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x \ pravé ] _ {\ tau = t}}$

Kvůli jasnosti zde byly argumenty vynechány a jsou označeny dílčí derivace podle času (i = 1), polohy (i = 2) a rychlosti (i = 3). V následné diferenciaci je možné využít skutečnosti, že variace polohy a rychlosti jsou rovny nule a je získána požadovaná podmínka, která je kompatibilní s omezeními: ${\ displaystyle \ částečné _ {i}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ tau = t}$${\ displaystyle \ částečné _ {\ alfa} \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x | _ {\ alfa = 0, \ tau = t}}$

${\ displaystyle \ left. \ částečné _ {3} G (t, x (t, t, 0), \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, 0) \ vpravo | _ {\ tau = t }) \ vlevo. \ částečné _ {\ alfa} \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x \ pravé | _ {\ alfa = 0, \ tau = t} = 0}$

Zavádí se do poslední rovnice a do poslední rovnice pro variaci zrychlení postavy a jedna nahrazuje (správně) a tak se nakonec získá z Gaussova principu obvyklá notace pro jourdainscheho princip virtuální síly : ${\ displaystyle \ left. \ částečné _ {\ alpha} Z (t, \ alpha) \ vpravo | _ {\ alpha = 0} = 0}$${\ displaystyle \ částečné _ {\ alfa} \ částečné _ {\ tau} ^ {2} x | _ {\ alfa = 0, \ tau = t}}$${\ displaystyle \ delta v}$${\ displaystyle x (t, \ tau, \ alfa) | _ {\ alpha = 0, \ tau = t} = x (t)}$${\ displaystyle \ částečné _ {\ tau} x (t, \ tau, \ alfa) | _ {\ alpha = 0, \ tau = t} = {\ tečka {x}} (t)}$

Fyzicky rozlišený pohyb probíhá přesně takovým způsobem, že v jakémkoli okamžiku je rovnice ${\ displaystyle t \ mapsto x (t)}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ left (M {\ ddot {x}} (t) -F (\, t, x (t), {\ dot {x}} (t) \,) \ right) ^ {T} \ delta v = 0}$

pro každého s ${\ displaystyle \ delta v \ in \ mathbb {R} ^ {3n}}$

${\ displaystyle \ částečné _ {3} G (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) \ delta v = A \ delta v = 0}$

je spokojen.

To lze interpretovat takovým způsobem, že alespoň ve směrech, ve kterých se systém může aktuálně volně pohybovat, musí systém s omezeními také splňovat pohybové rovnice volného systému. ${\ displaystyle \ delta v}$

Velikosti se nazývají virtuální rychlosti . ${\ displaystyle \ delta v}$

Pro efektivnější výpočet lze výše uvedený systém rovnic převést na Lagrangeovu reprezentaci ( Lagrangeova rovnice prvního typu ) následujícím způsobem , který je rovněž ekvivalentní d'Alembertovu principu.

Druhá rovnice vyjadřuje, že množina všeho přípustného je přesně jádrem matice a první rovnice říká, že tato množina spočívá v ortogonálním doplňku. Takže celkově dostanete ${\ displaystyle \ delta v}$${\ displaystyle A = \ částečné _ {3} G (t, x (t), {\ dot {x}} (t))}$${\ displaystyle \ left (M {\ ddot {x}} (t) -F (\, t, x (t), {\ dot {x}} (t) \,) \ right)}$${\ displaystyle \ left (M {\ ddot {x}} (t) -F (\, t, x (t), {\ dot {x}} (t) \,) \ right) \ in \ left ( \ operatorname {core} \, A \ right) ^ {\ perp} = \ operatorname {image} \, A ^ {T}}$

Protože to následuje . Existuje tedy (časově závislý) vektor (Lagrangeův multiplikátor), s nímž ${\ displaystyle \, A {\ vec {x}} = 0}$${\ displaystyle \, {\ vec {y}} ^ {T} A {\ vec {x}} = {(A ^ {T} {\ vec {y}})} ^ {T} {\ vec {x }} = 0}$${\ displaystyle \ lambda (t) \ v \ mathbb {R} ^ {z}}$

${\ displaystyle M {\ ddot {x}} (t) -F (\, t, x (t), {\ dot {x}} (t) \,) = A ^ {T} \ lambda (t) }$

drží (Lagrangeovy rovnice prvního druhu).

Jedním z výkladů je to, že jakékoli omezující síly mohou působit kolmo na možné virtuální rychlosti . ${\ displaystyle \ delta v}$${\ displaystyle \, A ^ {T} \ lambda (t)}$

Výslovné odvození d'Alembertova principu

Holonomická omezení , ve kterých se rychlosti výslovně nevyskytují, lze zahrnout do předchozí léčby nastavením: ${\ displaystyle \, C (t, x (t)) = 0}$

${\ displaystyle G (t, x (t), {\ dot {x}} (t)): = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} C (t, x ( t)) = \ částečné _ {1} C (t, x (t)) + \ částečné _ {2} C (t, x (t)) \, {\ tečka {x}} (t) = 0}$

Z tohoto pohledu je zřejmé, že omezení místa, které nutí systém do určité cesty, také omezuje možné rychlosti. Výsledkem je princip Jourdain:

${\ displaystyle \ částečné _ {3} G (t, x (t), {\ tečka {x}} (t)) \ delta v = \ částečné _ {2} C (t, x (t)) \ delta v = 0}$

Od té doby se rychlost mění na omezených plochách, lze ji nahradit virtuálními posuny a výsledkem je obvyklá forma d'Alembertova principu: ${\ displaystyle \, \ delta v}$${\ displaystyle \, \ delta x}$

Fyzicky rozlišený pohyb probíhá takovým způsobem, že v jakémkoli okamžiku je rovnice ${\ displaystyle t \ mapsto x (t)}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ left (M {\ ddot {x}} (t) -F (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) \ right) \ delta x = 0})$

pro každého s ${\ displaystyle \ delta x \ in \ mathbb {R} ^ {3n}}$

${\ displaystyle \ částečné _ {2} C (t, x (t)) \ delta x = 0}$

je spokojen. Lagrangeovy rovnice typu 1 následují, jak je uvedeno výše:

${\ displaystyle M {\ ddot {x}} (t) -F (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) = \ částečné _ {2} C (t, x (t) ) ^ {T} \, \ lambda (t)}$

s . ${\ displaystyle \ lambda (t) \ v \ mathbb {R} ^ {z}}$

literatura

• Georg Hamel: Teoretická mechanika. Springer-Verlag, Berlín 1949.
• Werner Schiehlen: Technická dynamika. Studijní knihy Teubner, Stuttgart 1986.
• Cornelius Lanczos: Variační principy mechaniky. Doveru.
• Gauss Werke sv. 5, O novém obecném základním zákonu mechaniky , Journal for Pure and Applied Mathematics sv. 4, 1829

webové odkazy

• Evans a kol. A. k principu nejmenšího nátlaku

Reference

1. ↑ Forma založená na knize Corneliuse Lanczose, kde prefaktor 1/2 pochází z odvození od d'Alembertova principu, lze jej u jiných autorů vynechat
2. ^ Variační principy mechaniky , Dover, s. 106