Planckův zákon radiace

Vlákno svítí červeně při přibližně 700 ° C a oranžově až žlutě při 2500 ° C.

Max Planck na první konferenci Solvay (1911) se svým radiačním zákonem v pozadí na tabuli

The Planckova záření zákon, jsou určeny pro tepelné záření jednoho černého tělesa , v závislosti na jeho teplotě , rozložení elektromagnetického záření výkonu jako funkci vlnové délky , nebo frekvenci v.

Max Planck našel radiační zákon v roce 1900 a všiml si, že odvození v rámci klasické fyziky není možné. Spíše se ukázalo jako nutné zavést nový postulát, podle kterého výměna energie mezi oscilátory a elektromagnetickým polem neprobíhá kontinuálně, ale ve formě drobných energetických balíčků (později označovaných jako kvanta ). Planckova derivace radiačního zákona je proto považována za hodinu zrodu kvantové fyziky .

Základy a význam

Podle Kirchhoffova zákona o záření jsou absorpční kapacita a emisivita pro tepelné záření navzájem úměrné pro každé těleso pro každou vlnovou délku . Černé těleso (nebo černé těleso ) je hypotetický těleso, které zcela absorbuje záření o libovolnou vlnovou délku a intenzitu. Protože jeho absorpční kapacita předpokládá nejvyšší možnou hodnotu pro každou vlnovou délku, její emisivita také předpokládá maximální možnou hodnotu pro všechny vlnové délky. Skutečné (nebo skutečné ) těleso nemůže emitovat více tepelného záření na jakékoli vlnové délce než černé těleso, které proto představuje ideální zdroj tepelného záření. Vzhledem k tomu, že spektrum černého tělesa (nazývané také spektrum černého tělesa a Planckovo spektrum ) nezávisí na žádném jiném parametru než na teplotě , jedná se o užitečný referenční model pro řadu účelů .

Kromě značného praktického významu černého tělesa je objev Planckova radiačního zákona v roce 1900 považován také za zrod kvantové fyziky , protože aby vysvětlil vzorec původně nalezený empiricky , Planck musel předpokládat, že světlo (nebo elektromagnetické záření obecně) není spojité , ale pouze diskrétní v kvantách (dnes se mluví o fotonech ) je absorbováno a uvolňováno.

Planckův radiační zákon navíc spojil a potvrdil zákonitosti, které již byly objeveny před jeho objevením, částečně empiricky a částečně na základě termodynamických úvah:

• Stefan-Boltzmann právo , které určuje , že vyzařovaný výkon černého tělesa (proporcionální k T ⁴ ).
• zákon Rayleigh-Jeans , který popisuje spektrální rozložení energie pro delší vlnové délky.
• na Wien zákon záření , který představuje spektrální rozložení energie pro malé vlnové délky.
• na Wien posunutí zákon , který určuje vztah mezi maximem emisního černého tělesa, a jeho teplota.

Odvození a historie

Jako zjednodušený příklad zvažte dutinu ve tvaru krychle o délce a objemu strany, která obsahuje dutinové elektromagnetické záření v tepelné rovnováze. Pouze stojaté vlny se mohou vyvíjet v rovnováze; povolené vlny mohou běžet v libovolném směru, ale musí splňovat podmínku, že mezi dva protilehlé povrchy dutin se vejde integrální počet polovičních vln. Důvod je následující: Jelikož elektromagnetické vlny nemohou existovat uvnitř stěn dutiny, jsou síly elektrického a magnetického pole nulové. To znamená, že uzly vln musí být na povrchu vnitřních stěn. Jsou tedy povoleny pouze určité diskrétní stavy oscilace; z těchto stojatých vln je složeno celé záření dutiny. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle V}$

Hustota stavů

Počet povolených stavů oscilace se zvyšuje na vyšších frekvencích, protože existuje více možností, aby se vlny s menší vlnovou délkou vešly do dutiny takovým způsobem, aby byly splněny celočíselné podmínky pro jejich složky ve směru -, - a - . Počet těchto přípustné kmitání stavy ve frekvenčním intervalu mezi a a na objem se nazývá hustota stavů a vypočítá se následovně ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$

${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu \, = \, {\ frac {8 \ pi} {c ^ {3}}} \, \ nu ^ {2} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Ultrafialová katastrofa

Nyní každý z těchto stavů oscilací na frekvenční interval chápe jako harmonický oscilátor frekvence . Pokud všechny oscilátory kmitají v tepelné rovnováze při teplotě , pak by se podle zákona o rovnoměrné distribuci klasické termodynamiky dalo očekávat, že každý z těchto oscilátorů nese kinetickou energii a potenciální energii , tj. Celkovou energii . Kde je Boltzmann konstanta . Hustota energie záření dutiny ve frekvenčním intervalu mezi a byla by proto součinem hustoty stavů povolených stavů oscilací a průměrné energie pro každý klasický stav oscilace , tj. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle kT / 2}$${\ displaystyle kT / 2}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle kT}$

${\ Displaystyle U _ {\ nu} ^ {RJ} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} \ nu \, = \, {\ frac {8 \ pi} {c ^ {3}}} \ , kT \, \ nu ^ {2} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Toto je Rayleigh-Jeansův zákon o radiaci . Odráží skutečně naměřenou hustotu energie na nízkých frekvencích, ale nesprávně předpovídá hustotu energie, která s vyššími frekvencemi vždy kvadraticky roste, takže dutina by musela obsahovat nekonečnou energii integrovanou na všech frekvencích ( ultrafialová katastrofa ). Problém je: Každá stávající oscilace stát pouze nese energii v průměru , ale v souladu s klasickými úvahy nekonečný počet takových oscilačních stavů jsou buzeny, které by vedly k nekonečné hustoty energie v dutině. ${\ displaystyle kT}$

Empirické řešení

Při odvozování radiačního zákona se Planck nespoléhal na Rayleighův přístup, spíše vycházel z entropie a na rovnice na zkoušku přidával různé doplňující termíny, které podle tehdejších znalostí fyziky byly nesrozumitelné - ale také jim neodporoval. Zvláště jednoduchý byl další termín, který vedl k vzorci, který velmi dobře změřil spektrální křivky, které již byly dobře změřeny (1900). Tento vzorec zůstal čistě empirický - ale správně popisoval známá experimentální měření v celém frekvenčním spektru. Ale Planck s tím nebyl spokojený. Podařilo se mu nahradit radiační konstanty a z vídeňského vzorce přírodními konstantami zůstal jen jeden faktor („pomoc“). ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$

Kvantová hypotéza

Na základě vylepšeného empirického vzorce záření dospěl Planck během několika měsíců k epochálnímu výsledku. Byla to hodina zrození kvantové fyziky. Proti vlastnímu přesvědčení musel Planck připustit, že křivku potvrzenou experimentem mohl odvodit pouze tehdy, pokud energetický výdej neprobíhal nepřetržitě, ale pouze v násobcích nejmenších jednotek na každé frekvenci. Tyto jednotky mají velikost , přičemž existuje nová základní přirozená konstanta, která byla brzy označována jako Planckovo kvantum akce . Toto je kvantová hypotéza zavedená Planckem . ${\ Displaystyle h \ nu}$${\ displaystyle h}$

V souladu s tím je pro oscilátor kmitočtu, který má být buzen, vyžadována minimální energie . Oscilátory, jejichž minimální energie jsou výrazně vyšší než průměrná tepelně dostupná energie , lze jen stěží nebo vůbec nevzrušovat, zůstávají zmrzlé . Ti, jejichž minimální energie je jen mírně nad , mohou být s určitou pravděpodobností buzeni, takže určitá část z nich svými vibračními stavy přispívá k celkovému záření dutiny. Pouze vibrační stavy s nízkou minimální energií, tj. Nižší frekvence, mohou bezpečně absorbovat nabízenou tepelnou energii a jsou buzeny podle klasické hodnoty. ${\ Displaystyle h \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle kT}$${\ Displaystyle h \ nu}$

Kvantované vibrační stavy

Statistická termodynamika ukazuje, že při použití kvantové hypotézy a Bose-Einsteinovy ​​statistiky nese stav oscilace frekvence v průměru následující energii: ${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle E (\ nu, T) \, = {\ frac {h \ nu} {\ mathrm {e} ^ {\ left ({\ frac {h \ nu} {kT}} \ right)} - 1}}}$.

Jak je známo, platí pro velmi malé ; klasický vztah tedy pokračuje pro nízké frekvence ; u vysokých frekvencí je naopak výrazně menší a rychle se blíží nule. ${\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {x} -1 \ cca x}$${\ displaystyle x}$${\ textstyle h \ nu \ ll kT}$${\ textstyle E (\ nu, T) \ zhruba kT}$${\ textstyle h \ nu \ gg kT}$${\ textstyle E (\ nu, T)}$

Takové stavy elektromagnetické oscilace s vysokými frekvencemi by mohly v dutině podle geometrických kritérií dobře existovat, ale výše uvedený vztah znamená, že je lze jen stěží excitovat průměrným přívodem tepelné energie, protože jejich práh buzení je příliš vysoký. Tyto stavy proto méně přispívají k hustotě energie v dutině. ${\ textstyle kT}$${\ textstyle h \ nu}$

Radiační zákon

Součin hustoty stavů povolených stavů oscilací a střední energie na kvantovaný stav oscilace pak již dává hustotu Planckovy energie v dutině ${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle E (\ nu, T) \,}$

${\ Displaystyle U _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} \ nu = \, {\ frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ { 3}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Protože střední energie při vysokých frekvencích klesá silněji, než se zvyšuje hustota stavů, spektrální hustota energie - jako její produkt - se opět snižuje směrem k vyšším frekvencím - poté, co prošla maximem - a celková hustota energie zůstává konečná. Planck pomocí své kvantové práce vysvětlil, proč ultrafialová katastrofa předpovídaná klasickou termodynamikou ve skutečnosti neprobíhá.

Přesně řečeno, neexistuje žádný systém v termodynamické rovnováze se zářením do místnosti, ale rovnováhu s radiačním polem lze přesto nastavit přímo na povrchu těla. Protože se tato energie pohybuje rychlostí a šíří se všemi prostorovými směry, spektrální záření se získává vynásobením hustoty energie faktorem${\ displaystyle c}$${\ textstyle c / 4 \ pi}$

${\ Displaystyle L _ {\ nu} (T) = \, {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}}}$.

význam

Planckova radiační spektra pro různé teploty

Planckova radiační spektra pro různé teploty ve dvojlogaritmickém grafu

První sousední obrázek ukazuje Planckova radiační spektra černého tělesa pro různé teploty mezi 300 K a 1 000 K v lineárním zobrazení. Typický tvar lze vidět s jasně výrazným radiačním maximem, prudkým poklesem směrem ke krátkým vlnovým délkám a delším poklesem směrem k větším vlnovým délkám. Poloha maxima záření se posune , jak vyžaduje Wienův zákon o posunu , se zvyšující se teplotou na kratší vlnové délky. Současně se podle Stefan-Boltzmannova zákona celková emisivita (radiační síla oblasti ) se čtvrtou mocností absolutní teploty na ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle P = \ sigma AT ^ {4}}$

s konstantou Stefan-Boltzmann . ${\ Displaystyle \ textstyle \ sigma \ cca 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8} \ mathrm {\ frac {W} {m ^ {2} K ^ {4}}}}$

Toto nepřiměřené zvýšení intenzity záření s rostoucí teplotou vysvětluje rostoucí význam tepelného záření s rostoucí teplotou ve srovnání s teplem vydávaným konvekcí. Tento vztah zároveň ztěžuje znázornění křivek záření ve větším teplotním rozsahu v diagramu.

Druhý obrázek proto používá logaritmické dělení pro obě osy. Zde jsou zobrazena spektra teplot mezi 100 K a 10 000 K.

Křivka pro 300 K je zvýrazněna červeně, což odpovídá typickým teplotám okolí. Maximum této křivky je 10 μm; V rozsahu kolem této vlnové délky, středního infračerveného záření (MIR), probíhá výměna záření z předmětů při pokojové teplotě. V této oblasti fungují infračervené teploměry pro nízké teploty a termografické kamery .

Křivka pro 3000 K odpovídá typickému spektru záření žárovky . Nyní je část vyzařovaného záření již emitována ve schematicky naznačeném viditelném spektrálním rozsahu . Maximum záření je však stále v blízké infračervené oblasti (NIR).

Křivka pro 5777 K, efektivní teplota slunce , je zvýrazněna žlutě . Jejich radiační maximum leží uprostřed viditelného spektrálního rozsahu. Naštěstí většina UV záření vyzařovaného sluncem se odfiltruje pomocí ozonové vrstvy v zemské atmosféře .

Planckův zákon záření je zastoupen v různých variantách vzorců, které používají veličiny pro intenzity , hustoty toku a spektrální distribuce, které jsou vhodné pro uvažovaná fakta. Všechny formy různých velikostí záření jsou pouze různými formami jednoho zákona.

Často používané vzorce a jednotky

Existuje mnoho různých variant pro matematické znázornění zákona, v závislosti na tom, zda má být zákon formulován jako funkce frekvence nebo vlnové délky, zda má být uvažována intenzita záření v určitém směru nebo záření v celém poloviční prostor, ať už je třeba uvažovat velikosti paprsků, hustoty energie nebo čísla fotonů.

Často se používá vzorec pro spektrální specifické záření černého tělesa o absolutní teplotě . Pro ně platí ${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T)}$${\ displaystyle T}$

na displeji frekvence:

${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, = {\ frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu}$

Jednotka SI : W m −2 Hz −1${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T)}$

a na displeji vlnové délky:

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2 }} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {hc / \ lambda kT} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda }$

Jednotka SI : W m −2 m −1 . ${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T)}$

${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu}$je zářivý výkon, který je vyzařován povrchovým prvkem ve frekvenčním rozsahu mezi a do celého půlprostoru. Vedle jsou Planckova konstanta , rychlost světla a Boltzmann konstanta . ${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle k}$

Pro spektrální záření platí následující:

na displeji frekvence:

${\ Displaystyle L _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d } \ Omega = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / kT} -1}} \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega}$

a na displeji vlnové délky:

${\ Displaystyle L _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, \ mathrm {d } \ Omega = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {hc / \ lambda kT} -1}} \ cos (\ beta) \ , \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, \ mathrm {d} \ Omega}$

s

${\ Displaystyle L _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d } \ Omega}$je sálavý výkon z povrchového prvku ve frekvenčním rozsahu a v tom, že mezi azimutovými úhly a a polárními úhly a prostorově rozloženým úhlovým prvkem je vyzařováno. Směrová závislost této radiační síly je dána pouze geometrickým faktorem; samotné spektrální záření je nezávislé na směru. ${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi + \ mathrm {d} \ varphi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta + \ mathrm {d} \ beta}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Omega}$${\ displaystyle \ cos}$

Při převodu mezi reprezentací frekvence a vlnové délky je třeba poznamenat, že kvůli

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {\ nu}}}$

je použitelný

${\ Displaystyle | \ mathrm {d} \ lambda | = {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}} | \ mathrm {d} \ nu | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ mathrm {d} \ nu | = {\ frac {c} {\ lambda ^ {2}}} | \ mathrm {d} \ lambda |}$.

S pomocí dvou radiačních konstant a , může být specifické spektrální záření také zapsáno ve tvaru: ${\ Displaystyle c_ {1} = 2 \ pi hc ^ {2} \,}$${\ displaystyle c_ {2} = {\ tfrac {hc} {k}}}$

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, = {\ frac {c_ {1}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {c_ {2} / \ lambda T} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda}$.

Pokud je spektrální záření integrováno na všech frekvencích nebo vlnových délkách, vypočítá se celkové záření : ${\ displaystyle L ^ {o} (T)}$

${\ Displaystyle L ^ {o} (T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} L_ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega}$

Vyhodnocení integrálních výnosů z důvodu : ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi ^ {4}} {15}}}$

${\ Displaystyle L ^ {o} (T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {2 \ pi ^ {4} k ^ {4 }} {15h ^ {3} c ^ {2}}} T ^ {4} \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega}$.

Viz také

• Šedé tělo
• Žhavé uhlíky (emise světla)
• Radiační výměna

literatura

• Hans Dieter Baehr, Karl Stephan : Přenos tepla a hmoty. 4. vydání. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40130-X (Kapitola 5: Tepelné záření).
• Dieter Hoffmann: 100 let kvantové fyziky: Černá tělesa v laboratoři . Experimentální přípravné práce pro Planckovu kvantovou hypotézu. In: Fyzické listy . páska 56 , č. 12 , 1. prosince 2000, s. 43-47 , doi : 10,1002 / phbl.20000561215 ( wiley.com [PDF; 765 kB ]). 
• Gerd Wedler: Učebnice fyzikální chemie. 4. vydání. Wiley-VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29481-3 , s. 111-114 a s. 775-779.
• Thomas Engel, Philip Reid: Fyzikální chemie. Pearson, Mnichov 2006, ISBN 3-8273-7200-3 , s. 330-332.

webové odkazy

• Planckův vzorec záření
• K historii objevu zákonů radiace
• Odvození Planckova vzorce záření podle Einsteina . (Ulmská univerzita)

Individuální důkazy

1. ↑ FACSIMILE Z JEDNÁNÍ NĚMECKÉHO FYZIKALISCHEN GESELLSCHAFT 2 (1900) s. 237: K teorii zákona o distribuci energie v normálním spektru; od M. Plancka . In: Fyzické listy . páska 4 , č. 4 , 1948, ISSN  1521-3722 , s. 146–151 , doi : 10,1002 / phbl . 19480040404 . 
2. ↑ Co je černé tělo? - α-Centauri , epizoda 129 , 3. září 2003; viz také 129 Co je černé těleso (zveřejněno na YouTube 4. května 2011, tamtéž kolem 6:20 ráno [tj. od 6 minut a 20 sekund] s: „[...] takzvané spektrum černého tělesa nebo - jak se dnes také nazývá - Planckovo spektrum [...] ")
3. ↑ Vesmír, část 1: Astrofyzika - Harald Lesch , 2011
4. ↑ Na rozdíl od populárních reprezentací, Rayleigh-Jeansův zákon a ultrafialová katastrofa nehrály při Planckově objevu radiačního zákona žádnou roli. Fyzicky nesmyslná divergence Rayleigh-Jeansova zákona při vysokých frekvencích záření byla poprvé popsána v roce 1905 (nezávisle na sobě) Einsteinem, Rayleighem a Jeansem. Pojem „ultrafialová katastrofa“ poprvé použil Paul Ehrenfest v roce 1911 (viz Paul Ehrenfest: Které vlastnosti kvantové hypotézy světla hrají zásadní roli v teorii tepelného záření? In: Annalen der Physik . Volume 341 , č. 11. ledna 1911, s. 91-118 , doi : 10,1002 / andp.19113411106 .  )
5. ↑ D. Giulini, N. Straumann: „... moc jsem o tom nepřemýšlel ...“ Planckova zvláštní cesta k radiaci . In: Fyzické listy . páska 56 , č. 12 , 2000, s. 37-42 , arxiv : quant-ph / 0010008 . 
6. ↑ z. BA Unsöld, B. Baschek: Nový vesmír . 6. vydání, Springer, Berlín 1999, s. 110.
7. ↑ H. Karttunen, P. Kröger, H. Oja, M. Poutanen, KJ Donner: Fundamentální astronomie . 3. vydání, Springer, 2000, s. 119.