Paschenův zákon

Jako aproximační vzorec popisuje Paschenův zákon experimentálně zjištěný vztah mezi průrazným napětím , tlakem plynu a vzdáleností, prostorovou vzdáleností mezi elektrodami . Experimentálně to určil Friedrich Paschen v roce 1889 a později je teoreticky popsal John Sealy Townsend .

Obsah zákona

Průběh zapalovacího napětí  U nebo „V“ přes tlak  p krát vzdálenost  d pro různé plyny ve dvojitém logaritmickém zobrazení

Paschenův zákon stanoví, že průrazné napětí je funkcí součinu tlaku plynu a úderné vzdálenosti, pokud jsou splněny podmínky pro Townsendův mechanismus, tj. Je přítomno převážně homogenní pole a zanedbatelný prostorový náboj . Rovnice, kterou John Sealy Townsend nejprve odvodil, je

${\ displaystyle U = pd \ cdot {\ frac {B} {\ ln (pd \ cdot A) - \ ln {\ Big (} \! \ ln (1+ \ gamma ^ {- 1}) {\ Big) }}}}$

ve kterém

• ${\ displaystyle p}$ tlak plynu,
• ${\ displaystyle d}$ mezera mezi elektrodami,
• ${\ displaystyle \ gamma}$koeficient 3.  Townsend a
• ${\ displaystyle A}$a konstanty odvozené níže${\ displaystyle B}$

zastupovat.

Paschenova křivka je grafickým znázorněním Paschenova zákona. Má minimum pro malé hodnoty, což je přibližně 7,3 bar · µm pro vzduch při 340 V a přibližně 3,5 bar · µm pro SF ₆ při 507 V. Nad minimem se hovoří o dlouhém pronikání. Tam se křivka chová lineárně . V této oblasti je tlakem snížena buď intenzita pole způsobená poklesem napětí, nebo střední volná dráha částic. Pod tímto, v tzv. Blízkém zhroucení, průrazné napětí opět prudce stoupá. Je to proto, že vzdálenost je příliš malá nebo je příliš nízký tlak pro nárazovou ionizaci . Při nárazové ionizaci již není možné. ${\ displaystyle pd}$${\ displaystyle Bpd}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle d \ leq \ lambda}$

Existují však náznaky, že Paschenova křivka není platná pod 3 µm a že průrazné napětí nadále klesá.

Fyzické pozadí

Kromě dokonalého vakua jsou mezi dvěma elektrodami vždy atomy a několik volných elektronů a iontů. Nabité částice jsou urychlovány pomocí elektrického pole mezi elektrodami. Ionty jsou mnohem těžší a větší než elektrony, takže se zrychlují jen pomalu a rychle se znovu srazí s jinými atomy nebo ionty. Elektrony však lze zrychlit na rychlost, která jim dává dostatek energie k ionizaci , když zasáhnou atom (nárazová ionizace). Výsledné volné elektrony jsou zase zrychleny a generují ještě více volných elektronů, takže nastává lavinový efekt .

K elektrickému zhroucení dochází nejdříve, když jsou volné elektrony zrychleny na energii dostatečnou k ionizaci alespoň jednoho atomu na cestě k anodě. Aplikované napětí proto musí dosáhnout určité hodnoty, která se nazývá průrazné napětí. To samozřejmě závisí na ionizační energii atomů plynu. Dosažitelná energie elektronu závisí na jeho střední volné dráze, vzdálenosti, kterou urazí, než zasáhne atom. Čím delší je tato cesta, tím vyšší je energie z akcelerace. Volná cesta závisí na velikosti atomů a jejich hustotě, tj. Také na teplotě a tlaku.

Hodnoty konstant

Typické hodnoty pro konstanty A a B některých plynů:

plyn		A. ${\ textstyle {\ Big (} \ mathrm {\ tfrac {1} {Pa \, m}} {\ Big)}}$	B. ${\ textstyle {\ Big (} \ mathrm {\ tfrac {V} {Pa \, m}} {\ Big)}}$	doba platnosti ${\ textstyle {\ tfrac {E} {p}}}$ ${\ textstyle {\ Big (} \ mathrm {\ tfrac {V} {Pa \, m}} {\ Big)}}$	zdroj
vzduch		10,95	273,8	075-600
dusík	N 2	09,00	256,5	075-450
vodík	H 2	03,83	104.1	015-450
hélium	Ahoj	02.25	025.5	015-100
argon	Ar	10.20	176,3	075-450
oxid uhličitý	CO 2	3 hodiny odpoledne.	349,5	375-750

Derivace

Základy

Pro výpočet průrazného napětí se předpokládá deskový kondenzátor s roztečí desek . Katoda je v bodě . Lze tedy předpokládat homogenní elektrické pole mezi deskami. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle x = 0}$

Pro nárazovou ionizaci je nezbytným předpokladem, aby byla elektronová energie větší než ionizační energie atomů plynu umístěných mezi deskami. Počet ionizací nastane na délku dráhy . je známý jako první Townsendův koeficient, protože jej zavedl Townsend v sekci 17. Změnu proudu elektronů lze tedy popsat pro strukturu deskového kondenzátoru následovně: ${\ displaystyle E_ {e}}$${\ displaystyle E_ {I}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Gamma _ {e}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {e} (x = d) = \ gama _ {e} (x = 0) \, \ mathrm {e} ^ {\ alfa d} \ qquad \ qquad (1)}$

(Počet volných elektronů na anodě je počet volných elektronů na katodě, který se zvýšil v důsledku nárazové ionizace. Čím větší a / nebo je, tím více volných elektronů se generuje.) ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ alpha}$

Počet volných elektronů generovaných během výboje je

${\ displaystyle \ Gamma _ {e} (d) - \ Gamma _ {e} (0) = \ Gamma _ {e} (0) \ left (\ mathrm {e} ^ {\ alpha d} -1 \ right ) \ qquad \ qquad (2)}$

Když zanedbáme, že atomy mohou být ionizovány několikrát, počet generovaných iontů se rovná počtu generovaných volných elektronů:

${\ displaystyle \ Gamma _ {i} (0) - \ Gamma _ {i} (d) = \ Gamma _ {e} (0) \ left (\ mathrm {e} ^ {\ alpha d} -1 \ right ) \ qquad \ qquad (3)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {i}}$je proud iontů. Aby výboj okamžitě nezhasl, musí být na povrchu katody generovány volné elektrony. To je možné, protože ionty při dopadu na katodu vyřadí sekundární elektrony. (Při velmi vysokých napětích může také docházet k emisi pole .) Lze psát bez emise pole

${\ displaystyle \ Gamma _ {e} (0) = \ gamma \, \ Gamma _ {i} (0) \ qquad \ qquad (4)}$

kde je počet elektronů, které dopadající iont vyřízne v řezu. Toto je známé jako třetí Townsendův koeficient. Předpokládejme, že vztah mezi Townsendovými koeficienty je získán zapojením (4) do (3) a jeho transformací: ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Gamma _ {i} (d) = 0}$

${\ displaystyle \ alpha d = \ ln \ vlevo (1 + {\ frac {1} {\ gamma}} \ vpravo) \ qquad \ qquad (5)}$

Rázová ionizace

Otázkou nyní je, jak velká je. Počet ionizací závisí na tom, jak je pravděpodobné, že elektron zasáhne iont. Tato pravděpodobnost je poměrem průřezu srážky mezi elektronem a iontem ve vztahu k celkové dostupné ploše, kterou může elektron létat: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle P = {\ frac {N \ sigma} {A}} = {\ frac {x} {\ lambda}} \ qquad \ qquad (6)}$

Jak objasňuje druhá část rovnice, pravděpodobnost lze také vyjádřit jako poměr vzdálenosti překonané elektronem k střední volné dráze (před opětovnou ionizací). ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Ilustrace průřezu : Pokud střed částice b pronikne do modrého kruhu, narazí do částice a . Plocha kruhu je tedy průřezem a jeho poloměr je součtem poloměrů částic.${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle N}$je počet elektronů, protože každý může kolidovat. Číslo lze vypočítat pomocí stavové rovnice ideálního plynu

${\ displaystyle pV = Nk _ {\ mathrm {B}} T \ qquad \ qquad (7)}$

( : Tlak : Objem : Boltzmannova konstanta , : Teplota)${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle T}$

vyjádřit. Jak ukazuje sousední skica, je . Protože poloměr elektronu může být zanedbán ve srovnání s poloměrem iontu , zjednodušuje se na . Pokud použijete tento vztah, vložte (7) do (6) a transformujte jej , dostanete ${\ displaystyle \ sigma = \ pi (r_ {a} + r_ {b}) ^ {2}}$${\ displaystyle r_ {I}}$${\ displaystyle \ sigma = \ pi r_ {I} ^ {2}}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {\ pi r_ {I} ^ {2} p}} = {\ frac {1} {Lp}} \ qquad \ qquad (8.)}$

faktor byl zaveden pouze kvůli jasnosti. ${\ displaystyle L}$

Změnu proudu elektronů, které se ještě nesrazily v každém waypointu, lze popsat jako ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Gamma _ {e} (x) = - \ Gamma _ {e} (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ lambda _ {e}}} \ qquad \ qquad (9)}$

vyjádřit. Tuto diferenciální rovnici lze snadno vyřešit:

${\ displaystyle \ Gamma _ {e} (x) = \ Gamma _ {e} (0) \, \ exp {\ left (- {\ frac {x} {\ lambda _ {e}}} \ vpravo)} \ qquad \ qquad (10)}$

Pravděpodobnost, že v tomto okamžiku ještě nedošlo k žádnému šoku, je ${\ displaystyle \ lambda> x}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle P (\ lambda> x) = {\ frac {\ gama _ {e} (x)} {\ gama _ {e} (0)}} = \ exp {\ vlevo (- {\ frac {x } {\ lambda _ {e}}} \ vpravo)} \ qquad \ qquad (11)}$

Podle jeho definice je počet ionizací na délku dráhy a tedy poměr pravděpodobnosti, při které ke střední srážkové dráze iontů ke střední volné dráze elektronů ještě nedošlo ke srážce, je: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {P (\ lambda> \ lambda _ {I})} {\ lambda _ {e}}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {e}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ lambda _ {I}} {\ lambda _ {e}}} \ right) = {\ frac {1} {\ lambda _ {e}}} \ exp \ left (- { \ frac {E_ {I}} {E_ {e}}} \ vpravo) \ qquad \ qquad (12)}$

Uvažovalo se o tom, že energie, kterou může nabitá částice absorbovat mezi dvěma srážkami, závisí na síle elektrického pole a náboji : ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle E = \ lambda Q {\ mathcal {E}} \ qquad \ qquad (13)}$

Průrazné napětí

Pro deskový kondenzátor , kde je aplikované napětí, platí následující. Protože se předpokládala jednoduchá ionizace, jedná se o základní náboj . Nyní lze vložit (13) a (8) do (12) a získat ${\ displaystyle E = {\ frac {U} {d}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle e}$

${\ displaystyle \ alpha = L \ cdot p \, \ exp \ vlevo (- {\ frac {L \ cdot p \ cdot d \ cdot E_ {I}} {eU}} \ vpravo) \ qquad \ qquad (14) }$

Pokud to vložíte do (5) a transformujete , dostanete Paschenův zákon pro průrazné napětí , který byl nejprve prozkoumán Paschenem a jehož rovnice byla poprvé odvozena od Townsenda v, část 227: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U _ {\ mathrm {carbon copy}}}$

${\ displaystyle U _ {\ mathrm {Durchschlag}} = {\ frac {L \ cdot p \ cdot d \ cdot E_ {I}} {e \ left (\ ln (L \ cdot p \ cdot d) - \ ln \ left (\ ln \ left (1+ \ gamma ^ {- 1} \ right) \ right) \ right)}} \ qquad \ qquad (15)}$

S ${\ displaystyle \ textstyle L = {\ frac {\ pi r_ {I} ^ {2}} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}$

Konstanty vysvětlené na začátku a jsou tedy: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ textstyle A = L = {\ frac {\ pi r_ {I} ^ {2}} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}$

${\ displaystyle \ textstyle B = {\ frac {L \ cdot E_ {I}} {e}} = {\ frac {\ pi r_ {I} ^ {2} E_ {I}} {Tk _ {\ mathrm { B}} e}}}$

Plazmové zapalování

Plazmové zapalování, jak je definováno Townsendem (Townsendův výboj), znamená, že plazma dosáhne bodu, kde hoří sama, bez ohledu na externí zdroj volných elektronů. To znamená, že elektrony katody dosahují na anodu na dálku a na cestě tam musí mít ionizovaný alespoň jeden atom. Podle definice musí být tento vztah splněn: ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha d \ geq 1 \ qquad \ qquad (16)}$

Pokud někdo použije místo (5), dostane za průrazné napětí ${\ displaystyle \ alpha d = 1}$

${\ displaystyle U _ {\ text {Návrh Townsend}} = {\ frac {L \ cdot p \ cdot d \ cdot E_ {I}} {e \ cdot \ ln (L \ cdot p \ cdot d)}} = {\ frac {d \ cdot E_ {I}} {e \ cdot \ lambda _ {e} \, \ ln \ left ({\ frac {d} {\ lambda _ {e}}} \ right)}} \ qquad \ qquad (17)}$

Závěr / platnost

Paschenův zákon to proto předpokládá

• na katodě jsou již před zapálením ( ) volné elektrony , které lze urychlit a spustit nárazovou ionizaci. Takzvané očkovací elektrony lze generovat ionizací kosmickým zářením .${\ displaystyle \ Gamma _ {e} (x = 0) \ neq 0}$
• ke generování dalších volných elektronů dochází pouze nárazovou ionizací. Paschenův zákon se nepoužije, pokud jsou přítomny externí zdroje elektronů. To může např. B. být světlo, které generuje sekundární elektrony prostřednictvím fotoelektrického jevu . Toto je třeba vzít v úvahu při experimentech.
• ionizovaný atom vede pouze k jednomu volnému elektronu. V praxi však vždy dochází k vícenásobným ionizacím.
• volné elektrony jsou generovány na povrchu katody dopadajícími ionty. Počet elektronů generovaných v procesu je však silně závislý na materiálu katody, jeho povrchových vlastnostech ( drsnost , nečistoty) a okolních podmínkách (teplota, vlhkost atd.). Experimentální stanovení faktoru je proto stěží možné reprodukovatelným způsobem.${\ displaystyle \ gamma}$
• elektrické pole je homogenní.

Individuální důkazy

1. ↑ ^{a b} F. Paschen, „O rozdílu potenciálu potřebném pro přenos jisker ve vzduchu, vodíku a kyselině uhličité při různých tlacích,“ Annalen der Physik, sv. 273, č. 5 , str. 69 - 96, 1889. doi: 10,1002 / a str. 18892730505
2. ^ ^{A b} J. Townsend: Elektřina v plynech. Clarendon Press, 1915.
3. ↑ Andreas Küchler: Vysokonapěťová technologie . 2. vydání. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-78412-8 , str. 159 . 
4. ↑ Kapesní kniha technologie elektrické energie: se 102 tabulkami . ISBN 3-446-40475-9 , str. 289 ( omezený náhled ve Vyhledávání knih Google). 
5. ↑ Emmanouel Hourdakis, Brian J. Simonds a Neil M. Zimmerman: Submikronový mezerový kondenzátor pro měření průrazného napětí ve vzduchu . In: Rev.Sci. Instrum. . 77, č. 3, 2006, s. 034702. doi : 10,1063 / 1,2185149 .
6. ^ Jane Lehr, Pralhad Ron: Elektrické poruchy v plynech . In: Základy technologie pulzního napájení . John Wiley & Sons, Inc., 2017, ISBN 978-1-118-88650-2 , str. 369-438 , doi : 10,1002 / 9781118886502.ch8 ( wiley.com [přístup 14. září 2017]). 
7. ^ J. Townsend: Teorie ionizace plynů srážkou . Constable, 1910.