Multiplikátorová algebra

Multiplikátor algebra , vychází z anglického výrazu také volal multiplikátor algebra , je koncept z matematické teorie C * algebry . Jde o maximální vložení C * -algebry jako základního oboustranného ideálu do C * -algebry s jedním prvkem.

Definice

Centralizátory

Nechť je to C * -algebra. Lineární mapování se nazývá levý nebo pravý centralizátor , pokud existuje ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ rho: A \ pravá šipka A}$

${\ displaystyle \ rho (ab) = \ rho (a) b}$nebo pro každého .${\ displaystyle \ rho (ab) = a \ rho (b)}$${\ displaystyle a, b \ v A}$

Dvojitý středící je dvojice , kde ${\ displaystyle (\ rho _ {1}, \ rho _ {2})}$

• ${\ displaystyle \ rho _ {1}}$ je legální centralizátor,
• ${\ displaystyle \ rho _ {2}}$ je levý centralizátor a
• ${\ displaystyle \ rho _ {1} (a) b = a \ rho _ {2} (b)}$pro každého .${\ displaystyle a, b \ v A}$

Multiplikátory

Nyní představíme koncept multiplikátoru, jehož definice vyžaduje Hilbertův prostor . Pojem multiplikátor pak budeme vztahovat k centralizátorům, abychom zajistili nezávislost na volbě Hilbertova prostoru.

Podle na Gelfand-Neumark teorém, C * algebra lze chápat bez omezení jako C * -subalgebra algebry obsluhy z ohraničených , lineárních operátorů na Hilbertova prostoru , tak, že pouze se vztahuje na všechny . Jeden pak říká, pracujte nedegenerovaným způsobem . Operátor se nazývá levý nebo pravý multiplikátor , pokud a . Bilaterální multiplikátor, nebo jednoduše multiplikátor, je operátor, který je levým i pravým multiplikátorem. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B (H)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle a \ xi = 0}$${\ displaystyle a \ v A}$${\ displaystyle \ xi = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle x \ v B (H)}$${\ displaystyle xA \ podmnožina A}$${\ displaystyle Ax \ podmnožina A}$${\ displaystyle B (H)}$

Pokud existuje levý nebo pravý multiplikátor, pak je levý nebo pravý centralizátor dán nebo samozřejmě. Pokud je multiplikátor, pak je to centralizátor. Lze ukázat, že v této situaci jsou mapování bijektivní funkce množiny všech levých, pravých nebo oboustranných multiplikátorů na množině všech levých, pravých nebo dvojitých centralizátorů. Zejména multiplikační výrazy nezávisí na volbě Hilbertova prostoru, na kterém nedegenerovaný funguje. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ rho _ {x} (a): = xa}$${\ displaystyle {\ tilde {\ rho}} _ {x} (a): = sekera}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle ({\ tilde {\ rho}} _ {x}, \ rho _ {x})}$${\ displaystyle x \ mapsto \ rho _ {x}, x \ mapsto {\ tilde {\ rho}} _ {x}, x \ mapsto ({\ tilde {\ rho}} _ {x}, \ rho _ { X})}$ ${\ displaystyle A}$

Sada všech multiplikátorů je samozřejmě C * -algebra, nazývá se multiplikátorová algebra . Podle návrhu je oboustranný ideál . je dokonce základní ideál v , to znamená, že má průměr odlišný od 0, přičemž každý oboustranný ideál se liší od 0. ${\ displaystyle M (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M (A)}$${\ displaystyle A}$

Přísná topologie

Kromě standardní topologie se na multiplikační algebře uvažuje také o tzv. Přísné topologii . Toto je lokálně konvexní topologie, která je generována všemi semi-normami . ${\ displaystyle M (A)}$${\ displaystyle p_ {a} (x): = \ | ax \ | + \ | xa \ |, a \ v A}$

Příklady

• Pokud má jednotka 1, pak je , protože pak platí pro každého levého multiplikátora .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M (A) = A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = x1 \ v A}$
• Pokud je C * -algebra kompaktních operátorů nad Hilbertovým prostorem , pak je .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle M (K) = W (H)}$
• Dovolit být komutativní C * algebra z C ₀ -functions na místně kompaktní Hausdorff prostoru . Pak je izomorfní s C * -algebrou omezených spojitých funkcí a toto je opět izomorfní s C * -algebrou spojitých funkcí na Stone-Čechově zhutnění . Je dobře známo, že zhutňování Stone-Čech je podle své univerzální vlastnosti „největším“ zhutňováním. Pro případ obecných C * algeber platí následující zobecnění této topologické skutečnosti:${\ displaystyle A = C_ {0} (X)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M (A)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C (\ beta X)}$ ${\ displaystyle \ beta X}$

• Pokud je C * -algebra, což je oboustranný, základní ideál v C * -algebře , pak existuje injektivní * -homomorfismus, jehož omezení se týká identity .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B \ rightarrow M (A)}$${\ displaystyle A}$

Přechod k multiplikační algebře lze tedy popsat jako „nekomutativní Stone-Čechovu zhutnění“.

• Pokud s lokálně kompaktním Hausdorffovým prostorem a C * -algebrou , pak je izomorfní k C * -algebře všech spojitých funkcí , přičemž nese přísnou topologii.${\ displaystyle A = C_ {0} (X) \ mnohokrát B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle M (A)}$${\ displaystyle \ beta X \ rightarrow M (B)}$${\ displaystyle M (B)}$

Více termínů

Pokud se C * -algebra nazývá vnější algebra. Vnější algebra C * algebry kompaktních operátorů je Calkinova algebra . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Q (A): = M (A) / A}$${\ displaystyle K}$

Vzhledem k tomu, že multiplikátorová algebra C * -algebry s jednotkovým prvkem nepřináší nic nového, musíte nejprve tenzorovat, abyste se dostali k C * -algebře bez jednotkového prvku, a poté vytvořit multiplikační algebru nebo vnější algebru: ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle M ^ {s} (A): = M (A \ otimes K)}$, .${\ displaystyle Q ^ {s} (A): = Q (A \ otimes K)}$

Toto se nazývá stabilní multiplikátorová algebra nebo stabilní vnější algebra. Stabilita hraje důležitou roli v K-teorii C * algeber. Platí následující:

• Pro každou C * -algebra je a , kde 0 označuje triviální jednoprvkovou skupinu . Stručně řečeno: K skupiny stabilní multiplikační algebry zmizí.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K_ {0} (M ^ {s} (A)) = 0}$${\ displaystyle K_ {1} (M ^ {s} (A)) = 0}$

Jako aplikaci ukážeme

${\ displaystyle K_ {i} (A) \ cong K_ {1-i} (Q ^ {s} (A)), \, i = 0,1}$

K tomu vezmeme v úvahu ten z krátké přesné sekvence

${\ displaystyle 0 \ rightarrow A \ otimes K \ rightarrow M ^ {s} (A) \ rightarrow Q ^ {s} (A) \ rightarrow 0}$

Cyklická přesná sekvence získaná pomocí Bottovy periodicity

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccc} K_ {0} (A \ otimes K) & \ rightarrow & K_ {0} (M ^ {s} (A)) & \ rightarrow & K_ {0} (Q ^ { s} (A)) \\\ uparrow &&&& \ downarrow \\ K_ {1} (Q ^ {s} (A)) & \ leftarrow & K_ {1} (M ^ {s} (A)) & \ leftarrow & K_ {1} (A \ otimes K) \\\ end {array}}}$

Vzhledem k tomu, že střední skupiny každého řádku zmizí podle výše uvedené věty, musí být vertikální šipky kvůli přesnosti izomorfismy. Vzhledem k tomu, že K-teorie je neměnná vůči stabilizaci, to znamená, platí , následuje výše uvedené tvrzení. ${\ displaystyle K_ {i} (A) \ cong K_ {i} (A \ otimes K), \, i = 0,1}$

Individuální důkazy

1. ↑ Gert K. Pedersen: C * -Algebry a jejich automorfické skupiny , Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5 , oddíl 3.12.1
2. ^ Gert K.Pedersen : C * -Algebry a jejich automorfické skupiny , Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5 , Věta 3.12.3
3. ^ Gert K.Pedersen : C * -Algebry a jejich automorfické skupiny , Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5 , věta 3.12.8
4. ^ C. Akemann, G. Pedersen, J Tomiyama: Multiplikátoři C * -algebry , Jornal of Functional Analysis, svazek 13 (1973), strany 277-301
5. ^ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras , Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X , Theorem 12.2.1
6. ^ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras , Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X , Dodatek 12.2.3