Souřadnicový systém

Souřadný systém se používá k jasnému popisu bodů pomocí čísel, souřadnic . Nejjednodušší příklady jsou číselná řada a kartézské souřadnice v rovině . V prvním případě je reálné číslo přiřazeno bodu na přímce. Ve druhém případě je bod v rovině popsán dvěma reálnými čísly.

Souřadnice jsou v různých oblastech matematiky a fyziky označovány odlišně . Souřadnice prvku ( vektoru ) konečného trojrozměrného vektorového prostoru se nazývají jeho komponenty, souřadnice v produktu množin jsou projekce na jeden z faktorů. Často existuje nekonečné množství možností pro zavedení souřadnicového systému. V příkladu číselné řady máte libovolný počet možností pro výběr bodu, ke kterému má být přiřazena souřadnice 0. Situace je v letadle ještě komplikovanější. I po výběru bodu, který přijímá souřadnici , lze jako osy souřadnic vybrat jakoukoli (odlišnou) dvojici číselných čar v tomto bodě . ${\ displaystyle (0,0)}$

V závislosti na povaze sady, pro kterou chcete zvolit souřadnicový systém, potřebujete také více než jednu nebo dvě souřadnice. Uspořádaná množina souřadnic se obvykle označuje jako n-tice . Bod číselné řady se souřadnicí 0 a bod roviny se souřadnicemi nebo označeným bodem množiny, jejíž všechny souřadnice jsou 0, se nazývá počátek souřadnic (ve zkratce: počátek ). ${\ displaystyle (0,0)}$

Kromě široce používaných kartézských souřadnic existují ještě další způsoby definování souřadnicových systémů. Například pokud chcete vložit souřadnice do kruhové oblasti , byly by vhodné také polární souřadnice . Středem kruhu by pak byl počátek a každý bod kruhové oblasti by byl jasně popsán určením vzdálenosti od středu a úhlu. V tomto případě lze ve srovnání s kartézskými souřadnicemi interpretovat jako délku pouze jednu ze dvou souřadnic. Dalším příkladem je šachovnice . Zde se k pojmenování polí na tabuli používá kombinace písmen a přirozených čísel .

V mnoha situacích je nemožné zavést dostatečně smysluplné a pohodlné globální souřadnice na celou sadu. Například na rozdíl od těch v rovině nelze body na sférické ploše přenést do souvislé osobní korespondence s dvojicemi čísel. Proto byl představen koncept lokálních souřadnic . Jedná se například o situaci v teorii potrubí .

Termín souřadnice - ve smyslu „informace o poloze“ - byl vytvořen v 18. století ze slova ordinate (vertical).

Společné souřadnicové systémy

Číselná řada

Nejjednodušším příkladem souřadnicového systému je identifikace bodů na přímce s přímkou ​​reálného čísla. V tomto systému je zvolen libovolný bod O ( počátek ) na dané přímce. Souřadnice bodu P je definována jako znaménková vzdálenost od O do P , přičemž znaménková vzdálenost se považuje za kladnou nebo zápornou, v závislosti na tom, která strana přímky P leží. Každý bod má jedinečnou souřadnici a každé reálné číslo je souřadnicí jedinečného bodu.

Kartézský souřadnicový systém

Jedním z nejznámějších příkladů souřadnicového systému je kartézský souřadný systém. V rovině jsou vybrány dvě kolmice a souřadnice bodu jsou interpretovány jako vzdálenosti se znaménkem k přímce. Ve třech rozměrech si člověk vybere tři vzájemně kolmé roviny a tři souřadnice bodu jsou znaménkové vzdálenosti ke každé z rovin. To lze zobecnit pro generování n- souřadnic pro libovolný bod v n -dimenzionálním euklidovském prostoru.

Je pojmenován po latinizovaném jménu Cartesius francouzského matematika Reného Descartese , který oznámil koncept „kartézských souřadnic“. V závislosti na uspořádání souřadnicových os může být trojrozměrný souřadný systém pravý nebo levý systém.

Afinní souřadnicový systém

Pokud jeden vybere tři body v euklidovské rovině, které nejsou na přímce, jsou dva vektory lineárně nezávislé. S bodem jako počátkem lze vektor polohy libovolného bodu zapsat takto: ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P}}}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P}} = u {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}} + v {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$

a přiřadit dvojici čísel k bodu jako afinní souřadnice vzhledem k základním bodům . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (u, v) _ {a}}$ ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$

V případě, že vektory tvoří s ortonormální báze , kartézské souřadnice uvedeno výše výsledek. V tomto případě jsou pro bod množinové body a přímky, které se protínají kolmo. Pokud základní vektory nejsou kolmé (viz obrázek), hovoří se o šikmých souřadnicích . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {1}}}, {\ overrightarrow {P_ {0} P_ {2}}}}$${\ displaystyle (u_ {0}, v_ {0}) _ {a}}$${\ displaystyle u = u_ {0}}$${\ displaystyle v = v_ {0}}$

Příslušně jsou vysvětleny afinní souřadnice pro vyšší dimenze . Definování souřadnic tímto způsobem je možné pro jakýkoli n-dimenzionální afinní prostor nad tělem, takže není omezen na euklidovský prostor.

Polární souřadnice

Dalším často používaným souřadným systémem je systém polárních souřadnic. To lze zavést pouze v rovině. Pro trojrozměrný prostor existují dvě různé zobecnění: sférické a válcové souřadnice. Na rozdíl od výše zmíněných systémů tento souřadný systém a jeho dvě zobecnění nejsou zvláštními případy afinních souřadnicových systémů.

Pro definici tohoto souřadnicového systému je jako pól zvolen bod a jako polární osa paprsek z tohoto bodu. Pro daný úhel existuje jediná čára procházející pólem, jejíž úhel je s polární osou (měřeno proti směru hodinových ručiček od osy k přímce). Pak je na této přímce jediný bod, jehož vzdálenost od počátku je hodnota . Pro danou dvojici souřadnic existuje jeden bod, ale každý bod je reprezentován mnoha dvojicemi souřadnic. Například a jsou polární souřadnice pro stejný bod. Pól je reprezentován pro jakoukoli hodnotu . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (r, \ phi)}$${\ displaystyle (r, \ phi)}$${\ displaystyle (r, \ phi +2 \ pi)}$${\ displaystyle (0, \ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$

Sférické a válcové souřadnice

Existují dvě běžné metody prodloužení polárních souřadnic pro trojrozměrný prostor.

V případě válcového souřadného systému se k polárním souřadnicím přidá souřadnice z se stejným významem jako v případě kartézských souřadnic , což má za následek trojnásobek . ${\ displaystyle (r, \ phi)}$${\ displaystyle (r, \ phi, z)}$

V případě sférických souřadnic nebo prostorových polárních souřadnic je bod v trojrozměrném prostoru určen jeho vzdáleností od počátku a dvěma úhly. Známý příklad systému sférických souřadnic je systém zeměpisných souřadnic , pomocí kterého Země do délky a šířky je rozdělena. Třetí souřadnice, vzdálenost od středu Země, není v tomto systému relevantní.

Eliptické souřadnice

Eliptické souřadnice používají kolmo protínající se systémy konfokálních elips a hyperbolas. Tyto souřadnice nejsou definovány pro kontaktní body a body mezi nimi.

Souřadnice elipsoidu odpovídají (rovinným) eliptickým souřadnicím . Zde použitý ortogonální povrchový systém se skládá z konfokálních elipsoidů, jednoplášťových a dvouplášťových hyperboloidů.

Dále existují elipsoidní souřadnice , které se používají k popisu bodů rotačního elipsoidu (Země).

Parametrické znázornění

Parametrické reprezentace povrchů lze považovat za souřadnicové systémy těchto povrchů. Například parametrická reprezentace roviny, obvyklá parametrická reprezentace sférické plochy s geografickou délkou a šířkou nebo parametrická reprezentace elipsoidu .

Místní souřadnicový systém

Místní souřadný systém nebo (souřadnicová) mapa je souřadnicový systém pro podmnožinu geometrického objektu. Koncept souřadnicových map je ústřední pro teorii potrubí . Rozdělovač je geometrický objekt, takže pro každý bod existuje místní souřadný systém, který je kompatibilní se sousedními souřadnými systémy. Přesněji řečeno, je koordinovat mapa je homeomorphism z otevřené podmnožiny prostoru na otevřeném podmnožina of . Často není možné zajistit jednotný souřadný systém pro celou místnost. V tomto případě je soubor souřadnicových map sestaven tak, aby vytvořil atlas, který pokrývá celý prostor.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Jsou například křivočarého ortogonálních souřadnicích (polárních souřadnicích, eliptické souřadnic, ...) na úrovni a určení v bodě, v tangenciálním směru z křivek a a normalizuje to, získáme lokální bázi vektorů , které mohou být použity pro lokální souřadnici Systém. U polárních souřadnic ukazuje jeden vektor ve směru poloměru a druhý ve směru tečny kružnice . Zde si lze představit, že místní systém vznikl z globálního systému jeho posunutím a vhodným otočením. ${\ displaystyle (u, v) _ {c}}$${\ displaystyle P_ {0} = (u_ {0}, v_ {0}) _ {c}}$${\ displaystyle v = v_ {0}}$${\ displaystyle u = u_ {0}}$${\ displaystyle P_ {0}}$

V prostoru jeden určuje tečných vektorů na základě křivek jít přes bod , a normalizuje je. ${\ displaystyle P_ {0} = (u_ {0}, v_ {0}, w_ {0}) _ {c}}$${\ displaystyle (u, v_ {0}, w_ {0}) _ {c}}$${\ displaystyle (u_ {0}, v, w_ {0}) _ {c}}$${\ displaystyle (u_ {0}, v_ {0}, w) _ {c}}$

Transformace souřadnic

Transformace souřadnic se používají k převodu souřadnic jednoho systému na souřadnice jiného systému.

Homogenní souřadnice v rovině

Euklidovskou rovinu lze také popsat pomocí homogenních souřadnic . Tři homogenní souřadnice jsou přiřazeny bodu takovým způsobem, který platí pro všechny z nich . Standardní mapování je . Pokud jeden nastaví, získá barycentrické souřadnice . Velkou výhodou homogenních souřadnic je, že lze snadno popsat body na dálkové přímce: ve standardním případě rovnicí , v barycentrickém případě rovnicí . Úvahy o mezní hodnotě nezbytné pro afinní souřadnice jsou ve standardním případě pro jednoduché nastavení . ${\ displaystyle P = (x, y)}$${\ displaystyle (x_ {1}: x_ {2}: x_ {3})}$${\ displaystyle P = (cx_ {1}: cx_ {2}: cx_ {3})}$${\ displaystyle c \ neq 0}$${\ displaystyle P = (x: y: 1)}$${\ displaystyle P = (x: y: 1-xy)}$${\ displaystyle x_ {3} = 0}$${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = 0}$${\ displaystyle x_ {3} = 0}$

V trojúhelníkové geometrii se použijí také trilineární souřadnice .

Jiné souřadnicové systémy

Některé souřadnicové systémy, které se používají pouze ve specializovaných oblastech (např. Geodézie , kartografie , geografie , dálkový průzkum Země , astronomie , amatérské rádio ), jsou:

• Setrvačný systém
• Geografický souřadnicový systém
• Pájecí souřadnicový systém
• Gauss-Krügerův souřadnicový systém
• UTM souřadnicový systém
  • Referenční systém UTM také MGRS
• Astronomické souřadnicové systémy , jako ekliptikální nebo galaktické
• Paralelní souřadnice
• Pohybující se souřadnicové systémy
• Rotující souřadnicové systémy
• Souřadnicový systém vozidla
• Světový souřadnicový systém
• QTH lokátor (amatérské rádio)
• Námořní čtverce a mřížky (z druhé světové války)

webové odkazy

• Jednoduché a srozumitelné vysvětlení (většinou prostřednictvím ilustrací)
• Eric W. Weisstein : Souřadnicový systém . In: MathWorld (anglicky).

Individuální důkazy

1. ^ Etymologie podle Kluge Etymologický slovník německého jazyka , 24. vydání, 2002.
2. ^ James B. Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson: College Algebra . Vyd.: Brooks Cole . 5. vydání. 2008, ISBN 978-0-495-56521-5 , str. 13-19 . 
3. ↑ Kartézské souřadnice . In: Guido Walz (ed.): Lexicon of Mathematics . 1. vydání. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
4. ^ Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner-Verlag, Lipsko, 1979, ISBN 3 87144 492 8 , s. 606
5. ↑ Složité potrubí . In: Guido Walz (ed.): Lexicon of Mathematics . 1. vydání. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
6. ^ John M. Lee: Úvod do plynulých potrubí (= postgraduální texty v matematice 218). Springer-Verlag, New York NY a kol. 2003, ISBN 0-387-95448-1 , s. 4ff.