Přechodové pole
Pole gradientu je vektorové pole , který byl odvozen od skalární pole o diferenciaci podle umístění, nebo - Řečeno krátce - za gradient skalárního pole.
Pro lepší rozlišení mezi gradientem jako matematickým operátorem a výsledkem jeho aplikace někteří autoři také označují vektory, které tvoří gradientová pole, jako gradientní vektory , zatímco jiní označují potenciály, ze kterých jsou odvozeny, jako potenciální vektory .
Podobně většina autorů používá termín potenciální pole nikoli pro skalární pole samotného potenciálu, ale pro gradientové pole z něj odvozené.
definice
Vektorové pole se nazývá gradientní pole, pokud existuje skalární pole , které
platí, pokud přechod je označován. Zde je volána s závěrky mohly přidruženým skalární nebo jen krátkou potenciálního gradientu .
Pojem potenciál nesmí být zaměňován s fyzickým termínem „ potenciál “, který popisuje schopnost konzervativního silového pole přimět těleso vystavené poli vykonat práci. Fyzické potenciály jsou vždy také potenciály ve smyslu matematiky, pokud jsou míněny odpovídající prostorové funkce (pole) a nejen jejich funkční hodnoty. Naopak, ne každý matematický potenciál je také jedním ve výše uvedeném fyzickém smyslu, jako je potenciál potenciální energie nebo rychlostního potenciálu .
Přechodová pole jako konzervativní vektorová pole
Gradientová pole jsou speciální třídou konzervativních vektorových polí . Existují však konzervativní vektorová pole, která nejsou přechody. Na pole s přechodem platí následující ekvivalentní vlastnosti:
- Nezávislost cesty na integrálu křivky : Hodnota integrálu křivky podél jakékoli křivky v poli závisí pouze na jeho počátečním a koncovém bodě, ale ne na jeho délce .
-
Zmizení integrálu prstence pro jakoukoli hraniční křivku :
- .
-
Obecná svoboda otáčení nebo osvobození od vírů v poli :
- .
Příklady
Pokud odvodíte pole potenciální energie podle umístění, jak je znázorněno na sousedním obrázku , získáte energetický gradient , tj. Vektorové pole, jehož jednotlivé vektory směřují ve směru nejsilnějšího nárůstu v bodě . Podle principu nejmenšího omezení nejsou vektory opačné vůči tomuto gradientu nic jiného než „odpudivé“ síly ( gravitační síla ) a ( Coulombova síla ) směřující ve směru nejstrmějšího svahu.
- .
Dělení energetického gradientu skaláry m nebo q poskytuje potenciální gradienty ( gravitační potenciál ) a ( Coulombův potenciál ), jejichž jednotlivé vektory opět směřují ve směru nejsilnějšího nárůstu potenciálu v daném bodě . Vektory a
se nazývají gravitační zrychlení nebo síla elektrického pole .
podepsat
Je -li základní skalární potenciál také potenciálem ve fyzickém smyslu (viz výše), tj. Popisuje -li skutečnou fyzickou pracovní kapacitu , je gradientové pole z něj, jak je odůvodněno, vždy záporné (zvýšení množství naproti) Znamení psáno. Naopak v případě skalárních polí, která se chovají pouze matematicky jako potenciály, jako je tokový nebo rychlostní potenciál, který tedy také nepředstavuje žádnou potenciální energii, je znak jejího gradientu nedefinovaný a obvykle se volí jako pozitivní:
- Síla - potenciální energie:
- Síla elektrického pole - Coulombův potenciál:
- Gravitační zrychlení - Gravitační potenciál:
- ale
- Rychlost- rychlostní potenciál:
Podmínka integrace
Je- li otevřená a jednoduše spojená (například hvězdicová ) množina a spojitě diferencovatelná , pak je gradientní pole právě tehdy, pokud jsou podmínky integrace
- pro všechny
dne je splněno. Prohlášení je získáno jako zvláštní případ z Poincaré lemmatu .
Ve dvou a trojrozměrných podmínkách integrability jsou:
- Pro :
- Pro :
Ekvivalentní tomu je podmínka , že rotace v obou případech zmizí.
V oblastech, které nejsou jednoduše propojeny, jsou tyto podmínky integrace nezbytné , ale obecně nejsou dostatečné .
Individuální důkazy
- ↑ a b Grimsehl: Učebnice fyziky, sv. I. Leipzig 1954, s. 579.
- ↑ a b c W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Malá encyklopedie matematiky. Lipsko 1970, s. 547.
- ↑ §4 potenciální pole. (PDF; 1,9 MB) In: Matematika pro inženýry III. WS 2009/2010, University of Kiel.
- ^ Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Matematika 2: Učebnice pro inženýrské kurzy. Springer, Berlín / Heidelberg, s. 322.
- ^ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Malá encyklopedie matematiky. Lipsko 1970, s. 742.
- ↑ K. Königsberger: Analýza 2. 5. vydání. Springer, 2004, ISBN 3-540-20389-3 , Korollar s. 193.