Efektivní úroková sazba

Efektivní roční úroková sazba vyčísluje roční náklady na půjčky ve vztahu k nominální úvěrové částky . Udává se jako procento z výplaty. U půjček, jejichž úroková sazba nebo jiné faktory určující cenu se během období mohou změnit, se označuje jako počáteční RPSN .

Efektivní úroková sazba je v zásadě určena nominální úrokovou sazbou , splátkovou sazbou ( diskontem ), splácením a pevným úrokovým obdobím.

Rámcové podmínky pro výpočet efektivní roční úrokové sazby

S pomocí efektivní úrokové sazby lze srovnávat pouze nabídky půjček se stejným pevným úrokovým obdobím.

Pokud jsou do výpočtu efektivní úrokové míry matematicky správně zahrnuty faktory, jako jsou zejména roky bez splácení, náhrada splácení, typ kompenzace splácení, poplatky za zpracování a poplatky za půjčku , mohou se u srovnávaných půjček zcela lišit, protože nejdůležitějším úkolem výpočtu efektivní úrokové sazby je zajistit srovnatelnost různě strukturovaných půjček.

Efektivní úroková sazba nezahrnuje žádné poplatky za ocenění (daňové náklady nebo poplatky za ocenění ), úroky z závazků , částečné přirážky k platbám, notářské poplatky a poplatky za vedení účtu. To je třeba vzít v úvahu, pokud mají být získané nabídky objektivně porovnány. Na rozdíl od nominální úrokové sazby zohledňuje efektivní úroková sazba všechny ostatní faktory určující cenu z běžné úvěrové historie, tj. Jinými slovy , efektivní úroková sazba udává celkové náklady na půjčku za rok v procentech. Faktory, které určují cenu, jsou nominální úroková sazba, poplatky za zpracování, sazba platby, sazba splátky, počátek a částka, datum zúčtování úroku a splátky.

Porovnání různě strukturovaných půjček a investic

Kromě výpočtu požadovaného zákonem existují také univerzálně použitelné finanční matematické metody, které určují efektivní úrokovou sazbu jako srovnávací opatření ze všech plateb do zařízení a plateb ze zařízení bez ohledu na druh a označení těchto plateb , které lze také vyjádřit jako efektivní roční úrokovou sazbu. Nezávislost typu a označení zvažovaných vkladů a výběrů je výhodou této klasické metody tzv. Výpočtu důchodu . Základní matematika geometrické řady je relativně stará, ale nebylo dostatečně snadné ji implementovat pro dřívější předpisy o cenách. Potřebné (iterativní) metody výpočtu však nyní lze bez problémů použít při implementaci v počítači. Pro čistý výpočet nákladů nebo výnosů lze tyto výpočty dokonce použít k porovnání velmi odlišně strukturovaných půjček a investic , zejména v případě následného ocenění. To je zvláště důležité, pokud jsou půjčky a investice koncipovány tak, že je obtížné je porovnat s jinými finančními produkty na trhu. Jako pomoc při rozhodování při výběru půjček a investic měří tato efektivní úroková sazba pouze jeden aspekt půjčky nebo investice. Rovněž je třeba posoudit další aspekty, jako je riziko, bezpečnost, vývoj cen atd.

Německé nařízení o uvádění cen

Podle § 6 odst. 1 německého nařízení o uvádění cen musí být jako cena uvedeny celkové náklady na půjčky jako roční procento půjčky a musí být označeny jako efektivní roční úroková sazba .

Postup předepsaný v nařízení nyní odpovídá výpočtu vnitřní míry návratnosti . V penzijním účetnictví je již dlouho známým postupem a byl zaveden v Německu v roce 2000 pod tlakem Rady ministrů pro spotřebitelské záležitosti EU (1996). Na rozdíl od staré metody, s dnešní metodou výpočtu, již nelze efektivní úrokovou sazbu tak snadno manipulovat distribucí úvěrových nákladů do různě vážených nákladových kategorií.

Kvůli slabostem metody PAngV v té době existovaly v bankách programy, ve kterých byla použita metoda tehdejšího AIBD (Standardní metoda výpočtu výnosů pro mezinárodní dluhopisy, Asociace mezinárodních dealerů dluhopisů, 1969–1992, Curych). pro výpočet interního efektivního úroku. Efektivní úroková sazba podle PAngV v té době však musela být zákazníkovi uvedena. Kromě zájmu bank o úrokové sazby, s nimiž je možné manipulovat prostřednictvím produktového designu, bylo dalším důvodem jejich odporu vůči aplikaci vnitřní míry návratnosti to, že tento proces je iterativní: počítač potřebuje několik běhů k výpočtu vnitřní sazby návratnosti, dokud není dosaženo požadované přesnosti. Ale již v 80. letech byla metoda k dispozici také v kapesních kalkulačkách a tabulkových procesorech.

V případě spotřebitelských úvěrů je uvedení účinné roční úrokové sazby v souladu s § 492 odst. 2 BGB ve spojení s čl. 247 odst. 3 bodem 1 EGBGB povinné, aby spotřebitel mohl porovnat úrokové sazby. V zájmu ochrany spotřebitele § 494 odst. 3 německého občanského zákoníku (BGB) rovněž stanoví:

Pokud je RPSN označena jako příliš nízká, sazba půjčky, na níž je založena smlouva o spotřebitelském úvěru, se sníží o procento, o které je RPSN uvedena jako příliš nízká.

Výpočet roční procentní sazby jednotnou metodou

Nejjednodušší způsob výpočtu přibližné RPSN je metoda Uniform:

${\ displaystyle {\ text {eff. Roční úroková sazba}} = {\ frac {\ text {Náklady na úvěr}} {\ text {Čistá výše půjčky}}} \ cdot {\ frac {24} {({\ text {Termín v měsících}} + 1)} }}$

Náklady na půjčku = (celková splátka - výše výplaty) nebo (počet splátek × výše splátky - výše výplaty)

to zahrnuje:

• Manipulační poplatek
• zájem
• Možné zbytkové pojištění dluhu nebo úvěrové životní pojištění (pokud je součástí nabídky)

Čistá výše půjčky = Nominální výše půjčky - výpůjční náklady

rozsah použití

Jednotná metoda umožňuje odhadnout efektivní úrokovou sazbu pro určité typy půjček. Zákonně platný a prokazatelný poskytovateli finančních služeb je složitější výpočet, ale přesnější efektivní úroková sazba podle PAngV. Jednotnou metodu je třeba považovat za hrubý výpočet, pomocí kterého lze rychle získat představu o skutečné efektivní úrokové sazbě, kterou lze očekávat, zejména v případě splácení půjček se stejnými měsíčními splátkami. Výsledek se může lišit od efektivní úrokové sazby PAngV.

Příklad splátkového úvěru se stálými měsíčními splátkami

Je čerpán spotřebitelský úvěr ve výši 10 000,00 EUR. Úroková sazba je 0,5% za měsíc a vztahuje se k původní částce 10 000,00 EUR za celé období, období je 60 měsíců. Za poskytnutí je účtován 3% poplatek za zpracování. Poplatek za zpracování se platí při čerpání půjčky, k dispozici je celých 10 000,00 EUR.

${\ displaystyle {{\ text {Interest}} = 0 {,} 5 \% {\ text {za měsíc}} \ cdot 10 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro} \ cdot 60 {\ text {měsíců}} = 3 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}}$

${\ displaystyle {{\ text {poplatek za zpracování}} = 3 \% \ cdot 10 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro} = 300 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}}$

${\ displaystyle {{\ text {Náklady na úvěr}} = {\ text {úrok}} + {\ text {poplatek za zpracování}} = 0 {,} 005 \ cdot 10 000 \ cdot 60 + 0 {,} 03 \ cdot 10 000 = 3 300 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}}$

Poznámka: Úroky a splátky jsou vypláceny měsíčně, ale výše úvěru se považuje za plně splacenou až na konci období, tj. H. měsíčně je sazba

${\ displaystyle {\ frac {3 300 \ mathrm {\ euro}} {60}} + {\ frac {10 000 \ mathrm {\ euro}} {60}} = 55 \ mathrm {\ euro} +166 {,} 67 \ mathrm {\ euro} = 221 {,} 67 \ mathrm {\ euro}}$ z důvodu.

${\ displaystyle {\ text {eff. Roční úroková sazba}} = {\ frac {3 300 {,} 00 \ mathrm {\ euro}} {10 000 {,} 00 \ mathrm {\ euro}}} \ cdot {\ frac {24} {60 + 1}} = 12 {,} 9836 \%}$

Eff. Úroková sazba (roční úroková sazba) se vypočítá připočtením úroku ke všem výnosům a nákladům v úrokovém okamžiku s výsledkem „nula“. Pak se všechny příjmy a výdaje rovnají úrokům.

Ve srovnání s anuitní metodou má aproximace jednotnou metodou za následek nižší úrokovou sazbu pro krátkodobé (nebo vyšší sazbu pro dlouhodobé). Ve výše uvedeném příkladu vede metoda anuity k efektivní roční úrokové sazbě 12,5115%.

Výpočet eff. Roční úroková sazba dluhopisů

Efektivní roční úroková sazba pro bullet obligace, které mají dobu platnosti několika let a úroková sazba znovu ( složený úrok ) se počítá pomocí úrokových faktorů:

${\ displaystyle {\ text {eff. Roční úroková sazba}} = \ left [\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {\ text {term}} \ left (1 + {\ frac {\% {\ text {úroková sazba}} _ {i }} {100 \%}} \ right) \ right) ^ {\ frac {1} {\ text {Runtime}}} - 1 \ right] \ cdot 100 \%}$

Příklad: Dluhopis běží 3 roky a je úročen 1,5% v prvním, 2% ve druhém a 3% ve třetím roce.

${\ displaystyle {\ text {eff. Roční úroková sazba}} = \ left [\ left (\ left (1 + {\ frac {1 {,} 5 \%} {100 \%}} \ right) \ cdot \ left (1 + {\ frac {2 \%} {100 \%}} \ vpravo) \ cdot \ vlevo (1 + {\ frac {3 \%} {100 \%}} \ vpravo) \ vpravo) ^ {\ frac {1} {3}} - 1 \ vpravo] \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = \ left [(1 {,} 015 \ cdot 1 {,} 02 \ cdot 1 {,} 03) ^ {\ frac {1} {3}} - 1 \ right] \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = \ left [{\ sqrt [{3}] {1 {,} 06636}} - 1 \ right] \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = \ lbrack 1 {,} 02165-1 \ rbrack \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = 0 {,} 02165 \ cdot 100 \%}$

${\ displaystyle = 2 {,} 165 \%}$

V případě dluhopisů se často používá přibližný vzorec s přirážkami ( prémie ) a slevami ( sleva ):

${\ displaystyle \% {\ text {výnos pa}} \ přibližně \% {\ text {úroková sazba pa}} \ cdot {\ frac {\ text {jmenovitá hodnota}} {\ text {kupní cena}}} \ pm {\ frac {\ text {Agio nebo Disagio}} {\ text {doba trvání}}}}$

(Tento vzorec se těžko odchyluje od správného výsledku pro malé hodnoty pro termín a prémii / slevu, ale pro odpovídající velké hodnoty selže.)

Faktor je však jen dalším zajímavým faktorem, pomocí kterého lze sestavit přesnější vzorec: ${\ displaystyle {\ frac {\ text {Nominální hodnota}} {\ text {Kupní cena}}}}$

${\ displaystyle {\ text {eff. Roční úroková sazba}} = \ left [\ left ({\ frac {\ text {nominální hodnota}} {\ text {kupní cena}}} \ prod _ {i = 1} ^ {\ text {term}} \ left (1+ {\ frac {\% {\ text {Úroková sazba}} _ {i}} {100 \%}} \ doprava) \ doprava) ^ {\ frac {1} {\ text {Term}}} - 1 \ vpravo] \ cdot 100 \%}$

Výpočet eff. Roční úroková sazba pro půjčky s pevnými měsíčními splátkami

Následující pravidlo výpočtu je odvozeno u půjček, u nichž nebyly sjednány jednorázové příplatky (poplatky za zpracování) ani slevy (slevy).

Tzv. Obvykle specifikované bankami. „Nominální“ roční úroková sazba striktně není úroková sazba v reálném roce , ale pouze - pokud je půjčka v měsíční splátkové sazbě - dvanáctinásobek skutečné hodnoty „efektivní měsíční úrokové sazby“ (ta, která má „nominální roční úrokové sazby“ ve výpočtu úroku označované také jako „úroková sazba relativního období“), což znamená, že po každém úrokovém období - v tomto případě po každém měsíci nebo dvanáctině roku - je zůstatek vyvážený a přepočteno. Na rozdíl od skutečného ročního úroku se efekt složeného úroku projeví po prvním měsíci, což znamená, že za těchto podmínek je „efektivní roční úroková sazba“ vždy vyšší než „nominální“ úroková sazba vykázaná bankami.

Abychom odvodili pravidlo výpočtu, porovnáváme tvorbu měsíčních nebo koncových částek účtu pro měsíční (exponenciální) a koncové (lineární) vyvažování. Roli hrají následující proměnné:

G 0	=	Dluh na začátku roku
R.	=	Měsíční splátka, která zahrnuje úroky a případně i splátky
z	=	nominální úroková sazba banky
z eff	=	efektivní roční úroková sazba

Nominální roční úroková sazba stanovená bankou poté platí po 12 měsících, a tedy 12 dalších splátek:

${\ displaystyle G_ {1} = G_ {0} \ vlevo (1 + {\ frac {z} {12}} \ vpravo) -R}$

${\ displaystyle G_ {2} = G_ {1} \ vlevo (1 + {\ frac {z} {12}} \ vpravo) -R = G_ {0} \ vlevo (1 + {\ frac {z} {12 }} \ right) ^ {2} -R \ left [\ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) +1 \ right]}$

${\ displaystyle G_ {3} = G_ {0} \ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) ^ {3} -R \ left [\ left (1 + {\ frac {z} ) {12}} \ vpravo) ^ {2} + \ doleva (1 + {\ frac {z} {12}} \ doprava) ^ {1} + \ doleva (1 + {\ frac {z} {12} } \ right) ^ {0} \ right]}$

${\ displaystyle \ vdots}$

${\ displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) ^ {12} -R \ left [\ left (1 + {\ frac {z} } {12}} \ vpravo) ^ {11} + \ cdots + \ vlevo (1 + {\ frac {z} {12}} \ vpravo) ^ {0} \ vpravo]}$

${\ displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ vlevo (1 + {\ frac {z} {12}} \ vpravo) ^ {12} -R {\ frac {\ vlevo (1 + {\ frac {z } {12}} \ vpravo) ^ {12} -1} {\ vlevo (1 + {\ frac {z} {12}} \ vpravo) -1}}}$

${\ displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ right) ^ {12} - {\ frac {12R} {z}} \ left [\ left (1 + {\ frac {z} {12}} \ doprava) ^ {12} -1 \ doprava]}$

${\ displaystyle G_ {12} = \ doleva (G_ {0} - {\ frac {12R} {z}} \ doprava) \ doleva (1 + {\ frac {z} {12}} \ doprava) ^ {12 } + {\ frac {12R} {z}}}$

Naproti tomu efektivní roční úroková sazba platí po jednom roce, tj. Opět 12 dalších splátek:

${\ displaystyle G_ {12} = G_ {0} \ left (1 + z _ {\ mathrm {eff}} \ right) -R \ left [12+ \ left ({\ frac {1} {12}} + \ cdots + {\ frac {11} {12}} \ right) z _ {\ mathrm {eff}} \ right] = G_ {0} \ left (1 + z _ {\ mathrm {eff}} \ right) -R \ left [12+ \ left ({\ frac {11 \ cdot 12} {2 \ cdot 12}} \ right) z _ {\ mathrm {eff}} \ right]}$

Odečtení vyplývá jednak ze splátek, které neobsahují žádné splátky úroků v průběhu roku - protože efektivní roční úroková sazba se uplatňuje až na konci roku -, a z úroků z těchto splátek provedených před koncem roku rok do konce roku: první je jedenáct měsíců, druhý deset atd. a poslední se vyplácí přesně na konci roku, a proto nezíská žádný úrok. Tento úrok musí být připsán také splácející straně.

Rovnítko oba vzorce pro G ₁₂ a nahrazení R o x G ₀ nakonec získá následující vzorec pro z _eff :

${\ displaystyle z _ {\ mathrm {eff}} = 2 {\ frac {\ vlevo (1 + {\ frac {z} {12}} \ vpravo) ^ {12} (z-12x) + 12x (z + 1) -z} {z (2-11x)}}}$

Výpočet efektivní roční úrokové sazby tedy nezávisí jen na úrokové sazbě banky, ale také na rychlosti splácení, tj. Na poměru splátek R k původnímu dluhu G ₀ . Vzorec je velmi zjednodušený, pokud již není splácení vůbec, ale splátky platí pouze splatné úroky (tzv. „Věčná půjčka“). Pak x = z / 12 az toho vyplývá:

${\ displaystyle z _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {24z} {24-11z}}}$

Tento vzorec se může zdát nepravděpodobný, protože není definován pro z = 24/11 a dokonce poskytuje nesmyslné negativní výsledky pro ještě vyšší hodnoty z . Je však nutné pochopit, co to znamená být prezentován s bankovní úrokovou sazbou 218%. Do šesti měsíců bude z měsíčních částek vyplacena vyšší částka, než je dlužná částka na začátku roku. V souladu s přístupem efektivní roční úrokové sazby to znamená, že dlužník, který v průběhu roku úroky neplatí, ale pouze je splácí, má od šestého měsíce úvěrový zůstatek v bance. Banka samozřejmě musí z tohoto zůstatku platit úroky stejně jako z dluhu - pouze s opačným znaménkem . Obě úrokové sazby jsou vzájemně kompenzovány a musí vést k nulové hodnotě bez jakékoli splátky. To však nemůže fungovat, pokud částka dluhu ze začátku roku byla splacena již před polovinou roku. V důsledku toho musí být rozhodující úrok ze splátek vyplacených v průběhu roku, nikoli na konci roku. A proto musí být velmi vysoké - v extrémních případech nekonečné.

U úrokových sazeb normální velikosti však vzorec přináší nejen (také) správné, ale také věrohodné výsledky. Pokud je dluh 100 eur splacen v měsíčních splátkách do jednoho roku, s nominální úrokovou sazbou banky 10%, je efektivní roční úroková sazba 10,65%. Pokud má být dluh držen pouze se stejnou bankovní úrokovou sazbou, je efektivní roční úroková sazba 10,48%.

Efektivní úroková sazba ze stavebních úvěrů

11. června 2010 vstoupila v platnost nová směrnice o spotřebitelském úvěru. V rámci této implementace platí nová pravidla pro výpočet efektivní roční úrokové sazby pro půjčky na nemovitosti: Pokud smlouva stanoví, že úvěr bude pokračovat s proměnlivými úrokovými sazbami, pokud se dlužník a věřitel nedohodnou na nové pevné úrokové sazbě do konce fixní úrokové sazby vyžaduje nařízení o indikaci ceny, aby banka použila svou aktuální úrokovou sazbu pro půjčky s pohyblivou úrokovou sazbou pro zbývající období. To je obecně pod úrokovou sazbou během fixního úrokového období. Výsledkem je často efektivní úroková sazba pod výpůjční sazbou.

Efektivní úroková sazba se slevou

Sleva je sleva na nominální hodnoty nebo zájmu zaplacené zálohy na dobu pevnou úrokovou sazbou, která je vyjádřena v nižším zaplacení částky úvěru. Efektivní úroková sazba se počítá pomocí nominální úrokové sazby (a dalších parametrů, jako je termín, splácení). Naopak související nominální úrokovou sazbu lze určit na základě efektivní úrokové sazby.

V případě slevy se efektivní úroková sazba chová jako opatření, které činí variantu půjčky založenou na nižší výplatě a následně nabízenou s jinou nominální úrokovou sazbou srovnatelnou s variantou plné výplaty. V zásadě je každá ze dvou variant odlišným obalem stejného produktu, takže je vyžadována ekvivalence těchto dvou variant a matematické modelování pro výpočet efektivní úrokové míry se provádí ve smyslu této ekvivalence.

Existují různé přístupy k určení efektivní úrokové sazby, které vyplývají z různých výkladů pojmu diskont a následně nemusí nutně vést ke stejnému výsledku. Jeden přístup předpokládá, že výše úroků vypočítaná při nominální nebo efektivní úrokové sazbě musí být po celou dobu trvání půjčky stejná. (Disagio jako úrok placený předem, viz splátkové půjčky níže). Jiný přístup používaný v souladu s PAngV vyžaduje, aby toky plateb související s nominální úrokovou sazbou (anuita, zbytkový dluh) musely odpovídat výpočtu konečné hodnoty při efektivní úrokové sazbě (viz anuitní půjčka níže).

Efektivní úroková sazba v případě slevy bude vyšší než nominální úroková sazba, protože, jasně řečeno, splátky / anuitní splátky na základě nižší výplaty jsou nižší, a proto musí odpovídat vyšší úrokové sazbě, aby se vyrovnala .

Pro zjednodušení se předpokládá půjčka ve výši 1 peněžní jednotky s dobou úrokových období (přibližně let), která je čerpána za nominální úrokovou sazbu . Diskontní sazba je zde . Například by mělo znamenat, že je vyplaceno 90% kapitálu. Diskontní sazba 0 znamená žádnou slevu, zatímco diskontní sazba 1 znamená, že nebude provedena žádná platba. Protože poslední případ nedává žádný praktický smysl, diskontní sazba bude pouze mezi 0 a 1. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d = 0 {,} 1}$

Níže jsou uvedeny příklady některých typů půjček s odpovídajícím výpočtem efektivní úrokové sazby.

Splátková půjčka

Splacení při konečné splatnosti

U této amortizační půjčky se v průběhu funkčního období platí pouze úroky. Splátka je provedena až na konci funkčního období.

Musí platit následující:

${\ displaystyle no _ {\ text {nom}} + d = (1-d) žádný _ {\ text {eff}}}$.

Z toho vyplývá pro efektivní úrokovou sazbu:

${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ frac {r _ {\ text {nom}} + {\ frac {d} {n}}} {(1-d)}}}$.

příklad 1

Diskontní sazba a nominální úroková sazba po dobu období vedou k efektivní úrokové sazbě 11,58%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 05}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1158}$

Splácení v pravidelných splátkách

Zbývající půjčka v období - je a součet úroků v obou případech je: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ frac {(ni)} {n}}, i = 0, \ ldots, n-1}$${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z _ {\ text {eff}} = (1-d) {\ frac {r _ {\ text {eff}}} {n}} \ součet _ {i = 0} ^ {n-1} ni = (1-d) {\ frac {(n + 1)} {2}} r _ {\ text {eff}}}$ nebo.

${\ displaystyle Z _ {\ text {nom}} = {\ frac {(n + 1)} {2}} r _ {\ text {nom}}}$.

Musí platit následující:

${\ displaystyle Z _ {\ text {nom}} + d = Z _ {\ text {eff}}}$.

Z toho vyplývá efektivní úroková sazba

${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ frac {2 (Z _ {\ text {nom}} + d)} {(1-d) (n + 1)}}}$.

Na výraz lze pohlížet jako na střední dobu běhu. ${\ displaystyle {\ frac {n + 1} {2}}}$

Varianta bullet půjčky je zde zvláštním případem, konkrétně když je počet splátek 1, tj . ${\ displaystyle n = 1}$

Příklad 2

Diskontní sazba a nominální úroková sazba po dobu období vede k efektivní úrokové sazbě 12,28%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 05}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1228}$

Splácení po k bezplacení období v pravidelně stejných splátkách

Toto je varianta kombinace dvou předchozích. Zde jsou přijata ochranná období. Součet úroků v obou případech je: ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle Z _ {\ text {eff}} = (1-d) [kr _ {\ text {eff}} + {\ frac {r _ {\ text {eff}}} {nk}} \ sum _ {i = 0} ^ {nk-1} {nki}] = (1-d) \ left [{\ frac {(n + k + 1)} {2}} \ right] r _ {\ text {eff }}}$ nebo.

${\ displaystyle Z _ {\ text {nom}} = \ left [{\ frac {(n + k + 1)} {2}} \ right] r _ {\ text {nom}}}$.

Z podmínky pro efektivní úrokovou sazbu vyplývá: ${\ displaystyle Z _ {\ text {nom}} + d = Z _ {\ text {eff}}}$

${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ frac {2 (Z _ {\ text {nom}} + d)} {(1-d) (n + k + 1)}}}$.

Je vidět, že tato varianta je totožná s případem splácení v pravidelně stejných splátkách . ${\ displaystyle k = 0}$

Příklad 3

Diskontní sazba a nominální úroková sazba po dobu období se 2 odkladnými lhůtami vede k efektivní úrokové sazbě 11,84%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 05}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1184}$

Anuitní půjčka

Na rozdíl od výše zmíněného amortizačního úvěru je anuitní úvěr takový, ve kterém je během sjednaného fixního úrokového období pravidelně vyplácena konstantní sazba složená z úroků a amortizace . Fixní úrokové období se může lišit od doby splácení , která je nutná k úplnému splacení půjčky za dohodnutých podmínek. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle N}$

Přístup k určení efektivní úrokové sazby spočívá ve vážení peněžních toků vyplývajících z nominální úrokové sazby s efektivní úrokovou sazbou, která vede k řešení rovnice ekvivalence.

Rovnice ekvivalence

Nejprve se určí zbývající dluh na konci fixního úrokového období. Platí následující: ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R = (1 + r _ {\ text {nom}}) ^ {n} - (r _ {\ text {nom}} + t) {\ frac {(1 + r _ {\ text {nom }}) ^ {n} -1} {r _ {\ text {nom}}}} = 1-t {\ frac {(1 + r _ {\ text {nom}}) ^ {n} -1} {r _ {\ text {nom}}}}}$.

Jednotlivé peněžní toky jsou vážené anuity v příslušném období . ${\ displaystyle (r _ {\ text {nom}} + t)}$

Rovnice ekvivalence pak zní:

${\ displaystyle (1-d) (1 + r _ {\ text {eff}}) ^ {n} = (r _ {\ text {nom}} + t) {\ frac {(1 + r _ {\ text {eff}}) ^ {n} -1} {r _ {\ text {eff}}}} + R}$

nebo přeformulováno:

${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}} {\ frac {(1 + r _ {\ text {eff} }) ^ {n} -1} {(1 + r _ {\ text {eff}}) ^ {n} - {\ frac {R} {1-d}}}}}$

Efektivní úroková sazba je pak úroková sazba, při které se součet složených anuit rovná konečné hodnotě výplaty minus zbývající dluh.

Příklad 4

Diskontní sazba a nominální úroková sazba po dobu období vedou k efektivní úrokové sazbě 11,37%. ${\ displaystyle d = 0 {,} 06}$${\ displaystyle r _ {\ text {nom}} = 0 {,} 1}$${\ displaystyle n = 7}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = 0 {,} 1137}$

Existence a jedinečnost

Rovnice s pevným bodem nemůže být vždy přímo řešitelná, takže zejména pro větší iterační procesy jsou nutné k přiblížení řešení. Možnou aproximační metodou je iterace pevného bodu pomocí iterační funkce ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle r_ {i + 1} = F (r_ {i}) = {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}} {\ frac {(1 + r_ {i })) ^ {n} -1} {(1 + r_ {i}) ^ {n} - {\ frac {R} {1-d}}}} = = {\ frac {r _ {\ text { nom}} + t} {1-d}} {\ frac {f_ {1} (r_ {i})} {f_ {2} (r_ {i})}}}$.

Při použití této metody postupujeme tak, že najdeme interval, který je sám o sobě mapován iterační funkcí a který splňuje požadavky z. B. následující věta (viz věta o existenci a jedinečnosti v iteraci s pevným bodem ) je dostačující.

V následující části je představen paradigmatický přístup, který zkoumá podmínky existence jedinečného řešení. Zde se předpokládá. ${\ displaystyle r _ {\ text {nom}}> 0}$

1. Pokud . pak je .${\ displaystyle {\ frac {R} {1-d}} = 1}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}} = {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$
2. Pokud pak platí ${\ displaystyle {\ frac {R} {1-d}} <1}$
   1. ${\ displaystyle {\ frac {f_ {1} (r)} {f_ {2} (r)}} <1}$pro každého .${\ displaystyle r> 0}$
   2. ${\ displaystyle F}$se monotónně zvyšuje pro každého .${\ displaystyle r> 0}$
   3. ${\ displaystyle F (r)> {\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$pro všechny ( kompletní indukce nad s a 2,2).${\ displaystyle r \ geq {\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle r = {\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$
   4. ${\ displaystyle F (r) <{\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$pro všechny (z důvodu 2.1.).${\ displaystyle r> 0}$
   5. ${\ displaystyle F}$mapuje interval sám o sobě (z důvodu 2.3 a 2.4).${\ displaystyle I_ {1} = \ left [{\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}, {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1 -d}} \ vpravo]}$
3. Pokud ano , pak platí ${\ displaystyle {\ frac {R} {1-d}}> 1}$
   1. ${\ displaystyle {\ frac {f_ {1} (r)} {f_ {2} (r)}}> 1}$pro každého .${\ displaystyle r> 0: f_ {2} \ left ({\ frac {r + t} {1-d}} \ right)> 0}$
   2. ${\ displaystyle F}$je monotónně klesající pro každého .${\ displaystyle r> 0: f_ {2} \ left ({\ frac {r + t} {1-d}} \ right)> 0}$
   3. ${\ displaystyle F (r)> {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$pro všechny a pro (z důvodu 3.1).${\ displaystyle r \ geq {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$${\ displaystyle f_ {2} \ left ({\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}} \ right)> 0}$
   4. ${\ displaystyle F (r) <F \ vlevo ({\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}} \ vpravo)}$pro všechny a (z důvodu 3.2).${\ displaystyle r> {\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}}$${\ displaystyle f_ {2} \ left ({\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}} \ right)> 0}$
   5. ${\ displaystyle F}$mapuje interval sám o sobě (z důvodu 3.3 a 3.4).${\ displaystyle I_ {2} = \ left [{\ frac {r _ {\ text {nom}} + t} {1-d}}, F \ left ({\ frac {r _ {\ text {nom} } + t} {1-d}} \ vpravo) \ vpravo]}$
4. ${\ displaystyle F '\ neq 1}$pro každého .${\ displaystyle r \ geq {\ frac {r _ {\ text {nom}}} {1-d}}}$

Z bodů 2.5, 3.5 a 4. vyplývá, že iterace pevného bodu v intervalech nebo má jednoznačný pevný bod, tj. Existuje tam (viz teorém o existenci a jedinečnosti iterace pevného bodu ). ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle r _ {\ text {eff}}}$

Příklady

${\ displaystyle d}$	${\ displaystyle n}$	${\ displaystyle t}$	${\ displaystyle r _ {\ text {nom}}}$	${\ displaystyle R}$	${\ displaystyle I_ {1}}$	${\ displaystyle I_ {2}}$	${\ displaystyle r _ {\ text {eff}}}$
0,06	5	0,02	0,1 000	0,8779	[0,1064; 0,1277]		0,1172
0,06	7.	0,02	0,1 000	0,8103	[0,1064; 0,1277]		0,1137
0,05	1	1,00	0,0070	0,0000	[0,0074; 1,0600]		0,0599
0,05	5	0,01	0,0342	0,9465	[0,0359; 0,0465]		0,0458
0,10	7.	0,01	0,0342	0,9224		[0,0491; 0,0523]	0,0521
0,10	15	0,02	0,0342	0,6165	[0,0379; 0,0602]		0,0450
0,15	5	0,01	0,0325	0,9360		[0,0524; 0,0803]	0,0699
0,25	5	0,01	0,0300	0,9469		[0,0533; 0,4637]	0,0695
0,30	2	0,07	0,0250	0,8583		[0,1357; 0,6168]	0,2368

literatura

• Wolfgang Lücke: Investment Lexicon , 1991, ISBN 3-8006-1194-5
• Konrad Wimmer: Jak banky počítají , 2000, ISBN 3-423-50822-1
• Jürgen Tietze: Introduction to Financial Mathematics , 2011, ISBN 3-8348-1545-4

webové odkazy

• Část 6 nařízení o indikaci ceny u půjček

Individuální důkazy

1. ↑ ^{a b} [ https://www.gesetze-im-internet.de/pangv/anlage.html Příloha PAngV - jednotný standard od: Zákony o internetu ] Federální ministerstvo spravedlnosti pro ochranu spotřebitele. Citováno 5. října 2020.
2. ↑ Efektivní úroková sazba (PAngV, AIBD, vnitřní úroková sazba) ( Memento na originálu z 18. října 2006 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz byl automaticky vložen a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / gaya.scienza.de
3. ↑ Efektivní úroková sazba (PAngV, AIBD, vnitřní úroková sazba) ( Memento na originálu z 18. října 2006 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz byl automaticky vložen a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / gaya.scienza.de
4. ↑ AIBD ( Memento na originálu z 19. května 2006 v Internet Archive ) Info: archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / gaya.scienza.de
5. ↑ „Blinde Kuh“, hlavní město 2/1985, s. 34–35
6. ↑ „Ochrana spotřebitele podvedena“, test 4/1987
7. ↑ Jsou náklady na zbytkové pojištění dluhu zahrnuty do efektivní úrokové sazby? ( Memento v originálu od 8. srpna 2013 do internetového archivu ) Info: archiv odkaz se automaticky vloží a dosud nebyl zkontrolován. Zkontrolujte prosím původní a archivovaný odkaz podle pokynů a poté toto oznámení odstraňte. , BaFin  @ 1@ 2Šablona: Webachiv / IABot / www.bafin.de