Série Titius Bode

Série Titius-Bode (také série titius-bodesche, Bode -Titiusscheho vztah , bodesche pravidlo a podobně) je numerický vztah, který empiricky našel Johann Daniel Titius a který dal najevo Johann Elert Bode , podle kterého jsou vzdálenosti většiny planet od Použijte jednoduchý matematický vzorec k odvození Slunce přibližně z počtu jeho samotné sekvence.

Z matematického hlediska je to posloupnost (a ne řada ), ale název se stal běžným.

vzorec

Titius vzal posloupnost čísel 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96 atd., Ve které je po každé 3 dvojnásobek předchozího čísla a ke každému číslu přidal 4. Ve výsledné posloupnosti čísel umístil prostřední Orbitální poloměr Země k číslu 10 a získaný tímto měřením vzdálenosti všech známých planet od slunce.

Podle formulace Titius a Bode, původní vzorec výsledky:

${\ displaystyle R_ {n} = 4 + 3 \ cdot 2 ^ {n}}$

Exponent n , počínaje Merkurem, znamená index posloupnosti −∞ , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 atd.
Od Merkura po Saturn související výrazy posloupnosti výsledku (ve zkratce: posloupnost čísel) 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100 ...

Pouze v moderní formě receptury Johann Friedrich Wurm z roku 1787 je střední vzdálenost planety od Slunce, které je měřeno pomocí střední vzdálenosti od země v AU :

${\ displaystyle a_ {n} = 0 {,} 4 + 0 {,} 3 \ cdot 2 ^ {n}}$

Porovnání s naměřenými hodnotami

planeta	n	Vzdálenost po TB	Skutečná vzdálenost (AE)	odchylka
Rtuť	−∞	0,4	(0,39)	(+ 2,56%)
Venuše	0	0,7	(0,72)	(- 2,78%)
Země	1	1.0	(1,00)	(0,00%)
Mars	2	1.6	(1.52)	(+ 5,26%)
( Ceres )	3	2.8	(2,77)	(+ 1,08%)
Jupiter	4. místo	5.2	(5.20)	(0,00%)
Saturn	5	10.0	(9,54)	(+ 4,82%)
Uran	6.	19.6	(19,19)	(+ 2,14%)
Neptune	-	-	(30.06)	(-)
( Pluto )	7.	38.8	(39,48)	(- 1,72%)
( Eris )	8.	77.2	(67,7)	(+ 14,00%)

Pravidlo většinou souhlasí se skutečnými okolnostmi, s výjimkou několika procent. Existují však určité nesrovnalosti:

• U Merkura by podle zbytku sekvence neměla být hodnota n −∞ , ale −1.
• Pás asteroidů se nachází mezi Marsem a Jupiterem . Největším tělesem v tomto je Ceres , který není planeta, ale trpasličí planeta .
• Neptun v této sérii nemá místo. V případě Neptunu se však diskutuje o možnosti, že původně vznikl jinde ve sluneční soustavě a že migroval na své aktuální místo interakcí s ostatními planetami nebo s velkými objekty procházejícími sluneční soustavou (viz část Původ a migrace v článku o Neptunu)
• Na rozdíl od vnitřních planet má samotné Pluto silně excentrickou dráhu, která kolísá mezi 29,7 a 49,3  AU . Tento rozdíl zhruba odpovídá průměru oběžné dráhy Saturnu nebo vzdálenosti mezi Uranem a sluncem, takže hodnota predikce řady Titius-Bode pro střední poloměr oběžné dráhy Pluta je ještě nižší než pro ostatní planety.
• Eris je také trpasličí planeta jako Ceres a Pluto, ale na rozdíl od nich do série také nezapadá.

příběh

Johannes Kepler již hledal geometrické vztahy pro planety a jejich oběžné dráhy. Ve své knize Mysterium cosmographicum („Das Weltgeheimnis“) vydané v roce 1596 Kepler spojil oběžné dráhy tehdy známých planet Merkur se Saturnem jako průřez sférických skořápek s povrchem pěti platonických pevných látek . Po několika opravách jednotlivé povrchy pěti platónských těles pevně zapadly do vnořených koulí šesti planet, v závislosti na jejich tvaru, jako rozpěrky. Ve své práci Harmonice mundi („Světová harmonie“), vydané v roce 1619, tuto teorii dále rozvinul.

Isaac Newton vysvětlil propast mezi Marsem a Jupiterem v roce 1692 božskou předvídavostí, že jinak by velké planety vážně narušily oběžné dráhy malých v blízkosti Slunce.

David Gregory publikoval ve své rozšířené učebnici astronomie The Elements of Astronomy (latina poprvé publikována v roce 1702, angličtina poprvé publikována v roce 1715) řadu čísel pro průměrné vzdálenosti mezi známými planetami, podle nichž je střední poloměr oběžné dráhy Země složen z deseti jednotek a pro planety Merkur Saturn dává hodnoty 4, 7, 10, 15, 52 a 95. Toho se zabýval filozof Christian Wolff ve své knize Reasonable Thoughts, poprvé publikované v roce 1724, o záměrech přírodních věcí , bez jakéhokoli označení původu .

V roce 1761 viděl Johann Heinrich Lambert příčinu mezery mezi Marsem a Jupiterem ve velké gravitační interakci mezi Jupiterem a Saturnem, která by destabilizovala planetu, která by tam mohla existovat dříve na její oběžné dráze.

V roce 1766 navrhl Johann Daniel Titius vzorec s téměř stejnou řadou řádků jako David Gregory. Johann Elert Bode ji našel v poznámce pod čarou v rozšířené knize Contemplation de la nature od Charlese Bonneta - přeložil ji Titius - a rozšířil ji v roce 1772 ve svém Průvodci znalostmi hvězdné oblohy . Nejprve nezmínil Titia, ale učinil to později.

Ve formulaci Titius:

Modlitba jednou za to, že planety respektují jeden druhého; a vnímají, že jsou téměř všichni navzájem vzdálení proporcionálně, jak se zvětšují jejich fyzické velikosti. Modlitba vzdálenosti od Slunce k částem Saturn , Mercurius je takové části od Slunce, Venuše , Země , Marsu . Ale vidíte, od Marsu k Jupiteru existuje odchylka od tohoto tak přesného postupu. Z Marsu následuje prostor takových částí, ve kterých v tuto chvíli není vidět ani hlavní, ani vedlejší planeta . A měl by klient nechat tuto místnost prázdnou? Už nikdy víc! S jistotou předpokládejme, že tento prostor patří zejména dříve neobjeveným satelitům Marsu; dodejme, že Jupiter může mít stále kolem sebe nějaké, které ještě neviděli se sklenicí. Z tohoto pro nás neznámého prostoru stoupá Jupiterova sféra činnosti a Saturnus jeho, v takových částech. Jak obdivuhodný poměr!${\ displaystyle 100}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 4 + 3 = 7}$${\ displaystyle 4 + 6 = 10}$${\ displaystyle 4 + 12 = 16}$${\ displaystyle 4 + 24 = 28}$${\ displaystyle 4 + 48 = 52}$${\ displaystyle 4 + 96 = 100}$

Hodnoty nejsou úplně stejné jako hodnoty Wolffa nebo Gregoryho (což zase neodpovídalo přesně pozorovacím hodnotám známým v té době, publikovaným například Williamem Whistonem ), ale jak napsal Titius ve čtvrtém vydání překladu, nejprve je získal od Wolffa.

Náhodné objevení Uranu v roce 1781 Wilhelmem Herschelem , který si původně myslel, že jde o mlhovinu nebo kometu, potvrdilo toto pravidlo a ukázalo se jako zákon pro všechny v té době známé planety . Mnoho astronomů nyní hledalo planetu v propasti mezi Marsem a Jupiterem, počínaje Franzem Xaverem von Zachem (z roku 1787), dvorním astronomem v Gotha. V roce 1788 se šest astronomů, včetně Zacha a Heinricha Wilhelma Olberse , sešlo v Lilienthal poblíž Brém, což poskytlo základnu pro celoevropskou síť pozorovatelů k hledání chybějící planety. V noci 1. ledna 1801 našel jeden z členů této pozorovací sítě Giuseppe Piazzi v Palermu nebeské těleso, které lze přiřadit této vzdálenosti. Byl to asteroid Ceres , první objevená malá planeta a zdaleka největší z těchto těles (také známá jako planetoidy), která spolu s celým pásem asteroidů tuto mezeru uzavřela. Od srpna 2006 získala Ceres nový status trpasličí planety . Sám Piazzi dlouho pochyboval o tom, zda to byla koneckonců kometa (s parabolou jako oběžnou dráhou jako první aproximací). Carl Friedrich Gauß vypočítal eliptickou planetární oběžnou dráhu pro Ceres takovým způsobem, že ji Zach dokázal na konci roku 1801 znovu najít. Na jedné straně to byl triumf mladého Gaussa v klasické matematické oblasti nebeské mechaniky, který také právě vydal svou epochální učebnici teorie čísel Disquisitiones Arithmeticae , a současně to znamenalo, že Ceres nebyla kometa. Gauss si mimochodem myslel, že zákon Titius-Bode je jen náhodná náhoda. William Herschel ve stejném roce zjistil, že Ceres je menší než známé planety. V roce 1804 s Juno a 1807 s Vestou (Olbers) byly v pásu asteroidů nalezeny další menší planety.

Ale když byla planeta Neptun objevena v roce 1846, vůbec se do série Titius-Bode nehodila. Zjevný neúspěch zákona nyní vedl astronomy ke skeptičnosti ohledně takových číselných her, například v analogii s Danielem Kirkwoodem (1849). Charles Sanders Peirce obvykle viděl na konci 19. století ve vědách příklad chybného myšlení.

Hegel

Rozšířená anekdota tvrdí, že Georg Wilhelm Friedrich Hegel ve své disertační práci z roku 1801 tvrdil, že namísto série Titius-Bode použil geometrickou řadu, kterou navrhl, aby dokázal, že mezi Marsem a Jupiterem neexistuje žádná planeta; a to ve stejném roce, kdy Piazzi objevil Ceres a tím by Hegel vyvrátil. Toto bylo dlouho poté použito astronomy a dalšími k zesměšňování Hegela. Hegel byl však později pod ochranou dalších astronomů. V krátké příloze své disertační práce netvrdil, že prokázal, že v této mezeře žádná planeta neexistovala (a Ceres se později ukázal být pouze planetou s mnoha dalšími asteroidy v této oblasti), ale kritizoval pouze úsilí tehdejších astronomů hledat tam planetu na základě čistě spekulativního matematického vzorce, vzorce Titius-Bode. Jako odůvodnění zkonstruoval svou vlastní sérii bez planety v této mezeře, která byla založena na geometrické řadě v Platónově dialogu Timaeus, jako příklad toho, jak snadno lze takové hypotézy vytvořit.

Hegel vycházel ze dvou posloupností a nachází se v Platónovi (tj. Geometrické posloupnosti a ), společně se posloupností (která tvoří určitý závěr, protože je součtem předchozích čísel). Vzhledem k tomu, že 8 a 9 jsou blízko sebe, nahradí 8 16 (další člen v první posloupnosti mocnin dvou po 8) bez podrobnějšího vysvětlení, aby byla vytvořena posloupnost . Velká vzdálenost mezi 4 a 9 je pro něj důležitá, protože přemosťuje umístění neznámé planety předpovězené v sérii Titius-Bode. Pak se nahradí sekvence s (Merkur) a zbývající čísla s . Od se stává a poté pro zbývající části sekvence: (pro ), (pro ), (pro ), (pro ) a (pro ). Sám Hegel dává výsledek: Merkur 1.4, Venuše 2.56, Země 4.37, Mars 6.34, Jupiter 18.75, Saturn 40.34, Uran 81. Mezi Jupiterem tedy existuje řada bez mezery a Mars. Pokud vydělíte tyto hodnoty vzdáleností od Země, dostanete se v astronomických jednotkách (AU): 0,32 (Merkur), 0,58 (Venuše), 1 (Země), 1,45 (Mars), 4,3 (Jupiter ), 9,2 (Saturn), 18,5 (Uran). Poté také krátce prozkoumá vztahy mezi satelity Jupitera a Saturnu. ${\ displaystyle 1,2,4,8}$${\ displaystyle 1,3,9,27}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle 3 ^ {n}}$${\ displaystyle 1,2,3,4,8,9,27}$${\ displaystyle 27}$${\ displaystyle 1,2,3,4,9,16,27}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 3 ^ {\ frac {1} {3}} \ přibližně 1 {,} 44}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {\ frac {4} {3}}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2 {,} 5}$${\ displaystyle 4 {,} 3}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 6 {,} 34}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 18 {,} 7}$${\ displaystyle 9}$${\ displaystyle 40 {,} 3}$${\ displaystyle 16}$${\ displaystyle 81}$${\ displaystyle 27}$

Hegel však ve svých přednáškách o přírodní filozofii přijal nově objevené planetky a zařadil je pod planety.

Výklad a kontroverze

Široce rozšířený názor je, že řada Titius-Bode se hodí jen na vnitřní planety, již selhává s pásem asteroidů a byla nejpozději od objevu planety Neptun považována za zastaralou číselnou hru. Zatím není znám žádný fyzický mechanismus, který by vytvářel určité řady vzdáleností mezi planetami.

Pozorování orbitálních časů je více informativní pro nebeskou mechanickou organizaci planetárního systému. Oběžná období sousedních planet jsou vzájemně srovnatelná ; to znamená, že mají vztah, který je založen na společné míře a lze jej vyjádřit - částečně přibližně, částečně docela přesně - pomocí zlomků s malými celými čísly v čitateli a jmenovateli (viz tabulka vpravo).

Zaoblené (a přesné) poměry
mezi oběžnými časy planet

Rtuť		2: 5	(2: 5,11)		Venuše
Venuše		8:13	(8: 13,004)		Země
Země		1: 2	(1: 1,88)		Mars
Mars		2: 5	(2: 4,89)		(Ceres)
(Ceres)		2: 5	(2: 5,15)		Jupiter
Jupiter		2: 5	(2: 4,97)		Saturn
Saturn		1: 3	(1: 2,85)		Uran
Uran		1: 2	(1: 1,96)		Neptune
Neptune		2: 3	(2: 3,01)		(Pluto)

Takové rezonance (Near Mean Motion Resonance, NMMR) lze nalézt také při uvažování o orbitálních dobách měsíců kolem planet. Existují rušivé a stabilizační rezonance v závislosti na poměru dob cyklu. Z tohoto pohledu je úspěch řady Titius-Bode založen obecně na srovnatelných cirkulačních poměrech a zejména na empirickém ohnutí jednotného vzorce, aby byly co nejpřesněji zachyceny všechny různé poměry.

V novějších aplikacích, jako například u exoplanet, se používají zobecněné zákony Titius-Bode, například Timothy Bovaird ve formě:

${\ displaystyle a_ {n} = a \ cdot C ^ {n}}$

s poloviční hlavní osou pro n-tou planetu a parametry , čímž je upravena poloviční hlavní osa první planety . Jako částečné vysvětlení je uvedeno, že na základě třetího Keplerova zákona ( ) vyplývá obdobná závislost pro období revoluce : ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle n = 0,1,2,3, ...}$${\ displaystyle a, C}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n = 0}$${\ displaystyle T_ {n} \ sim a_ {n} ^ {\ frac {3} {2}}}$${\ displaystyle T_ {n}}$

${\ displaystyle T_ {n} = \ alpha \ cdot D ^ {n}}$

s a tedy poměr orbitálních časů pro sousední planety: ${\ displaystyle D = C ^ {\ frac {3} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {T_ {n + 1}} {T_ {n}}} = D}$

To by odpovídalo systému, ve kterém hodnoty rezonančních poměrů odpovídají jedné hodnotě a zákon Titius-Bode popisuje realitu, tím lépe, čím méně jsou hodnoty rozptýleny kolem hlavní hodnoty. Ve sluneční soustavě je to zahrnuto . ${\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$

Simulace formování planetárních systémů ukazují preferenci pro určité rezonančních vztahů, jako i mezi orbitální době sousedních planet, které jsou proto zvláště stabilní (Hills 1970). To je o to evidentnější, čím větší je interakce mezi sousedními planetami, když jsou formovány. Jacques Laskar (2000) simuloval soustavu planetesimálů a zjistil, že pro radiální počáteční povrchové hustoty formy (s poloměrem) došlo k sérii typu Titius-Bode. Tato distribuce hustoty byla také nalezena v modelu minimální hmotnosti sluneční mlhoviny (model MMSN) formování sluneční soustavy (C. Hayashi 1981, SJ Weidenschilling 1977). ${\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$${\ displaystyle 10 ^ {5}}$${\ displaystyle \ Sigma (r) \ sim r ^ {- {\ frac {3} {2}}}}$${\ displaystyle r}$

Statistické testy však také ukázaly, že jednoduchý vzorec lze téměř vždy přizpůsobit hypotetickému planetárnímu systému, pokud dovolíme podobné odchylky jako v sekvenci Titius-Bode. Tyto řady se většinou liší pro každý systém. Jejich výsledkem je řada her, které dosud neodhalily žádný nový nebeský mechanický zákon.

Za předpokladu, že řada Titius-Bode není náhoda nebo jen statistický efekt, byly pro výše uvedené výjimky vytvořeny hypotézy. Předpokládalo se, že objekty v pásu asteroidů obsahují fragmenty bývalé planety, které ve fantastické vědecké literatuře spadly pod jménem Phaeton . Pozdější výzkumy ukázaly, že celková hmotnost všech asteroidů je pouze asi pět procent hmotnosti zemského měsíce a že mnoho malých těl spíše vycházelo z různých, kdysi větších asteroidů. Dnes je většina lidí toho názoru, že pás asteroidů vznikl přirozeně z planetární mlhoviny, ale vytvoření větší planety bylo zabráněno gravitačními účinky Jupitera. V pásu asteroidů jsou také různé mezery ( Kirkwoodova mezera ), ve kterých rezonanční vztahy s Jupiterem vedly k destabilizaci. Další hypotéza je, že blízký masivní objekt mohl změnit oběžné dráhy Neptunu a Pluta.

Aplikace řady Titius-Bode na extrasolární planetární systémy

Když astronomové pracující s Timem Bovairdem na Australské národní univerzitě v Canbeře analyzovali 27 extrasolárních planetárních systémů, bylo patrné, že se většinou řídí vzorcem Titius-Bode přesněji než nebeská tělesa v našem planetárním systému - téměř 96%. Z 27 zkoumaných systémů má 22 planet seřazených podle pravidla Titius-Bode. Ve třech případech pravidlo Titius-Bode neplatí. Sluneční soustava je velmi rozsáhlá. Naproti tomu těchto 27 systémů je mnohem kompaktnějších. Někdy čtyři nebo pět planet obíhá kolem centrální hvězdy na oběžné dráze Merkuru.

Protože doba oběžné dráhy a maximální velikost možných sousedních planet vyplývají ze série Titius-Bode, astronomové předpověděli oběžnou dráhu neznámé planety ve hvězdném systému KOI 2722. O dva měsíce později byla tato exoplaneta nalezena pomocí vesmírného dalekohledu „Kepler“ .

Viz také

• Empirický vzorec
• Planetologie
• Dějiny astronomie
• Seznam objevů planet a jejich měsíců
• Pokus Mysterium Cosmographicum Kepler vysvětlit planetární oběžné dráhy pomocí mnohostěnů

literatura

• Michael Martin Nieto: Zákon Titius-Bode planetárních vzdáleností: jeho historie a teorie , Oxford: Pergamon Press 1972
• Günther Wuchterl: Pořadí planetárních oběžných drah , hvězd a vesmíru , 1. část, 6. vydání, 2002, 2. část, 12. vydání, 2002

webové odkazy

• bodensee-sternwarte.de ( Memento ze dne 27. září 2007 v internetovém archivu )
• E. Willerding: Úvahy o struktuře a formování planetárního systému ( Memento ze 7. července 2007 v internetovém archivu ). (PDF)
• Ramon Parés: Distancias planetarias y Ley de Titius-Bode. (Španělština)
• milan.milanovic.org: Titius-Bode Law ( Memento ze dne 28. ledna 2014 v internetovém archivu ) (anglicky)
• Michael Hoskin, Bodeův zákon a objev Ceres , Osservatorio Astronomico di Palermo Giuseppe S. Vaiana

Individuální důkazy

1. ↑ Hoskin, Bodeův zákon a objev Ceres , observatoř Palermo. Odkazuje na Newtonův dopis Bentleyovi ze dne 2. prosince 1692.
2. ^ Úvahy o přírodě pana Karla Bonneta , Lipsko 1774, svazek 1, s. 9, poznámka pod čarou, digitalizované
3. ↑ Hoskin, Bodeův zákon a objev Ceres.
4. ^ Margaret Wertheim, Fyzika na okraji, Walker Books 2011
5. ^ Margaret Wertheim, Fyzika na okraji, 2011
6. ^ E. Craig, M. Hoskin, Hegel a sedm planet, Journal of the History of Astronomy, svazek 23, 1992, s. XXIII, online
7. ↑ Dieter B. Herrmann , Hegelova disertační práce a číslo sedm planet, hvězd a vesmíru. Polemiky a legendy o údajné chybě. Stars and Space, svazek 31, 1992, str. 688-691
8. ^ Dizertační práce Hegela: De orbis planetarum, digitalizovaná verze Bayerische Staatsbibliothek
9. ↑ Viz také Thomas Sören Hoffmann , Georg Wilhelm Friedrich Hegel. Propaedeutic, Brill, 2015, s. 103f
10. ^ Bertrand Beaumont, Hegel a sedm planet, in: Jon Stewart, Hegelovy mýty a legendy, Northwestern University Press, 1996, s. 285–288
11. ↑ Timothy Bovaird, Charles Lineweaver, předpovědi Exoplanet založené na zobecněném vztahu Titius-Bode, Měsíční oznámení Royal Astron. Soc., Sv. 435, 2013, str. 1126-1139, Arxiv
12. ^ P. Goldreich, Vysvětlení častého výskytu srovnatelných středních pohybů ve sluneční soustavě, Měsíční oznámení Roy. Astron. Soc., Svazek 1, 1965
13. ^ SF Dermott, O původu srovnatelnosti ve sluneční soustavě, Měsíční oznámení Roy. Astron. Soc., Sv. 141, 1968, str. 349, 363
14. ↑ JG Hills, Dynamická relaxace planetárních systémů a Bodeův zákon, Nature, svazek 225, 1970, s. 840
15. ↑ J. Laskar, O rozestupu planetárních systémů, Phys. Rev. Lett., Sv. 84, 2000, s. 3240
16. ^ Hayashi, Progress of Theoretical Physics, Suppl, svazek 70, 1981, 35
17. ↑ Weidenschilling, měsíční oznámení Roy. Astron. Soc., Sv. 180, 1977, s. 57
18. ↑ Timothy Bovaird, Charles Lineweaver, předpovědi Exoplanet založené na zobecněném vztahu Titius-Bode, Měsíční oznámení Royal Astron. Soc., Sv. 435, 2013, str. 1126-1139, Arxiv
19. ↑ Guido Meyer: Planetární vzorec - šílená náhoda nebo přirozený zákon? (zpřístupněno 22. července 2014)

Poznámky

1. ↑ Přísně vzato, v případě, že nejde o hodnotu, ale o mezní hodnotu posloupnosti.${\ textstyle n \ to - \ infty}$