Poincarého domněnka

Poincaré hypotéza říká, že geometrický objekt, tak dlouho, jak to nemá žádný otvor, mohou být deformovány do koule (tj. Sražená, stlačený, nafouknutý, atd.). A to platí nejen v případě dvojrozměrného povrchu v trojrozměrném prostoru, ale také pro trojrozměrný povrch ve čtyřrozměrném prostoru.

Poincaré dohad je jedním z nejznámějších, dlouhá nevyzkoušené matematické věty , a byl považován za jeden z nejdůležitějších nevyřešených problémů v topologii , odvětví matematiky. Henri Poincaré to uvedl v roce 1904. V roce 2000 Clay Mathematics Institute zařadil Poincarého domněnku mezi sedm nejdůležitějších nevyřešených matematických problémů, Millennium Problems , a za jeho řešení udělil milion amerických dolarů. Grigori Perelman dokázal domněnku v roce 2002. V roce 2006 měl obdržet Fieldsovu medaili za důkazy, které odmítl. 18. března 2010 mu byla také udělena cena Millennium Prize Clay Institute, kterou také odmítl.

V trojrozměrném prostoru je povrch homeomorfní k ( neomezenému dvojrozměrnému) sférickému povrchu, pokud lze každou uzavřenou smyčku na tomto povrchu nakreslit společně k bodu .
Poincarého domněnka tvrdí, že to platí také v případě čtyřrozměrného prostoru, pokud je povrch popsán trojrozměrným potrubím (např. 3-koulí , nevizuální „povrch 4-rozměrného sférického ekvivalentu ").

Formulace a popis

Každé jednoduše spojené , kompaktní , neomezené , trojrozměrné potrubí je homeomorfní s 3-sférou .

Kromě toho existuje zevšeobecnění domněnky na n -dimenzionálních varietách v následující podobě:

Každý uzavřený n-potrubí s homotopie typu s n-koule je homeomorphic na n-koule.

V případě, že je tato zobecněná domněnka konzistentní Poincarého domněnka s originálem. ${\ displaystyle n = 3}$

Zjednodušeně lze Poincarého domněnku popsat následovně: Povrch koule je dvourozměrný, omezený a bez hranic a každá uzavřená křivka může být nakreslena společně do bodu, který je také na kouli. Z topologického hlediska je to také jediná dvourozměrná struktura s těmito vlastnostmi. Poincarého domněnka je o trojrozměrném analogu: Jedná se o trojrozměrný „povrch“ čtyřrozměrného těla.

Vysvětlení

Rozdělovač

Trojrozměrný potrubí je něco, co vypadá jako trojrozměrný euklidovský prostor v sousedství každého bodu na potrubí .

Zavřeno

V této souvislosti uzavřené znamená, že potrubí je kompaktní (tj. Neexpanduje do nekonečna) a že nemá žádné hranice . Trojrozměrná koule je zhruba 3-varietou, ale má hranu (povrch). Proto není uzavřený. Na druhé straně je jeho povrch uzavřeným dvourozměrným potrubím. Poincarého domněnka vznáší pouze jeden požadavek na uzavřená potrubí.

Jednoduše připojeno

Jednoduché připojení znamená, že kteroukoli uzavřenou křivku lze zkrátit do jednoho bodu. Gumičku na kulovém povrchu lze vždy po povrchu pohybovat tak, aby se z ní stal bod. Například na torusu (např. Trubce jízdního kola) kontrakce nefunguje vždy: Pokud gumička obepíná tenčí stranu trubky jízdního kola, nikdy ji nelze přitáhnout k jednomu bodu (museli byste řezat trubice, což není v topologii povoleno). Torus tedy není jednoduše spojen.

3 koule

Obecně platí, že n-koule (označení :) je hrana (n + 1) -dimenzionální koule . 1 koule je kruhová čára kruhové oblasti . 2-koule je povrch trojrozměrné koule. 3-koule je povrch 4-dimenzionální koule. Tento objekt si již samozřejmě nelze jednoduše představit, protože ve skutečnosti „žije“ ve 4-dimenzionálním prostoru. Matematicky lze 3 sféru snadno popsat pomocí vzorce, a to jako množinu všech bodů ve 4rozměrném reálném prostoru, které jsou ve vzdálenosti 1 od nulového bodu: ${\ displaystyle S ^ {n}}$

${\ displaystyle S ^ {3} = \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) | x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} = 1 \}}$

2-koule se skládá ze dvou (dutých) polokoulí, které jsou na okrajích spojeny dohromady. Topologicky jsou tyto duté polokoule ve skutečnosti kruhové oblasti (pokud je stisknete shora shora, vytvoří se dva disky). Tímto způsobem získáte 2 koule tak, že na okrajích slepíte dvě kruhové oblasti. Stejným způsobem lze vytvořit relativně jasný obraz o 3 sféře. Vezmete dvě koule (odpovídá dvojrozměrným kruhovým oblastem) a "slepíte" je dohromady v odpovídajících bodech na povrchu. Cesta na 3 sféře tak začíná v jedné ze dvou koulí. Když se dostanete na hranu, skočíte do odpovídajícího bodu na druhé kouli a naopak. Tímto způsobem lze popsat cesty na 3-kouli v trojrozměrném prostoru. Také tak vidíte, že nikde není hrana. 3-koule je tedy uzavřena.

Domněnka ve vyšších dimenzích

Říkáme potrubí M jako m-připojené, pokud každý obraz k- sféry k M pro k <= m může být kontrahován do bodu. Pro m = 1 to dává přesně pojem „jednoduše připojený“ popsaný výše. Formulace n -dimenzionálního Poincarého domněnky nyní říká následující:

Kompaktní, neomezené n -dimenzionální potrubí je (n-1) připojeno právě tehdy, pokud je homeomorfní pro n- sféru.

Argumentem s Poincaré duality ukazuje, že je také možné nahradit (n-1), s (n-1) / 2 zde . Pro n = 3 je výsledkem formulace Poincarého domněnky uvedené výše přesně.

Existuje řada dalších ekvivalentních formulací, které se často nacházejí v literatuře. Jeden nahrazuje stav (n-1), -contiguous tím, že vyžaduje, že potrubí je již homotopy ekvivalentní k n -sphere. Tyto dvě podmínky jsou ekvivalentní Hurewiczovy větě. Homotopická ekvivalence je hrubší ekvivalenční vztah než homeomorfismus, ale je často snazší ji ověřit. Poincarého domněnka říká, že v případě sféry se tyto dva vztahy naštěstí shodují.

Další ekvivalentní podmínkou je, že potrubí je jednoduše připojeno a má stejnou homologii jako n- koule. I když je tento popis více technický, má tu výhodu, že je často relativně snadné vypočítat homologii potrubí.

I když v dimenzi 3 je již dlouho známo, že každé potrubí, které je pro sféru homeomorfní, je pro tuto sféru také difeomorfní , ve vyšších dimenzích tomu tak není. Od dimenze 7 existují takzvané exotické koule, které jsou homeomorfní, ale ne diffeomorfní vůči standardní sféře . V Poincaréově domněnce n> 6 tedy nelze „homeomorphic“ nahradit „diffeomorphic“.

příběh

Poincaré původně navrhl poněkud odlišnou domněnku: Věřil, že každé 3-dimenzionální uzavřené potrubí, které má stejnou homologii jako 3-koule, musí být topologicky sférou. Zatímco Poincaré zpočátku věřil, že má důkaz, který vystačil s tímto slabším předpokladem, ukázalo se, že požadavek, aby bylo potrubí jednoduše připojeno, byl nezbytný. S Poincarého homologickou sférou sám Poincaré našel protiklad k původní domněnce: Má stejnou homologii jako 3 sféra, ale není jednoduše spojen, a proto nemůže být ani homotopy ekvivalentní 3 sféře. Proto změnil svůj předpoklad na dnes známé prohlášení.

Je zajímavé, že n-dimenzionální Poincarého domněnka má velmi odlišné důkazy v různých dimenzích, zatímco formulace je obecná.

U prohlášení je považována za klasický; v tomto případě jsou známy a klasifikovány dokonce i všechny (uzavřené) dvourozměrné rozdělovače . ${\ displaystyle n = 2}$

V tomto případě byla domněnka Stephena Smaleho prokázána v roce 1960 (pro plynulé a PL potrubí) pomocí technik z Morseovy teorie . Vyplývá to z jeho věty o H-cobordismu . Za tento důkaz mimo jiné obdržel v roce 1966 Fieldsovu medaili . Max Newman později rozšířil svůj argument na topologická potrubí. ${\ displaystyle n> 4}$

Michael Freedman případ vyřešil v roce 1982. V roce 1986 za něj také obdržel Fieldsovu medaili . ${\ displaystyle n = 4}$

Případ se ukázal (nepřekvapivě) jako nejobtížnější. Mnoho matematiků předložilo důkazy, ale ukázalo se, že jsou nepravdivé. Některé z těchto chybných důkazů přesto rozšířily naše chápání nízkodimenzionální topologie. ${\ displaystyle n = 3}$

důkaz

Na konci roku 2002 se objevily zprávy, že Grigori Perelman z Steklovova institutu v Petrohradě prokázal podezření. Analytickou metodu Ricciho toku vyvinutou Richardem S. Hamiltonem využívá k prokázání obecnější domněnky o geometrizaci 3-variet od Williama Thurstona , z níž jako zvláštní případ vyplývá Poincarého domněnka. Perelman publikoval řetězec důkazů, který zahrnoval několik publikací a celkem asi 70 stránek, v online archivu arXiv . Práce od té doby byla přezkoumána matematici po celém světě, a jako uznání správnosti svého břemene, Grigorij Perelman byl oceněn na Fields medaili v roce 2006 mezinárodním kongresu matematiků v Madridu , který, jak se původně oznámený, že nepřijal .

Vzhledem k tomu, že Perelman sám o podrobnější prezentaci svého důkazu nemá zájem, přijaly toto různé skupiny matematiků: Bruce Kleiner a John Lott zveřejnili jejich zpracování mnoha podrobností brzy poté, co se stala známou Perelmanova práce, a několikrát je přidali na 192 stránek. John Morgan a Tian Gang zveřejnili v červenci 2006 kompletní zprávu o arXivu na 474 stranách . Také Huai-Dong Cao a Zhu Xiping v roce 2006 zveřejnili důkaz o Poincaréově domněnce a geometrizaci. Držící se přesně zpracoval důkaz Perelmana na 300 stranách.

Význam hádání

Důkaz Poincarého domněnky je důležitým příspěvkem ke klasifikaci všech 3-variet. Je to proto, že Perelman ve skutečnosti dokazuje obecnější geometrickou domněnku nad uzavřenými 3-varietami, která jako zvláštní případ obsahuje Poincarého domněnku.

literatura

• Grisha Perelman: Entropický vzorec pro tok Ricci a jeho geometrické aplikace. Preprint 2002, arxiv : math.DG / 0211159 (anglicky)
• Grisha Perelman: Ricciho tok s chirurgickým zákrokem na třech potrubích. Preprint 2003, arxiv : math.DG / 0303109 (anglicky)
• Bruce Kleiner , John Lott : Poznámky k dokumentům Perelmana . (Podrobné zpracování jednotlivých argumentů a důkazů Perelman) arxiv : math.DG / 0605667
• John Morgan , Gang Tian : Ricci Flow and the Poincaré Conjecture . (Podrobný důkaz o domněnce Poincaré, anglicky). arxiv : math.DG / 0607607
• Huai-Dong Cao , Xi-Ping Zhu : Kompletní důkaz domněnek Poincaré a Geometrization - Aplikace Hamilton-Perelmanovy teorie toku Ricci. In: Asian Journal of Mathematics. International Press, Boston MA 10.2006, 2 (červen), str. 165–492, ISSN  1093-6106 ( projecteuclid.org )
• John Milnor : The Poincaré Conjecture 99 Years Later. Zpráva o pokroku . (PDF; 158 kB; anglicky)
• John Milnor: Směrem k Poincarému domněnce a klasifikaci 3-variet . (PDF; 153 kB; anglicky)
• Bernhard Leeb : Geometrizace trojrozměrných potrubí a Ricciho tok. In: Komunikace Německé asociace matematiků. Berlin 14.2006,4, s. 213, ISSN  0942-5977
• Gerhard Huisken : Geometrické toky a 3 potrubí . (PDF) Přednáška, Oberwolfach 2005.
• John Stillwell : Poincaré a raná historie 3-variet. (PDF) In: Bulletin of the American Mathematical Society. Svazek 49, vydání 4 (říjen). Providence 2012, str. 555-576 (PDF; 2,2 MB). ISSN 0273-0979  

Populární věda

• Donal O'Shea : Poincarého domněnka. Příběh matematického dobrodružství. S. Fischer, Frankfurt nad Mohanem 2007, ISBN 978-3-10-054020-1 .
• George Szpiro : The Poincaré Adventure. Matematická světová hádanka je vyřešena . Piper, Mnichov 2008, ISBN 978-3-492-05130-9 .
• Annette Leßmöllmann: Matematika s lasem . In: Die Zeit , č. 18/2006

webové odkazy

Němec:

• Annick Eimer: Ruština mohla vyřešit problém století . Spiegel Online , 8. září 2004
• Michael Eisermann: Co říká Poincarého domněnka? , Institut pro geometrii a topologii, Stuttgartská univerzita (duben 2010)
• Poincarého domněnka - populárně-vědecká vánoční přednáška na YouTube (3 části)

Angličtina:

• Sylvia Nasar, David Gruber: Manifold Destiny , zpráva v „The New Yorker“ ze dne 28. srpna 2006 o historii důkazů a pozadí těch, kteří se na nich podíleli
• Jascha Hoffman: Stoletý matematický problém mohl být vyřešen Článek z „Boston Globe“ ze dne 30. prosince 2003
• Poincarého domněnka - vysvětlující video populární vědy na YouTube
• Popis Poincarého domněnky na Clay Mathematics Institute
• Poznámky a komentáře k Perelmanovým tokovým dokumentům Ricci Přehled různých zdrojů na řece Ricci

Jednotlivé reference a komentáře

1. ↑ claymath.org (PDF) Dnes byla vyhlášena cena Millennium Prize Clay Mathematics Institute, cena za řešení domněnky Poincaré udělená Dr. Grigoriy Perelman
2. ↑ Cena odmítnuta: matematický génius se vzdá milionu dolarů . Handelsblatt , 1. července 2010.
3. ↑ Smale: Zobecněná Poincarého domněnka v dimenzích větších než čtyři . In: Ann. Math. , Sv. 74, 1961, str. 391-406