Papyrus Rhind

Levý konec lícové strany největšího fragmentu papyrusu Rhind (nyní v Britském muzeu , pBM 10057)

Přehrávání textového segmentu viditelného na obrázku výše vpravo

Použití různobarevného inkoustu v rukopisu napsaném hieratickým písmem (zprava doleva) - zde se 41. problémem (kliknutím obrázek zvětšíte)

Několik řádků pod náčrtem

Přepis těchto řádků pod náčrt 48. úlohy

Papyrus Rhind je staroegyptské pojednání napsáno na papyru na různých matematických tématech, která nyní nazýváme aritmetické , algebry , geometrie , trigonometrie a frakce . Spolu s poněkud starším, ale méně rozsáhlým Papyrusem Moskva 4676 je považován za jeden z nejdůležitějších zdrojů pro naše znalosti matematiky ve starověkém Egyptě a pochází z doby kolem roku 1550 před naším letopočtem. Datováno.

objev

Papyrus Rhind je pojmenován podle skotského právníka a antikvariátu Alexandra Henryho Rhinda , který jej koupil v Luxoru v Horním Egyptě v roce 1858 . Dokumenty byly pravděpodobně nalezeny o něco dříve během nelegálních vykopávek v oblasti Théb naproti Luxoru západně od Nilu v Ramesseu nebo v jeho blízkosti , přesnější okolnosti nejsou známy.

Detaily

Papyrus byl pravděpodobně vyroben v 16. století před naším letopočtem. Byl vyroben během druhého přechodného období - původně se uvádí 33. rok vlády Apopiho , krále 15. dynastie Hyksosů - a je z velké části považován za kopii o dva století staršího papyru, což je pravděpodobně od vlády Amenemheta III. 12. dynastie ve Střední říši . Textář - písař jménem Ahmose , po dřívějším přepisu také Ahmes - použil hieratický skript a zvýraznil některé hodnoty a vypsané postupy červeným namísto černým inkoustem, například sady rozdělovačů.

Dnes je papyrus k dispozici pouze ve formě fragmentů svitku o délce 5 metrů a šířce asi 32 cm, který je napsán na obou stranách. V Britském muzeu jsou uloženy dva kusy o délce 295,5 cm a 199,5 cm (1865 inventarizováno s číslem 10057 nebo 10 058); mezera mezi nimi se odhaduje na přibližně 18 cm. Kromě některých tabulek poskytuje papyrus řadu různých matematických problémů s příkladnými řešeními; v závislosti na metodě počítání existuje celkem 84 nebo 87 nebo 91 úkolů. Text bylo možné dešifrovat a přeložit až na konci 19. století našeho letopočtu; jeho matematické výroky byly dešifrovány a zpřístupněny od počátku 20. století.

Z hlediska obsahu lze rukopis rozdělit do tří částí. Za nadpisem je na začátku první části delší tabulka, která ukazuje zlomek ² / _n jako součet původních zlomků pro všechna lichá čísla  n od 3 do 101 , následovaná krátkou tabulkou pro n od 2 do 9 zlomku ⁿ / ₁₀ . Poté je zahrnuto 40 aritmetických a algebraických problémů. Druhá část představuje 20 geometrických problémů a zabývá se objemem a plochou různých postav a také vztahem mezi výškou a stranou těla pyramidy jako jejím sklonem. Třetí část tvoří dva tucty dalších problémů, kromě výpočtů týkajících se výroby chleba a piva i krmení drůbeže a skotu je zde uvedena hádanka o kočkách a myších.

Přibližná hodnota pro plochu kruhu

Kruh uvnitř čtverce, který je rozdělen mřížkou.
Průměr kruhu je dlouhý jako jedna strana okolního čtverce - pokud je 9, malý čtverec má délku strany 3.

Problémy řešené ve druhé části Rhind Papyrus zahrnují také plošné výpočty pro kruh. V 48. úkolu Ahmes popisuje, jak vypočítává plochu kruhu vepsaného do čtverce . Z dnešního pohledu to lze chápat jako aproximaci počtu kruhů . Na základě pravidla výpočtu uvedeného v papyru vedle náčrtu (viz čtvrtá a pátá ilustrace shora) rekonstruoval Kurt Vogel v roce 1928 základní úvahy.${\ displaystyle \ pi}$

Ahmes nejprve rozdělí strany čtverce na třetiny a vyhraje tak devět stejných menších čtverců s délkou strany 3 jednotky. Potom odřízne polovinu čtyř rohových buněk a narazí na postavu nepravidelného osmiúhelníku. Tento osmiúhelník se skládá z pěti plných a čtyř polovičních čtverců o celkové ploše 7 malých čtverců, z nichž každý má 3 ² = 9 jednotek plochy, a má tedy plochu 7 • 9 = 63 čtvercových jednotek. Je zjevně jen o něco menší než kruh - pro svoji plochu proto Ahmes předpokládá obsah 64 = 8 • 8 čtvercových jednotek, který není menší.

Plocha kruhu s průměrem 9 je tedy nastavena na plochu čtverce s délkou strany 8. To má za následek přibližně obsahu do kruhové plochy s poloměrem o ⁹ / ₂${\ displaystyle A_ {K}}$${\ displaystyle r}$

výše ${\ displaystyle A_ {K} = r ^ {2} \ cdot \ pi}$

tak a tedy přibližně${\ displaystyle (9/2) ^ {2} \ cdot \ pi \ přibližně 8 ^ {2}}$${\ displaystyle \ pi \ cca {\ frac {8 ^ {2}} {(9/2) ^ {2}}} = \ doleva ({\ frac {16} {9}} \ doprava) ^ {2} \ přibližně 3 {,} 16049 ..}$

Takto určená hodnota postrádá číslo ( pi ) v absolutních číslech asi o 0,01890 a relativně o méně než jedno procento (0,602%). Ve staroegyptském číselném systému není tato hodnota reprezentována jako desetinné číslo, ale jako součet zlomků předků: ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {16} {9}} \ right) ^ {2} = {\ frac {256} {81}} = 3 + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {27}} + {\ frac {1} {81}} \ přibližně \ pi}$

Pro postup reprodukovaný v Papyrus Rhind lze aproximaci počtu kruhů vypočítat z poměru plochy vepsané kružnice a jejího obvodového čtverce, ${\ displaystyle \ pi}$

tam , tedy tehdy a tedy${\ displaystyle A_ {Q} = r ^ {2} \ cdot 4}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {K}} {A_ {Q}}} = {\ frac {\ pi r ^ {2}} {(2r) ^ {2}}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$${\ displaystyle \ pi = 4 \ cdot {\ frac {A_ {K}} {A_ {Q}}} \ přibližně 4 \ cdot {\ frac {64} {81}}}$

Kruh vepsaný do čtverce s 81 plošnými jednotkami ve skutečnosti zahrnuje přibližně 63 617 plošných jednotek. Jako aproximace metoda popsaná Ahmesem spojuje kruh se čtvercem 9 • 9, zprostředkovává ho prostřednictvím osmibokého útvaru a srovnává jeho plochu se čtvercem 8 • 8 - což lze pravděpodobně považovat za časný pokus o vyrovnání čtverce kruh . Povrch rovnost čtverce s kruhovou plochu se proto předpokládá, pokud je délka bočního ⁸ / ₉ je jejich průměr, takže jeden devátá je nižší.

Kruh lze nakreslit v ortogonální mřížce takovým způsobem, že obvodová kruhová čára protíná osm bodů mřížky, což jsou čtvrtinové body po stranách čtverce, které se jeví jako téměř stejná oblast jako kruhová oblast.
V případě čtverce 8 × 8 s 64 jednotkami plochy má průměr kruhu přibližně 9 jednotek délky.

Ale vztah obrysů postavy v ortogonální síti linek byl již znám staroegyptským kameníkům, aby bylo možné proporcionálně přenést návrh založený na vztazích průsečíků na povrch kamene, který má být opracován. V tomto kontextu, Hermann Engels představil jiný předpoklad v roce 1977, což by mohlo vysvětlit přibližný poměr zde daný založen na roštu rozvodných čtverců. Pak by se intuitivně nakreslilo kružnice C (s průměrem d ) takovým způsobem, že její střed je středem přibližně stejného čtverce F (s délkou strany a ) složeného ze 4 × 4 dílčích čtverců, který je tímto protínán osmkrát kruh ve čtvrtinových bodech jeho stran. S přechodem na ještě jemnější dělení F (na 8 × 8 jednotných dílčích čtverců) je tedy obsah čtverce F 64 takových plošných jednotek, zatímco obsah kruhu je ve skutečnosti asi 62,8 plošných jednotek - a je třeba zapsáno přesně do čtverce U s 80 plošnými jednotkami je - protože

trojúhelník středový bod-půlený bod-čtvrtinový bod nastaví poloměr kruhu a čtvercovou stranu ve vztahu a${\ displaystyle r ^ {2} = ({\ frac {a} {2}}) ^ {2} + ({\ frac {a} {4}}) ^ {2} = 5 \, ({\ frac {a} {4}}) ^ {2}}$

s pro výsledky průměru${\ displaystyle d = 2r = 2 ({\ sqrt {5}} \ cdot {\ frac {a} {4}}) \ přibližně 1 {,} 118 \; a}$

potom pryč${\ displaystyle A_ {C} = \ pi r ^ {2} = \ pi ({\ sqrt {5}} \ cdot {\ frac {a} {4}}) ^ {2} = \ pi \ cdot {\ frac {5 \, a ^ {2}} {16}} \ přibližně 0 {,} 982 \; a ^ {2}}$

pro jednotky délky, tedy pro jednotky plochy,${\ displaystyle a = 8}$${\ displaystyle A_ {C} = 20 \, \ pi \ přibližně 62 {,} 832 ..}$

stejně jako pro , tak resp${\ displaystyle d ^ {2} = 4r ^ {2} = 4 \ cdot 5 \, ({\ frac {8} {4}}) ^ {2} = 80}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {C}} {A_ {U}}} = {\ frac {20 \, \ pi} {80}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {C}} {r ^ {2}}} = {\ frac {20 \, \ pi} {20}} = \ pi.}$

Ale průměr je menší než 9 v případě kruhu C, který má být zapsán do čtverce U o 80 povrchových jednotkách (světle žlutá).
Porovnání (šedých a žlutých) podoblastí může naznačovat, že se tento čtverec rovná ploše součtu čtverce F (64) plus čtverce 4 × 4 (16) - Pythagoras tento vztah znal.

V případě mylného předpokladu, že plocha kružnice C bude mít stejnou plochu jako čtverec F, je chyba v označení plochy kružnice („64 jednotek“) téměř dvě procenta ( 1,825%). Na druhou stranu, pokud vezmete v úvahu skutečný obsah vytvořené kruhové plochy a poté vezmete v úvahu vztah mezi délkou a průměrem strany,

V důsledku toho tedy zhruba s odhadem být spokojen, jsme nestihli, takže by asi 1,234% - přesně ¹ / ₈₁ - Vzhledem k tomu, místo 20 oblastní jednotky.${\ displaystyle a = 8}$${\ displaystyle d = 4 \ cdot {\ sqrt {5}} \ přibližně 8 {,} 944}$${\ displaystyle d \ přibližně 9}$${\ displaystyle a \ přibližně {\ frac {8} {9}} \, d}$${\ displaystyle r ^ {2}}$${\ displaystyle (9/2) ^ {2} = 20,25}$

Pokud pak použijeme přibližnou hodnotu popsanou výše , odhaduje se skutečná plocha (≈ 62 832) s aproximací příliš vysoko - ale výsledek nyní odpovídá nesprávnému předpokladu: „64 jednotek“. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle (16/9) ^ {2}}$${\ displaystyle A_ {C} = r ^ {2} \ cdot \ pi = 20 \, \ pi}$${\ displaystyle A \ cca (9/2) ^ {2} \ cdot (16/9) ^ {2}}$

Tímto způsobem by se při pohledu na kruh ve čtvercové síti, jak bylo obvyklé pro přenos konceptů na plochy, na kterých se mělo pracovat, dalo velmi jednoduchým způsobem - s nesprávnými předpoklady a hrubými kótami - získat jednoduché pravidlo výpočtu pro plochu kruhu : „Zmenšete ten průměr kruhu kolem deváté, abyste se dostali na stranu čtverce.“ - což často překvapivě dobře platí.

Odhadovaný poměr ⁸ / ₉ je také použit v problému 41 (viz třetí obrázek shora, rozšířenou) z Rhind papyrus, kde výpočet objemu válcové zapojen sýpku. Předpokládá se také v pravidle výpočtu pro plochu zakřiveného povrchu, která je reprodukována v úloze 10 staršího moskevského papyru 4676 ; Zde se však interpretace liší, pokud jde o to, která oblast je míněna přesně.

Umístění skladu

Dva hlavní kusy Rhindova papyru (Rhind Mathematical Papyrus (RMP)), téměř 3 ma téměř 2 m dlouhý fragment, jsou od roku 1865 ve vlastnictví Britského muzea v Londýně , zaznamenané pod inventárními čísly pBM 10057 a pBM 10058. Zachovalo se několik menších fragmentů chybějícího mezikusu (téměř 0,2 m), které v té době nezískal Rhind a jsou nyní uloženy v Brooklynském muzeu v New Yorku .

Viz také

• Papyri Lahun / Kahun
• Dějiny matematiky
• Matematika ve starověkém Egyptě
• Seznam papyrusů starověkého Egypta

výdaje

• August Eisenlohr : Matematická příručka starých Egypťanů (Papyrus Rhind z Britského muzea). 2 svazky, Hinrichs, Lipsko 1877 ( online ).
• Thomas Eric Peet: Matematický papyrus Rhind, Britské muzeum 10057 a 10058. Hodder & Stoughton pro The University Press v Liverpoolu, Londýn 1923.
• Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 and 10058. 2 svazky, Mathematical Association of America, Oberlin [OH], 1927/1929 . (Zkrácené nové vydání: Národní Rada učitelů matematiky, Reston [OH] 1979, ISBN 0-87353-133-7 ).
• Gay Robins, Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus. Staroegyptský text . Britské muzeum, Londýn 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (s fotografiemi papyru).

literatura

• Marshall Clagett : Staroegyptská věda. Kniha zdrojů. Svazek 3: Staroegyptská matematika (= Monografie Americké filozofické společnosti. 232). American Philosophical Society, Philadelphia PA 1999, ISBN 0-87169-232-5 .
• Milo Gardner: Staroegyptský problém a jeho inovativní aritmetické řešení. In: Gaṇita-Bhāratī. Bulletin of Indian Society for the History of Mathematics. Svazek 28, 2006, ISSN  0970-0307 , s. 157-173.
• Richard J. Gillings: Matematika v době faraonů. Nezkrácené, mírně opravené opětovné zveřejnění. Dover Publications, New York NY 1982, ISBN 0-486-24315-X .
• Annette Imhausen : Egyptské algoritmy. Vyšetřování středoegyptských textů z matematických cvičení (= egyptologické pojednání. 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9 .
• Franz von Krbek : Zachycené nekonečno. Závazek k historii matematiky. 2. vydání. Geest & Portig, Leipzig 1954, s. 79 a násl.
• Neil MacGregor : Historie světa ve 100 objektech . (Z angličtiny přeložili Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck a kol., Mnichov 2011, ISBN 978-3-406-62147-5 , str. 141-149.

webové odkazy

• Rhind Mathematical Papyrus - článek s ilustracemi fragmentů papyrusu na stránkách Britského muzea.
• Eric W. Weisstein : Rhind Papyrus . MathWorld - webový zdroj Wolfram. Citováno 29. ledna 2011.
• O'Connor a Robertson: Matematika v egyptských papyrusech .
• Scott W. Williams: Egyptská matematika Papyri .
• Tabulka RMP 2 / n z anglické Wikipedie

Individuální důkazy

1. ↑ ^{a b c d} Rhind Papyrus . ve sbírce v Britském muzeu . Citováno 6. července 2021 . 
2. ^ ^B Annette Imhausen: matematiky v starého Egypta. Kontextová historie. Princeton University Press, Princeton NJ et al. 2020, ISBN 978-0-691-20907-4 , str. 65 f., ( Kniha Google ).
3. ↑ porovnejte fotografickou reprodukci této části matematického papyru Rhind na webových stránkách Britského muzea.
4. ↑ viz Kurt Vogel : Vorgiechische Mathematik. Část 1: Prehistorie a Egypt (= matematické učebnice pro hodiny matematiky na vysokých školách. 1, ZDB- ID 255205-X ). Schroedel a kol., Hannover 1958, s. 66.
5. ^ ^{A b} Hermann Engels: Kvadratura kruhu ve starověkém Egyptě. In: Historia Mathematica . Svazek 4, č. 2, 1977, str. 137-140, doi : 10.1016 / 0315-0860 (77) 90104-5 .
6. ^ Hans Wußing : 6000 let matematiky. Kulturní a historická cesta časem. Svazek 1: Od začátku do Leibniz a Newton. Springer, Berlin et al. 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 120 f., ( Omezená online verze (Knihy Google) ).
7. ^ Fragmenty Rhindova matematického papyru . on-line v kolekci na Brooklyn Museum . Citováno 29. srpna 2016 .