Mercatorova projekce

Klasická projekce Mercator v normální poloze

První Mercatorova projekce z roku 1569

Přehrát mediální soubor

Film o projekci Mercator

Mercatorova projekce používaná v kartografii je formou válcové projekce pojmenované podle kartografa Gerharda Mercatora , ve které je projekce ve směru osy válce adekvátně zkreslena, aby se dosáhlo skutečného úhlu obrazu zemského povrchu. Mercatorova projekce není fyzikální projekcí, a proto ji nelze konstruovat geometricky. Úhlová přesnost je synonymem shody , takže geometrické tvary v malém zůstávají nezkreslené. Naproti tomu projekce Mercator není pravdivá ani pro oblast, ani pro směr na velké vzdálenosti, tj. H. Oblasti mají různá měřítka v různých bodech na obrázku a úhly směru ke vzdáleným bodům nejsou v rovinné mapě a na kouli stejné, protože velké kruhy jako nejkratší spojení mezi dvěma body nejsou mapovány na přímkách. Přesnost délky existuje pouze podél jedné nebo dvou odlišných čar.

V závislosti na poloze projekčního válce se rozlišuje mezi normálním výstupkem Mercator, ve kterém je osa válce shodná s osou Země, příčnými výstupky Mercator s osami válce kolmými k ose Země a šikmými výstupky Mercator v ostatních případech.

Mercatorovy projekce se používají zejména v navigaci a geodetice: v navigaci jako normální projekce, v geodézii hlavně jako příčné projekce s různými osami pro různé pásy poledníků ( UTM , souřadnicový systém Gauß-Krüger atd.). V roce 1569 Gerhard Mercator publikoval mapu tohoto typu pro navigační účely v normální poloze povrchu obrazu, na kterou bylo možné poprvé nakreslit kontrolovaný kurz jako přímku.

konstrukce

Jako první aproximace je zemský povrch sférický povrch, který nelze zkreslit na plochou mapu. V projekci Mercator je kolem Země umístěn imaginární válec, který se jí dotýká podél velkého kruhu nebo se rozřezává ve dvou kruzích na obou stranách tohoto velkého kruhu. Z osy válce lze libovolný bod na planetě geometricky promítnout na přímku, která je kolmá na tuto velkou kružnici. V tomto případě se archetypy ležící uvnitř válce zvětšují, čím více v obvodovém směru, tím blíže jsou k ose, zatímco ty vnější se zmenšují. Aby se dosáhlo úhlové přesnosti, musí být takový povrchový prvek zvětšen o stejný faktor v axiálním směru. Aby bylo možné určit polohu v axiálním směru, musí být zvětšení matematicky integrováno do vzdálenosti od kontaktní linie k bodu, který má být promítnut.

Normální Mercatorova projekce

Projekce válce, normální poloha (osa válce = osa země)

Normální Mercatorova projekce

Při normální projekci Mercator se kruhy zeměpisné šířky a meridiány stávají přímkami. Tím, promítání na základě nyní paralelních meridiány, povrchy jsou natažené ve směru východ-západ s převrácené na kosinu zeměpisné šířky. Stejné rozšíření tedy musí být provedeno ve směru sever-jih; poloha bodu se poté vypočítá pomocí integrálu převrácené hodnoty kosinu zeměpisné šířky.

Mapování rovnic pro normální polohu

Následující rovnice určují souřadnice a k bodu na Mercator mapě od jeho šířky a délky (s délkou mapového centra, úhel v radiánech ). Země je považována za sférickou; Délky jsou bezrozměrné s poloměrem Země . Rovnice pro y je výše zmíněný integrál převrácené hodnoty kosinu zeměpisné šířky (namísto tečny v projekci gnomonického válce): ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda _ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = \ lambda - \ lambda _ {0} \\ y & = \ int _ {0} ^ {\ varphi} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ cos t }} \\ & = \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi} {2}} \ right) \ right] \\ & = \ ln \ left (\ tan \ varphi + \ sec \ varphi \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left ({\ frac {1+ \ sin \ varphi} {1- \ sin \ varphi}} \ right) \\ & = \ mathop {\ rm {artanh}} \ left (\ sin \ varphi \ right) \\ & = \ mathop {\ rm {arsinh}} \ left (\ tan \ varphi \ right) \ end {zarovnáno}}}$

Inverzní je funkce Gudermann :

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ varphi & = 2 \ arctan \ left (e ^ {y} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ pi \\ & = \ arctan \ left (\ sinh y \ right) \\ & = \ arcsin \ left (\ tanh y \ right) \\\ lambda & = x + \ lambda _ {0} \ end {zarovnáno}}}$

Příčná Mercatorova projekce

Řezací válec v příčné poloze (osa válce kolmá na zemskou osu)

Aplikace projekce Mercator v příčné poloze zobrazovacího válce byla publikována v roce 1772 Johann Heinrich Lambert . Pro zvýšení přesnosti rozšířil Carl Friedrich Gauß v roce 1825 aplikaci na zemský elipsoid , který byl pro praktické použití dále zkoumán Louisem Krügerem v roce 1912 (viz souřadnicový systém Gauß-Krüger ).

Příčná Mercatorova projekce pro 45 ° východní délky

Příčná Mercatorova projekce pro nultý poledník

Zobrazovací vlastnosti

Tissotova ukazatel zeměkoule v perspektivě

Tissotův indikátor Mercatorovy projekce

Měřítko pro mapu světa v projekci Mercator

Nejdůležitější vlastností Mercatorovy projekce je její úhlová přesnost. To také znamená, že v malých oblastech je měřítko délky ve všech směrech stejné. Je však konstantní pouze podél linie kontaktu a jejích paralel. Projekce odpovídá délce pouze na dotykových linkách, tj. H. odpovídá zadané stupnici. Není to tedy pravda ani pro oblast. Zkreslení se se vzdáleností od linie kontaktu stále zvětšují a na ose projekce jsou nekonečná. Pokud existují dvě linie kontaktu, oblast mezi nimi je komprimována.

Úhlová věrnost také vede k axiální věrnosti v normální poloze. To znamená, že severní směr je všude na mapě stejný. Spolu s úhlovou přesností to znamená, že loxodromy (tj. Konstantní průběhy) jsou mapovány jako přímé čáry. Nejkratší spojení se však nezobrazují jako přímky; místo toho by byla vyžadována přesnost směru (→ gnomonická azimutální projekce ).

Čím blíže je oblast k severnímu nebo jižnímu pólu, tím více se zvětšuje v normální poloze. Výsledkem je, že ostrov Grónsko (2,2 milionu km²) je na této mapové projekci zobrazen téměř stejně velký jako africký kontinent (30,3 milionu km²). Severní a jižní pól nelze zobrazit, protože tyto body by byly v projekci v nekonečnu.

použití

Námořní mapy

Normální obraz Mercatoru je založen na téměř všech námořních mapách a některých leteckých mapách kvůli své úhlové a axiální přesnosti . Změny měřítka jsou patrné na větších částech zemského povrchu, takže měřítko zeměpisné šířky vytištěné na okraji mapy není ve stejné vzdálenosti. Jedna námořní míle na námořní mapě odpovídá přesně jedné obloukové minutě ve stejné zeměpisné šířce na levém nebo pravém okraji mapy.

Zeměměřický průzkum

Pro mapy v malém měřítku, zejména pro základní mapy velkého počtu národních průzkumů, je široce používána příčná Mercatorova projekce jako souřadnicový systém Gauß-Krüger , univerzální příčná Mercatorova projekce (UTM) a podobné. UTM se používá ve 30 různých polohách os pro pásy široké 6 °, Gauß-Krüger používá dvakrát tolik pozic pro pásy 3 °. Aby se zlepšila věrnost délek na širší zobrazovací ploše, vyčnívá projekční válec UTM zemský elipsoid ve dvou liniích.

V Německu a Rakousku byla projekce Gauß-Krüger základem pro národní průzkumy. Mezinárodní spolupráce, která se mezitím stala nezbytnou v geodézii, pomohla mezinárodně realizovat novější Universal Transversal Mercator Projection založenou na Gauß-Krüger, na kterou se také mění Německo a Rakousko.

Ve švýcarském národním průzkumu je použita šikmá Mercatorova projekce, ve které je osa zvolena tak, že základní bod národního průzkumu, Bernská observatoř, leží na stejném poledníku a na kontaktní linii.

Mapy na internetu

V Internetu používají tyto projekce pro dvourozměrná zobrazení jak bezplatné projekty, jako je OpenStreetMap, tak komerční poskytovatelé, jako jsou Bing Maps a Yahoo Maps .

V roce 2018 však Mapy Google přešly na ortografickou azimutální projekci , ve které se při oddálení stane viditelným sférický tvar Země.

Velkoplošné mapy

Mercatorova projekce je nevhodná pro velkoplošné mapy, zejména pro mapy světa, pokud nejsou konkrétně použity k určení kurzu v navigaci kvůli jejím zkreslením, která se s rostoucí vzdáleností od linie kontaktu prudce zvyšují. Skutečnost, že se zde přesto používala po omezenou dobu a zčásti vedla k diskusi iniciované Arnem Petrem od roku 1974 o projekci Mercator a alternativě přibližně rovné válcové Petersovy projekce , známé v kartografii jako Gallova ortografická projekce . Peters kritizoval skutečnost, že projekce Mercator vyjadřovala „ eurocentrický světonázor“, protože na mapě světa v normální projekci Mercator se průmyslové země v mírných zeměpisných šířkách, jako je Evropa, jeví jako proporcionálně větší než rovníkové oblasti, kde se nacházejí hlavně rozvojové země.

literatura

• Mark Monmonier: Rhumb Lines a Map Wars: A Social History of the Mercator Projection. University of Chicago Press, Chicago 2004, ISBN 0-226-53431-6 .
• Reinhard Buchholz, Wilhelm Krücken: Mercatorova projekce. Na počest Gerharda Mercatora (1512–1594). Becker, Velten 1994, ISBN 3-930640-36-8 .
• J. Lwbg.: „Po Mercatorově projekci“ . In: Altán . Vydání 36, 1878, str. 592-594 ( plný text [ Wikisource ]). 
• Manfred Spata: Univerzální příčný obraz Mercator (obrázek UTM) v německém národním průzkumu. In: Duisburger Forschungen, svazek 59, 2013, s. 269-299. ISBN 3-87463-532-5 . webové odkazy

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam. Web F. Wilhelma Krückena o Mercatoru, projekci Mercator a projekci Peters
• K 500. narozeninám brilantního kartografa Gerarduse Mercator Web Fred Killet o Mercatorovi a projekci Mercator

Individuální důkazy

1. ↑ Švýcarský federální úřad pro topografii, web: Švýcarské mapové projekce
2. ↑ Frederik Ramm, Jochen Topf: OpenStreetMap: Použijte a pomozte utvářet mapu volného světa. ISBN 978-3-86541-375-8 .
3. ↑ Tilman Wittenhorst: Už žádná plochá Země: Mapy Google se přepnou do globálního zobrazení. In: heise.de. 4. srpna 2018, zpřístupněno 12. září 2019 .