Logaritmická distribuce

Pravděpodobnostní funkce logaritmického rozdělení pro (modrou), (zelenou) a (červenou)${\ displaystyle p = 0,2}$${\ displaystyle p = 0,5}$${\ displaystyle p = 0,8}$

Logaritmické distribuce je rozdělení pravděpodobnosti v stochastics . Je to jednorozměrné , diskrétní rozdělení pravděpodobnosti a pochází z oblasti pojistně-matematické matematiky . Je to zajímavé jako rozdělení výše poškození, ale k určení počtu poškození se používá jen zřídka.

definice

Diskrétní náhodná proměnná splňuje logaritmické rozdělení s parametrem (pravděpodobnost úspěchu), pokud se jedná o pravděpodobnost${\ displaystyle X \ in \ mathbb {N} \ setminus \ vlevo \ {0 \ vpravo \}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (X = k) = f (k) = - {\ frac {p ^ {k}} {k}} \ cdot {\ frac {1} {\ ln (1-p) }}}$

vlastní.

charakteristiky

Očekávaná hodnota

Logaritmická distribuce má očekávanou hodnotu z

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = - {\ frac {p} {(1-p) \ ln (1-p)}}}$.

Rozptyl

Odchylka je stanovena na

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = - {\ frac {p \ cdot (\ ln (1-p) + p)} {(1-p) ^ {2} \ ln ^ {2} (1 -p)}}}$.

Variační koeficient

Variační koeficient se získá okamžitě z očekávané hodnoty a rozptylu

${\ displaystyle \ operatorname {VarK} (X) = {\ sqrt {- {\ frac {p} {\ ln (1-p) + p}}}}}$.

Křivolakost

Tyto zkosení výsledky:

${\ displaystyle \ operatorname {v} (X) = {\ frac {1} {\ sqrt {p (- \ ln (1-p) -p)}}} \ left ({\ frac {\ ln ^ {2 } (1-p)} {- \ ln (1-p) -p}} + p (- \ ln (1-p) -2p) \ vpravo)}$.

Charakteristická funkce

Charakteristická funkce má tvar

${\ displaystyle \ phi _ {X} (s) = {\ frac {\ ln (1-pe ^ {is})} {\ ln (1-p)}}}$.

Funkce generující pravděpodobnost

Pro funkci generování pravděpodobnosti se získá

${\ displaystyle g_ {X} (s) = {\ frac {\ ln (1-ps)} {\ ln (1-p)}}}$.

Funkce generování momentů

Funkce generující moment logaritmického rozdělení je

${\ displaystyle m_ {X} (s) = {\ frac {\ ln (1-pe ^ {s})} {\ ln (1-p)}}}$.

Iterativní výpočet

Rekurzivní rovnice platí pro funkci pravděpodobnosti

${\ displaystyle f (k + 1) = {\ frac {kp} {k + 1}} f (k)}$

s počáteční hodnotou . To lze použít k efektivní implementaci logaritmicky distribuovaných náhodných čísel. ${\ displaystyle f (1) = {\ frac {-p} {\ ln (1-p)}}}$

Vztah k jiným distribucím

Kombinace logaritmického rozdělení s kompozitním Poissonovým rozdělením vede k negativnímu binomickému rozdělení a jako zvláštní případ také k geometrickému rozdělení .

literatura

• Hans-Otto Georgii: Stochastics . Úvod do teorie pravděpodobnosti a statistiky. 4. vydání. Walter de Gruyter, Berlín 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , doi : 10,1515 / 9783110215274 . 

webové odkazy

• Eric W. Weisstein : Logaritmická distribuce . In: MathWorld (anglicky).