Nekonečné číslo

V matematice je kladné nekonečné číslo objekt, který je s ohledem na pořadí reálných čísel větší než nula , ale menší než jakékoli kladné reálné číslo, bez ohledu na to, jak malé.

charakteristiky

Je zřejmé, že mezi reálnými čísly, která splňují tento požadavek, nejsou žádná nekonečná čísla, protože takový nekonečný by musel splňovat podmínku , protože existuje také kladné reálné číslo. Aby bylo možné tyto nekonečné číslice definovat , musí být buď výše uvedený požadavek oslaben, nebo musí být reálná čísla vložena do většího, uspořádaného pole , ve kterém je pak prostor pro takové další prvky. Posledně jmenovaný je způsob, jakým jsou definovány algebraické infinitezimály (Coste, Roy, Pollack), a také způsob nestandardní analýzy (NSA) (Robinson, Nelson). ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Infinitesimal má vlastnost, že jakýkoli součet konečně mnoha (v NSA: standard konečně mnoho) podmínek množství tohoto čísla je menší než 1: ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle | x | + \ dotsb + | x | <1}$ pro libovolný konečný počet sčítání.

V tomto případě je větší než jakékoli kladné reálné (v NSA: standardní reálné) číslo. Pro algebraické infinitezimály to znamená, že přidružené rozšíření pole není archimédské . ${\ displaystyle | 1 / x |}$

počet

Prvním matematikem, který použil taková čísla, byl pravděpodobně Archimedes , i když nevěřil v jejich existenci .

Newton a Leibniz používají nekonečná čísla k vývoji svého počtu nekonečně malých (diferenciálních a integrálních).

Typicky argumentovali (ve skutečnosti pouze Newton, Leibniz používá monády , dnes zhruba: ukončené nebo formální mocenské řady ):

Abychom našli derivaci funkce , předpokládáme, že je nekonečně malá. Pak ${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

protože je nekonečně malý. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Ačkoli je tento argument intuitivní a poskytuje správné výsledky, není matematicky přesný: Základní problém spočívá v tom, že je zpočátku považován za nenulový (jeden vydělí ), ale v posledním kroku je považován za rovný nule. Použití nekonečně malých čísel kritizoval George Berkeley ve své práci: Analytik: nebo diskurz adresovaný nevěřícímu matematikovi (1734).${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Historický pokrok

Od té doby byla otázka nekonečných čísel úzce spjata s otázkou povahy reálných čísel. Teprve v devatenáctém století dali Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind a další skutečné analýze matematicky přísnou formální podobu. Zavedli úvahy o mezních hodnotách , díky nimž bylo použití nekonečně malých množství nadbytečné.

Přesto bylo použití nekonečně malých čísel stále považováno za užitečné pro zjednodušení reprezentací a výpočtů. Pokud tedy vlastnost označuje, že je nekonečně malá, a podle toho může být definována vlastnost, že je nekonečná : ${\ displaystyle x \ cca 0}$${\ displaystyle N \ přibližně \ infty}$

• A (standardní), výsledek je nulový, pokud sekvence pro všechny platí: .${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N \ přibližně \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ přibližně 0}$
• A (standardní) funkce na ohraničeném intervalu je stejnoměrně spojitá tehdy a jen tehdy, jestliže pro všechny , které se vztahují z následujících: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ v I}$${\ displaystyle xy \ přibližně 0}$${\ displaystyle f (x) -f (y) \ přibližně 0}$

Ve 20. století byla nalezena rozšíření číselných rozsahů reálných čísel, která obsahují nekonečně malá čísla ve formálně správné formě. Nejznámější jsou hyperrealistická čísla a surrealistická čísla .

V nestandardní analýze pomocí Abraham Robinson (1960), který obsahuje Hyperreálné Číslo je zvláštní případ, nekonečně malé počty jsou legitimní veličiny. V této analýze lze výše uvedenou derivaci ospravedlnit mírnou úpravou: Mluvíme o standardní části diferenciálního kvocientu a standardní části je (je- li standardní číslo; více podrobností v propojeném článku). ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

bobtnat

1. ↑ Celý text lze nalézt (nově nastavený) jako soubor ke stažení [1]