Hohmann převod

Hohmann-Bahn (žlutá) spojuje dvě kruhové dráhy, např. B. oběžná dráha Země (zelená, ) s geostacionární oběžnou dráhou (červená , není v měřítku).${\ displaystyle r_ {e} = R}$${\ displaystyle r_ {a} = R '}$

Převod Hohmann je energeticky příznivý přechod mezi dvěma oběžné dráhy kolem dominantního nebeské těleso . Přenosová elipsa ( Hohmannova cesta ) probíhá tangenciálně jak k počáteční cestě, tak k cílové cestě; k nastavení rychlosti ( nebo ) je zapotřebí každý jeden impuls (kick burn ). Takovou skicu najde Ziolkowski již v roce 1911 . V roce 1925 považoval Walter Hohmann tento převod za optimální. To je také případ pro koplanární , kruhové počáteční a cílové cesty s poloměrem poměrem pod 11,94; za extrémních podmínek, a cesty, které jsou silně skloněny nebo dokonce protiběžných, je bi-eliptický přenos je energeticky výhodnější. ${\ displaystyle \ Delta v_ {e}}$${\ displaystyle \ Delta v_ {a}}$

Úkol přesunout satelity z blízké Země na geostacionární oběžnou dráhu se blíží idealizujícím předpokladům , viz oběžná dráha geostacionárního přenosu . Centrálním poli aproximace je horší pro lety na Měsíc nebo sousedními planetami - s otočným by manévry a časově náročné objížďky můžete ušetřit palivo ve srovnání s analyticky zjištěno převod Hohmann.

Výpočet pomocí příkladu přenosu na geostacionární oběžnou dráhu

Aby bylo možné polohovat satelity geostacionárně , jsou často nejprve umístěny na kruhové, nízké oběžné dráze, nízké oběžné dráze Země (LEO) , viz (1) na obrázku. První impuls ( ) přivede satelit na eliptickou oběžnou dráhu Hohmann (2), jejíž vrchol se nachází v oblasti cílové oběžné dráhy (3). Tam další impuls síly ( ) také zvyšuje perigeum oběžné dráhy, které je tedy opět kruhové. ${\ displaystyle \ Delta v_ {e}}$${\ displaystyle \ Delta v_ {a}}$

Rychlosti

Celková energetická bilance na Hohmannově přechodu mezi dvěma kruhovými drahami s počátečním poloměrem a koncovým poloměrem . Černá čára označuje energii pro kruhové dráhy s příslušným poloměrem.${\ displaystyle r_ {e}}$${\ displaystyle r_ {a}}$

Podle rovnice Vis-Viva je rychlost v (r) tělesa v místě r na eliptické oběžné dráze s polohlavní osou a kolem Země:

(1) ${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ mu \ cdot \ left ({\ frac {2} {r}} - {\ frac {1} {a}} \ right)}}}$

s , kde zemská hmota a gravitační konstanty jsou. Pokud se použije poloměr perigeu nebo LEO, poloměr apogea nebo GEO a hlavní poloosa přenosové elipsy, platí následující rovnice pro počáteční rychlost v _LEO , rychlost perigeu v _e , rychlost apogee v _a a konečnou rychlost v _GEO : ${\ displaystyle \ mu = M \ cdot \ gamma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}}}$${\ displaystyle r _ {\ mathrm {a}}}$${\ displaystyle a = {\ frac {r _ {\ mathrm {e}} + r _ {\ mathrm {a}}} {2}}}$

(2) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {LEO}} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r _ {\ mathrm {e}}}}}}$

(3) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {e}} = {\ sqrt {\ mu \ cdot \ left ({\ frac {2} {r_ {e}}} - {\ frac {1} {a}} \ right )}}> v _ {\ mathrm {LEO}}}$

(4) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {a}} = {\ sqrt {\ mu \ cdot \ left ({\ frac {2} {r_ {a}}} - {\ frac {1} {a}} \ right )}} <v _ {\ mathrm {GEO}}}$

(5) .${\ displaystyle v _ {\ mathrm {GEO}} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r _ {\ mathrm {a}}}}}}$

čísla

Jsou uvedeny následující hodnoty:

${\ displaystyle r _ {\ mathrm {LEO}} = r _ {\ mathrm {e}} = 6 678 \, \ mathrm {km}}$

měřeno od středu Země v počáteční nadmořské výšce 300 km

${\ displaystyle r _ {\ mathrm {a}} = r _ {\ mathrm {GEO}} = 42 164 \, \ mathrm {km}}$

${\ displaystyle \ mu = 398 600 \, \ mathrm {km} ^ {3} / \ mathrm {s} ^ {2}}$

Rychlost dráhy vypočítaná podle výše uvedených rovnic je pak:

(6) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {LEO}} = 7 {,} 73 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {s}}$

(7) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {e}} = 10 {,} 15 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {s}}$

(8.) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {a}} = 1 {,} 6 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {s}}$

(9) ${\ displaystyle v _ {\ mathrm {GEO}} = 3 {,} 07 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {s}}$

Výsledkem jsou dvě požadované změny rychlosti.

Pro přechod z LEO na přenosovou elipsu: ${\ displaystyle \ Delta v_ {e} = v _ {\ mathrm {e}} -v _ {\ mathrm {LEO}} = 2 {,} 47 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {s}}$

Pro přechod z přenosové elipsy na GEO: ${\ displaystyle \ Delta v_ {a} = v _ {\ mathrm {GEO}} -v _ {\ mathrm {a}} = 1 {,} 46 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {s}}$

Výdaj energie v závislosti na poloměru

změna rychlosti potřebná pro Hohmannův přenos jako funkce poměru rychlosti zdrojové a cílové oběžné dráhy

Elipsa Hohmannova přenosu je popsána rychlostmi počáteční a cílové kruhové dráhy . V pořadí od počátečního oběžné dráhy projít do elipsy a zpět do kruhové dráhy na bránu , aby se dospělo, dvěma dávkami nebo dvě změny rychlosti , potřebné. Abychom mohli vzít v úvahu požadovaný energetický výdej, lze vzít v úvahu také celý rozdíl . Přenosová elipsa je popsána poloosou . ${\ displaystyle r_ {e}}$${\ displaystyle r_ {a}}$ ${\ displaystyle \ Delta v_ {e}}$${\ displaystyle \ Delta v_ {a}}$${\ displaystyle \ Delta {v} = \ Delta {v} _ {a} + \ Delta {v} _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {a} + r_ {e}} {2}} {\ text {with}} r_ {a}> r_ {e}> 0}$

${\ displaystyle \ Delta v_ {e} = v_ {e} \ vlevo ({\ sqrt {\ frac {2r_ {a}} {r_ {e} + r_ {a}}}} - 1 \ vpravo)}$,

${\ displaystyle \ Delta v_ {a} = v_ {a} \ vlevo (1 - {\ sqrt {\ frac {2r_ {e}} {r_ {a} + r_ {e}}}} \ vpravo)}$

Pro další diskusi je užitečné zvážit bezrozměrné množství . Výsledkem pomocné proměnné je: ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta {v}} {v_ {e}}} = {\ frac {\ Delta {v} _ {e}} {v_ {e}}} + {\ frac {\ Delta { v} _ {a}} {v_ {e}}} = {\ frac {\ Delta {v} _ {e}} {v_ {e}}} + {\ frac {r_ {e}} {r_ {a }}} {\ frac {\ Delta {v} _ {a}} {v_ {a}}}}$${\ displaystyle R = {\ frac {r_ {a}} {r_ {e}}}> 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta {v}} {v_ {e}}} = \ left (1 - {\ frac {1} {R}} \ right) \ left ({\ frac {2R} {1 + R}} \ vpravo) ^ {\ frac {1} {2}} + \ vlevo ({\ frac {1} {R}} \ vpravo) ^ {\ frac {1} {2}} - 1}$

Když se Hohmannův převod ukáže jako užitečný, lze určit podrobnější diskusí o změně rychlosti. Extrémní hodnotu výše uvedeného vzorce lze určit odvozením a přirovnáním k nule :

${\ displaystyle {\ frac {d (\ Delta {v} / v_ {e})} {dR}} = {\ frac {1} {R ^ {2}}} \ vlevo [{\ frac {2R} { 1 + R}} \ vpravo] ^ {\ frac {1} {2}} + {\ frac {R-1} {R (1 + R) ^ {2}}} \ vlevo [{\ frac {2R} {1 + R}} \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} - {\ frac {1} {2R ^ {\ frac {3} {2}}}} = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow R ^ {3} -15R ^ {2} -9R-1 = 0}$

Existuje jediné rozumné řešení . Poměr pro maximum je tedy podle kontextu: daný. Navíc se derivace pro každého přísně monotónně zvyšuje . To znamená, že energetický výdej se pro každý větší poměr opět sníží. ${\ displaystyle R = 15 {,} 582}$${\ displaystyle r_ {a} / r_ {e}}$${\ displaystyle r_ {e} \ cdot 15 {,} 582 = r_ {a}}$${\ displaystyle R> 15 {,} 582}$ ${\ displaystyle r_ {a} / r_ {e}}$

příklad

Přeneste oběžnou dráhu na Mars

Přenášet Zemi → Mars s 1 oběžnou dráhou Země (modrá), 2 Hohmannovy přenosové elipsy (žlutá) a 3 oběžnými dráhami Marsu (červená)

Mars je nejblíže Zemi v opozici . Nicméně, kosmická loď nebo kosmická sonda může používat pouze tento geometrický blízkost s velkým úsilím, protože v tomto případě by musel být osloven proti pohybu na oběžné dráze Země.

Podle Hohmanna je na druhé straně energeticky nejpříznivější přenos, kdy se kosmická loď dostane na Mars ve spojení s pozicí na Zemi, ze které vycházela. Na obrázku vlevo kosmická loď nejprve obíhá kolem Země (modrá oběžná dráha 1), poté se mění v dolním průsečíku (od 1 do 2) tahovým pulzem, aby se přenesla po eliptické Hohmannově oběžné dráze (žlutá oběžná dráha 2), dosáhne na obrázku, horní křižovatka (2 se 3) dosáhne Marsu, aby jej obíhala dalším tahu (červená dráha 3). Ve dvou polohách na hlavní ose je přenosová elipsa tečně ohraničena na oběžné dráze Země nebo na oběžné dráze Marsu a slunce je v jednom ze svých ohniskových bodů. Dvojitá hlavní poloosa přenosové elipsy je tedy součtem vzdáleností od Země ke Slunci a od Slunce k Marsu. Podle třetího Keplerova zákona to má za následek půl období osmi a půl měsíce.

Přeneste oběžnou dráhu sondy Mars

Obrázek vpravo ukazuje přenosovou oběžnou dráhu Mars Reconnaissance Orbiter , která vyžaduje více energie než oběžná dráha Hohmann (přechodová dráha vede přes oběžnou dráhu Marsu), ale doba jízdy trvá jen sedm měsíců.

Slabá hranice stability

Má-li se k cílové planetě přiblížit nejnižší možnou rychlostí, nabízí tzv. Metoda slabé hranice stability další zisk energie. Sonda je zpomalena manévrováním podél libračních bodů. První užitečný výpočet oběžné dráhy byl proveden v roce 1986. Sonda ESA SMART-1 se touto metodou přiblížila na Měsíc.

Viz také

• Hillovy rovnice

literatura

• Pedro Ramon Escobal: Metody astrodynamiky . John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-24528-5 . 
• Palmore: Elementární důkaz optimality Hohmannova přenosu . Journal of Guidance, 1984. 
• Kapitola: 8.3 Přenos Hohmann. In: Ulrich Walter: Astronautics: The Physics of Space Flight , Third Edition, Springer, ISBN 978-3-319-74372-1 , str. 313-325

webové odkazy

• Posouzení návrhu mise včetně využití bodů osvobození a hranic slabé stability (PDF; 9,3 MB)
• Odvození vzorce pro orbitální rychlost v tělesa pohybujícího se po eliptické dráze v silovém poli ( LEIFI )
• Interplanetary Trajectories-Hohmann Transfer Orbits , jpl.nasa.gov, zpřístupněno 4. listopadu 2011

Individuální důkazy

1. ↑ Walter Hohmann: Přístup nebeských těles - vyšetřování vesmírného problému. Oldenbourg, Mnichov 1925
2. ^ Shane D. Ross: Meziplanetární dopravní síť , American Scientist 94, 2006, str. 230-237, doi : 10.1511 / 2006.3.230 ( online ).