Teorie extrémních hodnot

Teorie extrémních hodnot (anglický název: log Extreme-event ) je matematická disciplína, která se zabývá odlehlých hodnot , d. H. použité maximální a minimální hodnoty vzorků .

Ústředním výsledkem je skutečnost, že v podstatě pouze tři limitní distribuce jsou možné pro maximum (a minimum) vzorku ( bez ohledu na to, jaké rozdělení ), přičemž vše lze chápat jako případ rozdělení extrémních hodnot . Maximálně stabilní procesy rozšiřují vícedimenzionální teorii extrémních hodnot na nekonečně dimenzionální případ.

Definice

Nechť existují nezávisle a identicky distribuované náhodné proměnné s hodnotami v reálných číslech a jejich maximem. Kromě toho, označují na distribuční funkci v , a být non-degenerované distribuční funkci - tedy nikoli funkci, která může mít pouze hodnoty nula nebo jedna. Pokud existují sekvence, takže platí konvergence , může existovat pouze jedno z následujících rozdělení, v závislosti na tom, zda ocas rozdělení klesá exponenciálně , klesá polynomiálně nebo dosahuje hodnoty nula v jednom bodě: ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle M_ {n} = \ max _ {i} X_ {i}}$${\ Displaystyle F (x) = P (M_ {n} \ leq x) \;}$${\ displaystyle M_ {n}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n} \;}$${\ Displaystyle F (b_ {n} + a_ {n} x) \ rightarrow G (x) \;}$${\ displaystyle G}$

• Gumbelův typ (typ I). Přesněji řečeno: Pokud proměnná má na distribuci Gümbel , pak to má s extrémní hodnotovou distribuci typu I.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ log (X)}$
• Typ Fréchet (typ II). Přesněji řečeno: Pokud proměnná má na distribuci Frechet , pak to má s extrémní hodnotovou distribuci typu II.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 1 / X}$
• Weibullův typ (typ III). Přesněji řečeno: Pokud proměnná má na Weibullova rozdělení , má s extrémní hodnotovou distribuci typu III.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle -X}$

Tyto tři distribuce lze také parametrizovat do jedné třídy ( reprezentace Jenkinson-von-Mises ). Generalizovaná distribuce (nebo a) se nazývá distribuce extrémních hodnot . A často se používají jako parametry s popisem distribuce typu III a distribuce typu II. ${\ Displaystyle K, \ sigma}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle K <0}$${\ displaystyle K> 0}$

Aplikace

Používá se mimo jiné ve finanční matematice a pojistně matematické matematice . Teorie byla mimo jiné. aplikován na studium rekordního vývoje v atletice a klimatických záznamech.

Typické otázky mohou zahrnovat:

• Jak vysoko by měla být přehrada postavena, pokud si chcete být jisti, že je jen 1% pravděpodobnost, že bude v příštích 100 letech zaplavena?
• Jaká je pravděpodobnost krachu akciového trhu v příštím roce, který povede k poklesu cen o více než 15%?

Neobvyklé rozdělení s „tlustými ocasy“

U takových velmi vzácných událostí, např. B. velmi vysoké ekonomické zisky nebo ztráty, teorie pravděpodobnosti extrémních událostí již nemusí být charakterizována obvyklými normálními distribucemi (nebo jejich superpozicemi), které se chovají jako gaussovské funkce, tj. Jako „standardní zvonové křivky“ šířky , přesněji: jako , které v okrajové oblasti padají rychleji než exponenciálně. Místo toho dominují distribuční funkce, které vypadají jako gaussovské funkce v centrální oblasti, ale v okrajové oblasti se stanou algebraicky malými , s charakteristickým exponentem „tlustého ocasu“, který je ve fyzické literatuře označován jako a může předpokládat určité „univerzální“ hodnoty.${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle dx ' / {\ sqrt {2 \ pi \ sigma}} \, \ cdot e ^ {- {(x-x') ^ {2}} / (2 \ sigma)}}$${\ Displaystyle \ sim dx '\ cdot | x-x' | ^ {- \ alpha}}$${\ Displaystyle \ alpha}$

literatura

• Emil Julius Gumbel : Statistiky extrémů . Columbia University Press, New York (1958).
• Laurens de Haan , Ana Ferreira: The Extreme Value Theory , Springer 2006

webové odkazy

• Pokročilé extrémní modely pro operační riziko (soubor PDF)
• Pokud jde o hlavu a krk: teorie extrémních hodnot (soubor PDF)

Individuální důkazy

1. ↑ Daniel Gembris: rozvoj sportovců vytvořil nové rekordy . In: Spektrum der Wissenschaft , č. 8, 2008, s. 14-16.
2. ^ Gregor Wergen, Joachim Krug a Stefan Rahmstorf: klimatické záznamy . In: Spektrum der Wissenschaft , č. 2, 2014, s. 80–87.
3. ^ Rosario N. Mantegna, H. Eugene Stanley : Úvod do ekonofyziky: Korelace a složitost financí. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-62008-2 .