Vlastní stav

Vlastní stav je základním pojmem v kvantové fyzice . Eigenstate dané fyzikální veličiny je stav a fyzikálního systému , ve kterém je toto množství má dobře definovanou hodnotu. Pouze tuto hodnotu lze získat jako výsledek měření, pokud se na systému, který je ve vlastním stavu, provede bezchybné měření této proměnné. Také se označuje jako vlastní hodnota, se kterou je pozorovaná proměnná přítomna ve sledovaném stavu, a samotná fyzická proměnná se v této souvislosti označuje jako pozorovatelná . Vlastní stav je často charakterizován specifikováním pozorovatelného a jeho vlastního čísla, např. B. kvantovým číslem , což je pořadové číslo vlastního čísla v seznamu všech možných vlastních čísel pozorovatelných.

Vlastní stavy Hamiltonova operátoru mají zvláštní význam, protože se jedná o energetické vlastní stavy nebo stacionární stavy systému popsaného tímto Hamiltonovým operátorem. Například atom vodíku je ve svém energeticky nejnižším možném stavu, když je ve svém vlastním energetickém stavu s (hlavním) kvantovým číslem n = 1.

Stav překrytí

Systém může (až na několik výjimek) předpokládat různé vlastní stavy stejného pozorovatelného. Poté, podle pravidel kvantové mechaniky , jsou všechny superpoziční stavy dostupné systému, ve kterém jsou současně přítomny různé vlastní stavy , každý s určitou amplitudou pravděpodobnosti . Pokud jsou superponovány pouze vlastní stavy se stejným vlastním číslem, pak je stav superpozice také vlastním číslem stejného pozorovatelného se stejným vlastním číslem. Výsledek měření těchto pozorovatelných lze tedy jasně předpovědět. Pokud jsou však vlastní stavy superponovány tak, aby vytvářely různá vlastní čísla, každý z těchto vlastních čísel se může během měření objevit jako výsledek s určitou pravděpodobností .

Jinými slovy: na rozdíl od klasické fyziky nemají všechny měřitelné veličiny v kvantové mechanice přesně definovanou hodnotu v každém stavu. Proto není vždy možné s jistotou předpovědět výsledek odpovídajícího (bezchybného) měření. Pokud má ale měřená proměnná ve stavu dobře určenou hodnotu, pak se stav označuje jako vlastní stav této měřené proměnné a jeho dobře určená hodnota jako příslušná vlastní hodnota. Měření vždy dává vlastní číslo a ponechává systém ve stejném vlastním čísle.

Výsledky měření nekomutovatelných pozorovatelných údajů

Pozorovatelny, pro které neexistují žádné společné vlastní státy, si zaslouží zvláštní pozornost . Pokud bylo provedeno měření pro pozorovatelný, tj. Jako výsledek byl získán jeden z jeho vlastních čísel, je systém v příslušném vlastním čísle pro tento vlastní údaj. Pokud tento vlastní stav prvního pozorovatelného není vlastním stavem druhého pozorovatelného, jedná se v každém případě o superponovaný stav jeho vlastních stavů, a to s různými vlastními hodnotami. Pro měření druhého pozorovatelného nelze předpovědět přesný výsledek; může to být jakýkoli z jeho vlastních čísel, který je v této superpozici zastoupen. Navíc, pokud jste právě vyměnili pořadí měření, systém by byl poté v jiném stavu. Takové pozorovatelnosti se nenazývají zaměnitelné . Příklad dobře známé jsou dvě pozorovatelné pro pozici a hybnost na částice .

Zastoupení v matematickém formalismu

V matematickém formalismu je stav reprezentován vektorem v Hilbertově prostoru , např. B. představuje vlnovou funkci ; vlastní stav pozorovatelny odpovídající jednomu z vlastních vektorů (neboli vlastních funkcí ) pozorovatelných. Pozorovatelný je reprezentován lineárním operátorem s vlastním adjointem . Při aplikaci na vlastní stav je výsledkem stejný vlastní stav vynásobený skalárním faktorem. Tento faktor je vlastní hodnota příslušného operátora v tomto stavu.

Superpozici různých stavů představuje lineární kombinace příslušných stavových vektorů nebo vlnových funkcí, přičemž koeficienty jednotlivých složek přesně označují amplitudy pravděpodobnosti.

notace

Pokud má operátor vlastní čísla , pak je rovnice vlastních čísel pro -tý vlastní stav napsána následovně: ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \, a_ {2}, \, a_ {3}, \, \ tečky}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$

{\ displaystyle {\ hat {A}} | \ psi _ {n} \ rangle = a_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

Příklad: Řešení stacionární Schrödingerovy rovnice

{\ displaystyle {\ hat {H}} | \ varphi \ rangle = E | \ varphi \ rangle}

jsou eigenstates na provozovatele Hamilton , takže s vlastními čísly máme: ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle = | \ psi _ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$

{\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi _ {n} \ rangle = E_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle}

důležitost

Pokud je zkoumaný systém před vlastním měřením ve vlastním stavu příslušného operátora , pak je spolehlivým výsledkem tohoto měření právě vlastní hodnota . Pokud je však systém ve stavu, který není jeho vlastním , nelze s jistotou předpovědět výsledek měření. Každá z těchto čísel je pak možný výsledek měření, je pravděpodobnost pro výsledek (v případě, že stavy jsou normalizovány na 1) je dána (tj. Do čtverce o o velikosti složky vektoru podél ). Skalární produkt sám o sobě je také nazýván amplituda státu ve státě . ${\ displaystyle | \ psi _ {m} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \, a_ {2}, \, a_ {3}, \, \ tečky}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ vert \, \ langle \ psi _ {n} | \ varphi \ rangle \ vert ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ psi _ {n} | \ varphi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$

Po měření je zkoumaný systém poté v tomto vlastním stavu dotyčného operátora, jehož vlastní hodnota souhlasí s výsledkem měření. Toto se nazývá redukce stavu . Představuje u. A. ujistěte se, že opakování měření okamžitě ukazuje stejný výsledek.

charakteristiky

Vlastní stavy stejného hermitovského operátora , ale s různými vlastními hodnotami, jsou ortogonální : if , then . ${\ displaystyle a_ {n} \ neq a_ {m}}$ ${\ displaystyle \ langle \ psi _ {n} | \ psi _ {m} \ rangle = 0}$
Pokud má několik párových ortogonálních vlastních stavů stejného hermitovského operátora stejnou vlastní hodnotu, říká se tomu -fold degenerate . Každá lineární kombinace těchto vlastních stavů je pak také vlastním stavem se stejnou vlastní hodnotou, celkem -rozměrným podprostorem celého stavového prostoru. Je libovolné, které základní vektory si v něm zvolí. ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$
${\ displaystyle g}$ ukazuje na statistické hmotnost eigenvalue v kvantové statistiky . Toto je zkráceno, ale nepřesně, často vyjádřeno takovým způsobem, že pro tuto měřenou hodnotu existují „přesně různé stavy“. Tento výraz se vztahuje na maximální počet lineárně nezávislých států mezi všemi eigenstates se stejným vlastního čísla, to jest rozměr podprostoru. ${\ displaystyle g}$
Obecně platí, že každá (normalizovaná) lineární kombinace stavových vektorů je možným stavovým vektorem ( princip superpozice ), často také nazývaným stavem superpozice. Pokud jsou superponovány vlastní stavy určitého operátora, pak stav superimponování je vlastní stav stejného operátora právě tehdy, když lineární kombinace obsahuje pouze vlastní stavy se stejnou vlastní hodnotou.

literatura

Wolfgang Nolting: Základní kurz teoretické fyziky 5/1; Kvantová mechanika - základy . 5. vydání. Springer, Berlin Heidelberg 2002, ISBN 3-540-42114-9 , str. 119 .

Languages