Točivý moment

Fyzická velikost
Příjmení	Točivý moment
Symbol vzorce	${\ displaystyle {\ vec {M}}}$
Systém velikosti a jednotky jednotka dimenze SI Nm = N • m M • L 2 • T −2 cgs dyn • cm M • L 2 • T −2

Moment (také moment či moment síly, z latinského hybnosti pohybové síly) je fyzikální veličina v klasické mechaniky , která popisuje rotační účinek síly , s dvojicí sil nebo jiného silového systému na těle . V rotačních pohybech hraje stejnou roli jako síla v lineárních pohybech . Točivý moment může zrychlit nebo zabrzdit otáčení tělesa a ohnout těleso ( ohybový moment ) nebo jej otočit ( torzní moment ). U hnacích hřídelů určuje točivý moment spolu s otáčkami přenášený výkon . Každý točivý moment lze popsat několika silami. Točivý moment dvojice sil je nezávislý na vztažném bodě, a proto jej lze posunout jako volný vektor .

Mezinárodně použitá měrná jednotka pro točivý moment je metr newton . Jako symbol vzorce je běžné. Pokud síla působí na rameno páky v pravém úhlu , velikost točivého momentu se získá vynásobením síly silou délkou ramene páky: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle M = h \ cdot F}$

${\ displaystyle M}$je množství vektoru točivého momentu, které je výsledkem křížového součinu vektoru polohy a vektoru síly: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Je to polohový vektor od referenčního bodu točivého momentu k bodu působení síly. Směr vektoru točivého momentu udává směr otáčení točivého momentu. Referenční bod lze libovolně vybrat; nemusí to být bod, kolem kterého se tělo otáčí (v některých případech takový bod neexistuje) a nemusí to být ani bod na těle, na který síla působí. Točivý moment jedné síly, stejně jako moment hybnosti, je proto definován pouze s ohledem na jeden bod, který je někdy také výslovně uveden: ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)}}$s referenčním bodem .${\ displaystyle A}$

Pokud na různé body působí více sil ( ) , je celkový točivý moment vektorovým součtem jednotlivých momentů: ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ Displaystyle i = 1,2, \ dotsc}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec {F}} _ {i}}$

Pokud na těleso působí dvě rovnoběžné síly, které mají stejné množství, ale v opačném směru a jejichž linie působení jsou od sebe v určité vzdálenosti , způsobí točivý moment s tímto množstvím . Člověk pak mluví o pár silách . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle M = F \ cdot h}$

Označení a vymezení

Točivý moment jako moment prvního řádu

Termín „moment“ se obecně používá pro charakteristiky distribucí, které se týkají tvaru

${\ Displaystyle m_ {n} = \ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {n} \ mathrm {d} \ mu (x)}$

nechat to přinést. V případě točivého momentu má být pro opatření přijata funkce, která přiřadí sílu místu a pořadí . Točivý moment je tedy moment prvního řádu (dipólový moment) rozložení sil. ${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n = 1}$

Místo rozložení sil lze uvažovat i o dalších fyzikálních veličinách a jejich rozložení, jako v případě vícepólové expanze , se obecně vyvíjí podle momentů. Výsledné veličiny, které nejsou momenty, se také označují slovy, která obsahují koncovku -moment . Příkladem je moment oblasti , moment setrvačnosti nebo magnetický moment .

Volba slov ve vědě a technice

V pracích teoretické mechaniky a fyziky je zde popsaná fyzikální veličina obecně označována jako točivý moment . V technické mechanice i v normách DIN a VDI je proměnná obvykle obecně označována jako moment . Málokdy se také obecně označuje jako točivý moment, někdy je označení točivý moment také odmítnuto jako „hovorové“. Někdy se moment používá pro moment několika sil. Krouticí moment se ve většině případů používá pouze tehdy, když se dotyčné těleso otáčí, například při utahování šroubů nebo hřídelí motoru, ale nikoli v případě deformace (ohybový nebo torzní moment) nebo dosud není znám účinek (Moment).

Existuje také řada krouticích momentů, které se vytvářejí s příponou -moment , jako je ohybový moment, torzní moment nebo hnací moment. Označení jako ohybový nebo torzní moment se nepoužívají.

Speciální momenty v technologii

Rozlišuje se mezi

Typ stresu:

• Ohybový moment : Moment, který zdůrazňuje součást v ohybu .
• Torzní moment: Moment, kdy je součást vystavena torzi .
• Řezný moment: Řezná reakce při volném řezání .

Druh pohybu:

• Zatáčení, stoupání, klopný moment: momenty kolem speciálních os tuhého těla při zatáčení , nadhazování a kymácení .

Typ účinku:

• Počáteční točivý moment: Krouticí moment, který může hnací motor poskytnout z klidu (zřídka se také označuje jako odtrhovací moment) nebo který pracovní stroj nebo vozidlo potřebuje při spouštění.
• Kroutící moment: kroutící moment, který působí na vstupní hřídel na stroji nebo převodovkou, na kola nápravy vozidla nebo na nápravy vrtule . U hnacího motoru nebo hnacího ústrojí je to točivý moment Ab .
• Točivý moment nebo točivý moment: Krouticí moment, který při upevňování (utahování) aplikuje šroub.
• Překlopný moment: V mechanice je to okamžik, který převrátí vzpřímený předmět. V elektrotechnice maximální točivý moment v křivce točivého momentu / otáček asynchronního motoru . Podrobnosti viz bod zvratu .
• Zatěžovací moment : Krouticí moment, který pracovní stroj staví proti hnacímu motoru nebo převodovce. U hnacího ústrojí nebo převodovky je to výstupní točivý moment.
• Zadržovací moment : Moment, který je generován při omezení , tj. Připevnění těla. Zabraňuje otáčení těla.
• Posuvný moment: moment síly vzhledem k referenčnímu bodu pro rovnováhu síly a momentu.

Jiný:

• Jmenovitý točivý moment: Krouticí moment pro součást v konstrukci dimenzován byl.
• Nominální moment : Moment, pro který byla součást navržena.
• Specifický točivý moment: Točivý moment na litr výtlaku u pístových motorů. Maximální hodnoty pro čtyřtaktní benzínové motory a pro velké čtyřdobé dieselové motory jsou 200 Nm / dm³. Velmi velké dvoudobé lodní dieselové motory dosahují 300 Nm / dm³.

Druhy točivých momentů

Rozlišuje se mezi

• točivý moment jedné síly vzhledem k bodu,
• točivý moment jedné síly vzhledem k ose a
• točivý moment silové dvojice .

U prvních dvou členů závisí velikost a směr otáčení točivého momentu na referenčním kusu (bod nebo přímka). U dvojice sil se však vždy získá stejný celkový točivý moment bez ohledu na referenční kus, pokud se vezmou v úvahu a sečtou momenty jednotlivých sil silové dvojice.

U všech tří typů jsou možné dva různé, ekvivalentní přístupy:

• Smíšená, geometrická a algebraická úvaha, ve které je točivý moment součinem síly a ramene páky. Rovina působení a směr otáčení vyplývají z geometrických hledisek.
• Druhá varianta je čistě analytická. Točivý moment je považován za vektor, který je vektorovým součinem polohového vektoru a silového vektoru . Vektor točivého momentu pak udává množství, rovinu působení a směr otáčení.

Které úvahy jsou vhodnější, závisí na zkoumaném problému a na matematických znalostech uživatele. Pokud jsou všechny působící síly ve stejné rovině, doporučuje se geometricko-algebraický přístup, který si vystačí s poměrně jednoduchou matematikou. Pokud síly tvoří prostorový silový systém , je takový postup možný, ale obtížný. Vektorové znázornění je pak vhodné, ale vyžaduje znalost pokročilejších pojmů matematiky, jako je vektorový součin. Kromě toho lze pomocí vektorů snáze znázornit obecné matematické vztahy mezi točivým momentem a jinými fyzikálními veličinami, například těmi, které byly zkoumány v teoretické mechanice. Ve školních knihách a úvodních učebnicích technické mechaniky se zpočátku upřednostňuje geometricko-algebraický přístup. V učebnicích teoretické mechaniky a referenčních pracích z technické mechaniky je naopak rozšířená vektorová reprezentace.

Pro množství točivého momentu u všech tří typů platí následující: síla krát rameno páky. Jediný točivý moment působí v jedné rovině a obecně stačí vzít v úvahu tuto rovinu. Točivý moment pak může být specifikován jediným číslem, jehož znaménko udává směr otáčení. Točivé momenty, které se otáčejí proti směru hodinových ručiček, tj. V matematicky pozitivním smyslu, se obvykle počítají kladně. Pokud existuje několik momentů, které nepůsobí ve stejné rovině, je užitečnější je popsat jejich vektorem točivého momentu. To je kolmé na rovinu, ve které točivý moment působí.

Pro teoretické odvození točivých momentů jsou možné různé způsoby. Točivý moment jedné síly lze definovat na základě základních zákonů mechaniky. Točivý moment dvojice sil je pak součtem momentů obou sil. Místo toho úvahy o výslednici dvojice sil vedou přímo k jeho točivému momentu. Točivý moment jedné síly je pak získán posunutím síly na rovnoběžné linii působení (offsetový točivý moment, viz síly řazení níže ).

Točivý moment síly vzhledem k bodu

Točivý moment nebo moment (jediné) síly vzhledem k bodu působí v rovině obsahující sílu a referenční bod. Na této úrovni je jeho množství definováno jako součin ramene páky a množství síly : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle M = a \ cdot F}$

Aby se předešlo záměně s jinými momenty, je také zaznamenán referenční bod:

${\ displaystyle M ^ {(A)}}$nebo .${\ displaystyle M _ {(A)}}$

Rameno páky je svislá vzdálenost mezi referenčním bodem a linií působení síly. Toto obecně není přímá spojovací čára mezi referenčním bodem a bodem působení síly. Vzhledem k tomu, že se rameno páky nemění, když se síla přesouvá podél linie jejího působení, nemění se ani jeho točivý moment. Samotný referenční bod lze libovolně zvolit. Nemusí to být bod, kolem kterého se dotyčné tělo otáčí. Částečně to není známo a neexistuje žádný takový bod v tělech, která jsou pevně spojena s jejich prostředím. Vztažný bod nemusí být součástí těla, na které síla působí. Jak velikost, tak směr otáčení točivého momentu závisí na volbě referenčního bodu.

Definice vektoru je

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$.

Je to vektorový součin polohového vektoru , který ukazuje od referenčního bodu k bodu působení síly a vektoru síly . Velikost polohového vektoru obecně neodpovídá rameni páky. Velikost vektoru točivého momentu lze vypočítat z velikostí vektoru polohy a síly a úhlu mezi nimi ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle M = | {\ vec {M}} | = F \ cdot r \ cdot \ sin \ varphi = | {\ vec {F}} | \ cdot | {\ vec {r}} | \ cdot \ sin \ varphi}$

Je to tedy pravda . ${\ Displaystyle a = r \ cdot \ sin \ varphi}$

Točivý moment často vždy souvisí s původem konvencí : ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(O)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Polohový vektor pak ukazuje od počátku k bodu působení síly. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Vektor točivého momentu je kolmý na rovinu, ve které točivý moment působí, a tedy také kolmý na rovinu, která je překlenuta vektorem síly a polohy. Jeho množství, tj. Jeho délka, odpovídá množství točivého momentu a ploše rovnoběžníku, která je tvořena vektorem polohy a síly. Směr otáčení vyplývá z pravidla pro pravou ruku : Pokud uchopíte vektor momentu v pravé ruce tak, že palec ukazuje ve směru šipky, pak ostatní prsty ukazují směr otáčení.

Točivý moment síly vzhledem k ose

Pro točivý moment síly vzhledem k ose je jako referenční bod vybrán bod osy, který je nejblíže bodu působení síly. Vzdálenost mezi bodem aplikace a osou je pak rameno páky. Pro výpočet je možné promítnout sílu do roviny, která je kolmá na osu, a poté použít projektovanou sílu k vytvoření točivého momentu vzhledem k bodu, ve kterém osa proniká do roviny. Alternativně může být točivý moment původní síly generován také s ohledem na jakýkoli bod přímky. Vektor točivého momentu je pak promítnut do roviny, která je kolmá na přímku.

Točivý moment několika sil

Dvojice sil se skládá ze dvou sil, které jsou na rovnoběžných liniích působení, mají stejné množství a směřují v opačných směrech. Na rozdíl od jediné síly nemůže pohybovat tělem, ale snaží se s ním otáčet. Páry sil jsou často přítomny při otáčení těles; jedna ze dvou sil však často není okamžitě rozpoznatelná, protože je to většinou omezující síla . Množství točivého momentu, které je generováno několika silami, lze vypočítat jako součin velikosti jedné ze dvou sil a vzdálenosti mezi jejich liniemi působení:${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle M = F \ cdot a}$

Vektor točivého momentu dvojice sil lze vypočítat podle:

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Vektor polohy směřuje z libovolného bodu na linii působení jedné síly do libovolného bodu na linii působení druhé síly. Často se používá vektor, který spojuje body působení obou sil. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Účinek dvojic sil se liší od jednotlivých sil v některých důležitých bodech, a proto se momenty dvojic sil také liší od ostatních momentů:

• Točivý moment dvojice sil je nezávislý na referenčních bodech. To znamená, že několik sil lze přesunout na jakékoli místo, aniž by se změnil jejich účinek nebo točivý moment.
• Několik sil lze nahradit jeho točivým momentem, aniž by se změnil účinek na tělo, na které působí. Jediná síla na druhé straně nemůže být nahrazena jejím točivým momentem.
• Vektor točivého momentu dvojice sil lze posunout do libovolného místa. Je to volný vektor . Vektor točivého momentu síly je naopak axiální vektor . Lze jím pohybovat pouze po přímce, kterou definuje.

Derivace a vztahy mezi druhy točivého momentu

Na základě základních zákonů mechaniky existují různé způsoby odvozování točivých momentů.

V teoretické mechanice

V teoretické mechanice se Newtonův druhý zákon obvykle předpokládá ve formě „síla se rovná hmotnosti krát zrychlení“:

${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$

Vektor ukazuje v každém časovém bodě od počátku do umístění hmotného bodu, což je také bod aplikace síly. Derivát pozici vektoru s ohledem na čas dává rychlost , která je označena bodem, druhá derivace dává zrychlení , která se vyznačuje dvěma body. Pokud je výše uvedená rovnice vektorově vynásobena polohovým vektorem zleva, výsledkem je točivý moment síly vzhledem k počátku vlevo a časová derivace momentu hybnosti vpravo : ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ vec {L}} (t)}$

${\ Displaystyle {\ vec {r}} (t) \ times {\ vec {F}} = {\ vec {r}} (t) \ times m \, {\ ddot {\ vec {r}}} ( t)}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} (t) = {\ dot {\ vec {L}}} (t)}$

Točivý moment dvojice sil je výsledkem sečtení momentů těchto dvou sil: ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = {\ vec {M}} _ {1} + {\ vec {M}} _ {2} = {\ vec {r}} _ {1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r}} _ {2} \ times {\ vec {F}} _ {2}}$

Protože to platí v silovém páru , také to vyplývá ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = ({\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}) \ times {\ vec {F}} _ {1}}$,

v souladu s výše uvedenou definicí točivého momentu dvojice sil, protože . ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$

V technické mechanice

V technické mechanice úvahy o výslednici silových systémů vedou přímo k točivému momentu dvojice sil. Z toho lze odvodit točivý moment jedné síly.

S rovnoběžníkem sil mohou být dvě síly se společným bodem aplikace nahrazeny výslednou silou. Pokud tyto dvě síly působí na tuhé těleso, mohou být také kombinovány, pokud se protínají pouze linie působení obou sil, protože síly pak mohou být posunuty do průsečíku, aniž by se změnil účinek na těleso. Při rovnoběžných silách však neexistuje žádný průsečík. Pokud mají obě síly nestejnou sílu, lze najít průsečík a výslednou sílu lze vytvořit přidáním dalších dvou sil, jejichž výsledná síla je nulová. Pro pár sil však neexistuje žádný průsečík, ale jiný pár sil, případně na jiném místě a s otočenými akčními liniemi v jiné vzdálenosti od sebe a s jinou silou obou opačně stejných síly. Síla výrobku krát vzdálenost mezi liniemi působení , tj. Točivý moment, zůstává vždy konstantní. Dvojici sil nelze nahradit jedinou výslednou silou, ale pouze jinou dvojicí sil se stejným točivým momentem. Dvojici sil lze tedy celkem obecně nahradit jejím točivým momentem.

Točivý moment jedné síly vzhledem k bodu vyplývá z točivého momentu dvojice sil využívajících krouticí moment (viz posun sil níže ). Člověk považuje přímku rovnoběžnou s linií působení přes referenční bod za linii působení dvou opačně stejných sil stejné velikosti jako individuální síla. Jednotlivé síly se spojí s odpovídající novou silou a vytvoří se silový pár, který je pak nahrazen jeho točivým momentem. Výsledek odpovídá posunutí původní individuální síly a přidání točivého momentu dvojice sil. Ten druhý je okamžik ofsetu.

Prohlášení a notace

Existuje řada zápisů točivých momentů v rovnicích a vyjádření na výkresech. Pokud je na výkresech zobrazena rovina, ve které působí točivý moment, je obvykle znázorněna zakřivenou šipkou, která se může pohybovat mezi čtvrtkruhem a tříčtvrtečním kruhem. Hrot pak ukazuje směr otáčení. V trojrozměrných reprezentacích se šipky používají jako tříčtvrteční kruhy, které se otáčejí kolem určitých os nebo přímé šipky, které ukazují vektory točivého momentu. Jak je tomu obecně u vektorů, mohou být tyto znázorněny jednoduchou šipkou. Protože se síly a momenty vyskytují současně v mnoha mechanických problémech, jsou vektory krouticího momentu také označeny dvojitým bodem, aby nedošlo k záměně.

Závislost na referenčním bodě

V systémech, které nejsou v rovnováze, závisí hodnota točivého momentu obecně na volbě referenčního bodu. Pokud je referenční bod posunut o vzdálenost , má hodnotu točivého momentu vzhledem k novému referenčnímu bodu ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} '}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} '= {\ vec {M}} - {\ vec {s}} \ times {\ vec {F}}.}$

Zde je výsledná síla , tedy součet všech jednotlivých sil . ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$

Pokud je výsledná síla nulová, tělo nezaznamená žádné zrychlení a těžiště nemění svoji rychlost ani směr pohybu. Síla mění pouze moment hybnosti. V tomto případě je točivý moment nezávislý na referenčním bodě a lze jej libovolně měnit, aniž by došlo ke změně účinku na tělo. Protože (alespoň) pro tuto situaci jsou vyžadovány dvě síly, které mají stejné množství, ale v opačném směru a jejichž akční linie mají určitou vzdálenost , hovoří se o silovém páru . Dvojice sil způsobí s daným množstvím točivý moment . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle M = aF}$

Jednotka měření

Měrnou jednotkou točivého momentu v SI je newtonmetr (Nm). Pro základní jednotky kilogramů, metrů a sekund platí následující:

${\ Displaystyle 1 \ \ mathrm {Nm} = 1 \ {\ frac {\ mathrm {kg \, m ^ {2}}} {\ mathrm {s ^ {2}}}}}$

Jednotkou mechanické práce je také newtonmetr a má název „Joule“ (1 J = 1 N · m). Název jednotky „Joule“ nesmí být použit pro točivý moment, protože točivý moment a práce jsou různé fyzikální veličiny, které nelze navzájem převádět. Práce se provádí, když síla (složka) působí rovnoběžně s pohybem při pohybu po dráze. V případě točivého momentu naopak síla působí kolmo na dráhu tvořenou ramenem páky. Práce je skalární veličina , zatímco točivý moment je pseudo vektor .

Věta „práce = síla krát vzdálenost“ odpovídá „práci = moment krát úhel“. Aby se tento vztah ukázal, lze jednotku použít také jako energii na úhel točivého momentu

${\ Displaystyle 1 \ {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {rad}}}}$

lze použít, směr vektoru pak ukazuje ve směru osy otáčení. Zde jednotka Radiant pro rovinný úhel. ${\ displaystyle \ mathrm {rad}}$

V technických dokumentech a na typových štítcích je točivý moment uveden v Nm. Dalšími použitými jednotkami jsou např. B. nebo kombinace jiných (hmotnostních) silových a délkových jednotek. ${\ displaystyle {\ text {ft}} \ cdot {\ text {lb}}}$

Přidání momentů

K výslednému točivému momentu lze přičíst momenty, podobně jako k výsledné síle. Pokud se vezmou v úvahu všechny momenty, hovoří se také o celkovém točivém momentu. Sada momentů dělá korelace mezi výslednou silou a výsledným točivým momentem .

Celkový točivý moment

Jednotlivé momenty dvou sil lze sčítat, pokud se vztahují ke stejnému bodu : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} _ {A, F1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r} } _ {A, F2} \ krát F_ {2}}$

Pokud existuje libovolný počet sil, je celkový točivý moment součtem všech momentů. Pokud souvisí s původem, má to za následek

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i}}$.

Vektor ukazuje od počátku k základnímu bodu síly . Pokud byly dvojice sil nahrazeny jejich točivými momenty , musí být také sečteny: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {\ mathrm {KP}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i} + \ sum _ {j} {\ vec {M}} _ {j} ^ {\ mathrm {KP}}}$

Věta o momentech statiky

Zákon statických momentů říká, že moment výsledné síly má na těleso stejný účinek jako celkový moment, který vyplývá ze součtu jednotlivých momentů: ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}}}$

${\ Displaystyle a _ {\ mathrm {R}} \ cdot F _ {\ mathrm {R}} = a_ {1} \ cdot F_ {1} + a_ {2} \ cdot F_ {2} + \ dotsb + a_ {n} \ cdot F_ {n}}$

Výsledná síla, která je vytvořena ze všech existujících sil, musí mít na těleso stejný účinek jako jednotlivé síly. Velikost a směr výsledné síly vyplývají z vektorového sčítání jednotlivých sil, ale ani její bod aplikace, ani její linie působení. Ty jsou určeny pomocí nastaveného momentu. Výsledná síla musí ležet na linii působení, na které generuje stejný moment jako jednotlivé síly.

Sada točivého momentu je zvláště důležitá při kontrole rovnováhy točivého momentu nebo při výpočtu neznámých sil pomocí rovnováhy točivého momentu. Síly, které jsou šikmé k souřadnicovým osám v prostoru, pak lze rozdělit na několik sil, které jsou kolmé na osy. Jejich momenty lze vypočítat snadněji. Momenty vytvářené těmito silovými složkami odpovídají v součtu momentu vytvářenému původní silou.

Zůstatek

Když je tělo v mechanické rovnováze , nemění svůj pohybový stav. Není tedy ani zrychlený, ani zpomalený.

Pokud je těleso v rovnováze, nachází se v rovnováze sil i v rovnováze momentů nebo momentové rovnováhy vzhledem k jakémukoli bodu : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ vec {M}} _ {i} ^ {(A)}} = {\ vec {0}}}$

To platí pro jakýkoli bod A, a tedy i pro body, které jsou mimo tělo. Existuje bod, ve kterém se linie působení tolika sil protínají. V těchto je délka ramene páky nulová, což má za následek nulový točivý moment. V důsledku toho se tyto momenty v rovnici neobjevují, což zjednodušuje výpočet. Pokud je mezi těmito silami jen jedna neznámá síla, lze ji okamžitě vypočítat. Někdy může být užitečné určit několik rovnováh točivého momentu, pokud to umožňuje vypočítat pro každou jinou neznámou sílu.

Pokud je těleso v rovnováze točivého momentu vzhledem k jednomu bodu, nelze z toho vyvodit, že je také v rovnováze celkově a stejně málo, že je v rovnováze točivého momentu vzhledem k jiným bodům. Pokud například působí pouze jedna síla, je v rovnováze točivého momentu vzhledem k bodu na linii působení této síly, ale nikoli v rovnováze točivého momentu s ohledem na body vzdálené od této přímky a také není v celkové rovnováze, protože působí síla, pro kterou neexistuje protisíla. Těleso je však v rovině celkově v rovnováze, pokud je v rovnováze točivého momentu s ohledem na tři různé body, za předpokladu, že tyto tři body nejsou na přímce.

Řazení sil

Silovou šípem lze pohybovat po její linii působení bez omezení, aniž by se změnil její účinek na tuhé těleso. V poloze, kde je vektor vzdálenosti kolmý na linii působení silové šipky, se nazývá rameno páky . Pokud jde o množství, platí následující: „Točivý moment se rovná ramenu páky krát síla“. Se dvěma působícími silami (které se pak označují jako síla a zatížení ) je rovnováha točivého momentu ekvivalentní pákovému zákonu : ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Rameno silou = paže podle zatížení.

(Všimněte si, že přísně vzato, pouze částky jsou stejné, protože dva momenty jsou v opačných směrech, a proto mají různé znaky.)

Pokud je síla posunuta kolmo na její linii působení o vzdálenost na rovnoběžnou linii působení, změní se točivý moment, který způsobí, ve srovnání s referenčním bodem. Síla může být tedy posunuta pouze takovým způsobem, pokud je zaveden také točivý moment, který kompenzuje tuto změnu. Toto se označuje jako posunovací moment nebo offsetový moment a má hodnotu . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F \ cdot a}$

dynamika

K Dynamika se zabývá států, které nejsou v rovnováze. Podle 2. Newtonova zákona výsledná vnější síla na těleso vede ke změně rychlosti ( zrychlení ). Analogicky, výsledný vnější točivý moment znamená změnu úhlové rychlosti ( úhlové zrychlení ). Točivé momenty uvnitř těla (ohybový nebo torzní moment) nehrají při změně pohybu roli. Setrvačné chování s ohledem na rotaci závisí nejen na hmotnosti tělesa, ale také na jeho prostorovém rozložení. To je vyjádřeno momentem setrvačnosti . Při otáčení kolem pevné osy platí pro točivý moment ve směru této osy následující: ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ dot {\ vec {\ omega}}}}$ ${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle M = I \, \ alpha}$

Je třeba poznamenat, že moment setrvačnosti nezávisí pouze na poloze osy otáčení (viz Steinerova věta ), ale také na jejím směru. Pokud chce někdo formulovat výše uvedenou rovnici obecněji pro jakýkoli prostorový směr, musí místo toho použít tenzor setrvačnosti : ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$

Vztah mezi točivým momentem a rychlostí změny momentu hybnosti ( , kroucení, hybnost ) lze vyjádřit jako: ${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

Tato rovnice je ve strojírenské mechanice jako moment hybnosti, moment hybnosti, rychlost točivého momentu nebo rychlost hybnosti . ( Moment hybnosti také znamená míru zachování momentu hybnosti , aktuálně nastavená je také k dispozici pro moment nastavený ze statiky .)

Ve dvojrozměrném speciálním případě točivý moment pouze zrychluje nebo zpomaluje rotační pohyb. V obecném trojrozměrném případě však může také změnit směr osy otáčení (viz např. Precese ).

Korespondence mezi lineárním pohybem a rotačním pohybem

Točivý moment se v klasické mechanice pro rotační pohyb zvyšuje podobně jako síla pro lineární pohyb: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

	Přímočarý pohyb	Rotační pohyb
práce	Síla krát cesta ${\ Displaystyle W = F \ cdot \ Delta s}$	Točivý moment krát úhel otočení ( radiány ) ${\ Displaystyle W = M \, \ Delta \ varphi}$
	obvykle: ${\ Displaystyle W = \ int {\ vec {F}} ({\ vec {s}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}}}$	obvykle: ${\ Displaystyle W = \ int {\ vec {M}} ({\ vec {\ varphi}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ varphi}}}$
Napájení	Síla krát rychlost ${\ displaystyle P = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}$	Točivý moment krát úhlová rychlost ${\ displaystyle P = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}$
Statická rovnováha	Rovnováha sil ${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {0}}}$	Rovnováha točivého momentu ${\ displaystyle \ sum {\ vec {M}} _ {i} = {\ vec {0}}}$
Zrychlený pohyb	Hmotnost krát zrychlení ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$	Tenzor setrvačnosti krát úhlové zrychlení ${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$
	Rychlost změny hybnosti ${\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}$	Rychlost změny momentu hybnosti ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

1. ↑ ^{a b} Tyto zjednodušené vzorce platí pro konstantní sílu podél dráhy ve směru síly nebo konstantní točivý moment kolem osy ve směru otáčení. V případě proměnných sil a točivých momentů nebo v případě uspořádání se šikmým úhlem by měly být použity obecné vzorce v níže uvedeném řádku.

Měření točivého momentu

Odpočívající tělo

Rotující těleso je udržováno v klidu statickým protitahovacím momentem . Točivý moment, který má být měřen a působí na odpočívající těleso, je stejný jako proti-točivý moment, který je generován například pákou a jehož hodnota je součinem délky ramene páky a protisíly na konci páky.

Rotující tělo

Točivý moment působící na otáčející se hřídel při určité rychlosti se měří brzdovým dynamometrem, například uzdou Prony nebo brzdou s vodním vírem . Toto brzdové zařízení připojené k hřídeli absorbuje celý přenášený výkon a současně měří točivý moment.

Například hnací pohon , na jehož hřídeli se má měřit točivý moment, nebo brzdové zařízení jsou uloženy otočně kolem osy otáčení hřídele a působící obvodová síla se měří na volném konci ramene páky připojeného k stroj nebo brzdové zařízení.

Měření se několikrát opakuje a je generována charakteristika točivého momentu / otáček.

Točivý moment měnící rychlost otáčení lze určit měřením úhlového zrychlení, je  -li znám moment setrvačnosti . Hodnocení se provádí podle vzorce ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle M = I \, \ alpha}$.

Utahovací momenty na vybraných strojích

Elektromotory

Asynchronní motor ve formě rotoru nakrátko je často použit elektromotor. Obrázek ukazuje točivý moment typicky generovaný při provozu v elektrické síti (konstantní frekvence a napětí) v závislosti na rychlosti. Motor lze delší dobu provozovat pouze v malém rozsahu otáček vpravo od bodů překlopení K1 nebo K2 na strmě svažující se křivce. Vlevo od sklápěcích bodů je přibližovací oblast, kterou je nutné vždy projít co nejrychleji. Při spouštění má asynchronní motor špatnou účinnost, vysoký rozběhový proud a nízký točivý moment. Aby se předešlo těmto nevýhodám, používají se různá opatření, například spouštěcí obvod hvězda-trojúhelník nebo provoz na frekvenčním měniči . U posledně jmenovaného start uspěje s více než jmenovitým točivým momentem, takže motor lze použít i v pohonech vozidel.

Dalším motorem, který se často používá, je sériově vinutý stejnosměrný motor , který má obzvláště vysoký rozběhový moment. Používá se proto pro ruční zařízení, pračky nebo kolejové pohony.

Vnitřní spalovací motory

V automobilovém průmyslu brožur, je běžné, že spalovací motory, aby pouze zadat své maximální hodnoty spolu s odpovídající rychlostí namísto charakteristiky krouticího momentu / rychlosti zaznamenané v provozu s plným zatížením (viz obrázek „charakteristiky dvou spalovacích motorů“).

Protože rychlost je opět zahrnuta jako lineární faktor do rovnice pro výkon , je maximální výkon při vyšších otáčkách než maximální točivý moment (viz obrázek).

Na točivý moment dvoudobých motorů platí následující vzorec: ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {2 \ pi}}}$

Zde je zdvihový objem a střední tlak spáleného paliva, tj. Prací provedených v cyklu jako „násobek síly vzdálenosti“. ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle p_ {e}}$${\ displaystyle V_ {h} p_ {e}}$

Pro točivý moment čtyřdobých motorů platí:

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {4 \ pi}}}$

Protože při dvou otáčkách na pracovní cyklus je práce na otáčku poloviční ve srovnání s dvoudobým motorem.

Numerický příklad

Točivý moment a síla čtyřtaktního motoru

Sériové vozidlo se zdvihovým objemem 2000 cm³ (= 0,002 m³), ​​jehož čtyřtaktní motor dosahuje průměrného tlaku 9 barů (= 900 000 Pa ; 1 Pa = 1 N / m²) při rychlosti 2000 / min,  počítáno v jednotkách SI :

${\ Displaystyle M = {\ frac {0 {,} 002 \, \ mathrm {m} ^ {3} \ cdot 900 000 \, {\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {m} ^ {2} }}} {4 \ pi}} = 143 \, \ mathrm {Nm}}$

Rovnice pro výkon během rotačního pohybu je (viz výše ; ... rychlost, počet otáček za periodu) ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle P = 2 \ pi \ n \ M \}$

a jako funkce rychlosti

${\ Displaystyle P (n) = 2 \ pi \ n \ M (n)}$.

${\ Displaystyle M (n)}$je charakteristika točivého momentu závislá na rychlosti pro konkrétní motor. Získává se měřením.

Spalovací motor, který poskytuje točivý moment 143 Nm při rychlosti 2 000 otáček za minutu, má  v tomto provozním stavu následující výkon:

${\ Displaystyle P = 2 \ pi \ cdot {\ frac {2000} {60 \ \ mathrm {s}}} \ cdot 143 \ \ mathrm {Nm} \ \ cca 30 \ \ mathrm {kW}}$ .

Hydraulické motory

Hydraulický výkon a hydraulického motoru se vypočítá z tlaku a na vstupu do motoru nebo odtoku a objem oleje spolknuté ( je objem za otáčku): ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ Displaystyle Q = q \ cdot n}$${\ displaystyle q}$

${\ Displaystyle P = (p_ {1} -p_ {2}) \, qn}$

Z rovnice pro výkon při rotačním pohybu (viz výše )

${\ Displaystyle P = 2 \ pi Mn}$

točivý moment následuje:

${\ Displaystyle M = {\ frac {(p_ {1} -p_ {2}) \, q} {2 \ pi}}}$

literatura

• Wolfgang Nolting : Klasická mechanika. In: Základní kurz teoretické fyziky. Vol.1, 8. vydání. Springer, Berlín 2008, ISBN 978-3-540-34832-0 .
• Herbert Goldstein , Charles P. Poole a John L. Safko: Classical Mechanics (překlad: Michael Baer). 3., zcela revidováno a zk. Edice. Wiley-VCH, Weinheim 2006. (Fyzika učebnic), ISBN 3-527-40589-5 .
• Richard P. Feynman : Feynman přednáší fyziku. Oldenbourg, Mnichov / Vídeň 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 .
• Paul A. Tipler : Fyzika. 3. opravený dotisk 1. vydání. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
• Ludwig Bergmann , Clemens Schaefer: Mechanika - Akustika - Teplo. In: Učebnice experimentální fyziky. Vol.1, 12. vydání. Walter de Gruyter, Berlín 2008, ISBN 978-3-11-019311-4 .
• Istvan Szabó : Úvod do strojírenské mechaniky. Springer, Berlín 1999, ISBN 3-540-44248-0 .
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mechanics. Vieweg, Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-28904-X .

webové odkazy

• Točivý moment na jednoramenné páce. Zobrazeno na příkladu klíče. Na adrese : zum.de.
• Wilfried Krimmel: Vývoj a budoucnost technologie měření točivého momentu. Na adrese : lorenz-messtechnik.de.

Individuální důkazy

1. ↑ Online slovník. In: de.pons.com. PONS GmbH , přístup 23. dubna 2017 . 
2. ↑ Palle ET Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman: Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices . In: Memoirs of the American Mathematical Society . American Mathematical Society, 2011, ISBN 0-8218-8248-1 , pp. 2 ( omezený náhled ve vyhledávání knih Google). 
3. ↑ Elektronické vyhledávání klíčových slov v:
   • Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (eds.): Teoretická fyzika. Springer, 2015.
   • Achim Feldmeier: Teoretická mechanika - analýza pohybu. 2013.
   • Honerkamp, ​​Römer: Klasická teoretická fyzika. Springer, 4. vydání, 2012.
   • Wolfgang Nolting: Základní kurz teoretické mechaniky 1 - klasická mechanika. Springer, 10. vydání, 2013.
   • Norbert Straumann: Teoretická mechanika. Springer, 2. vydání, 2015.
4. ↑ Böge, Böge: Technická mechanika. Springer, 31. vydání, 2015, s. 4.
5. ↑ Spura: Technická mechanika 1 - Stereostatika. Springer, 2016, s. 43.
6. ↑ Böge: Handbook of Mechanical Engineering. Springer, 21. vydání, 2013, s. C2.
7. ↑ Mahnken: Učebnice technické mechaniky - statika. Springer, 2012, s. 98.
8. ↑ Elektronické vyhledávání klíčových slov v:
   • Dankert, Dankert: Technická mechanika. Springer, 7. vydání, 2013.
   • Wittenburg a kol. (Hrsg.): Technické znalosti - technická mechanika. Springer, 2014.
   • Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technical Mechanics 1 - Statics. Springer, 11. vydání, 2011.
   • Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Engineering Mechanics 1 - Základy a statika. Springer, 3. vydání, 2015.
   • Spura: Technická mechanika 1 - Stereostatika. Springer, 2016.
   • Richard, Sander: Technická mechanika - statika. Springer, 5. vydání, 2016.
   • Dreyer: Technická mechanika - kinetika, kinematika. Springer, 11. vydání, 2012.
9. ↑ Böge, Böge: Technická mechanika. Springer, 31. vydání, 2015, s. 4.
   Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. vydání, 2013, s. 20, 23.
10. ^ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technická mechanika 1 - Statika. Springer, 11. vydání, 2011, s. 51, 54.
    Mahnken: Učebnice technické mechaniky - statika. Springer, 2012, s. 98, 103.
    Spura: Technická mechanika 1 - Stereostatika. Springer, 2016, s. 43, 46.
11. ↑ Dieter Meschede (Ed.): Gerthsen Physik. Springer, 25. vydání, 2015, s.
    72. Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (eds.): Theoretical Physics. Springer, 2015, s. 28.
    Achim Feldmeier: Teoretická mechanika - analýza pohybu. 2013, s. 83.
    Torsten Fließbach: Mechanika - učebnice teoretické fyziky I. Springer, 7. vydání, 2015, s. 18.
12. ↑ Wittenburg a kol. (Ed.): Technické znalosti - technická mechanika. Springer, 2014, s. 13.
13. ↑ Mahnken: Učebnice technické mechaniky - statika. Springer, 2012, s. 145.
14. ↑ Sayir, dual, podnikatel, Mazza: Engineering Mechanics 1 - Základy a statika. Springer, 3. vydání, 2015.
15. ↑ Böge (Ed.): Manuál strojírenství. Springer, 21. vydání, 2013, s. C2.
16. ↑ Dieter Meschede (Ed.): Gerthsen Physik. Springer, 25. vydání, 2015, s. 73 a.
17. ↑ Achim Feldmeier: Teoretická mechanika - analýza pohybu. 2013, s. 238-240.
18. ^ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technická mechanika 1 - Statika. Springer, 11. vydání, 2011, s. 73.
19. ↑ točivý moment. In: Lexicon of Physics. Citováno 28. října 2016 . 
20. ↑ ^{a b} „Přestože točivý moment má stejný rozměr jako energie (jednotka joulů SI), joule se nikdy nepoužívá k vyjádření točivého momentu.“ The International System of Units (SI), 9. vydání, 2019, kap. 2.3.4, strana 140
21. ↑ Mezinárodní systém jednotek (SI) . Německý překlad brožury BIPM „Le Système international d'unités / The International System of Units (8e édition, 2006)“. In: PTB-Mitteilungen . páska 117 , č. 2 , 2007, s. 21 ( Online [PDF; 1.4 MB ]). 
22. ↑ Böge: Technická mechanika. Springer, 31. vydání, s. 46.
23. ↑ Dankert, Dankert: Technická mechanika. Springer, 7. vydání, 2013, s. 24.
24. ↑ Mahnken, s. 24.
25. ↑ Böge (Ed.): Manuál strojírenství. Springer, 21. vydání, 2013, s. C3.
26. ↑ Dankert, Dankert: Technická mechanika. Springer, 7. vydání, 2013, s. 571.
27. ↑ ^{a b} Gross et al: Technická mechanika 3. Kinetika. Springer, 13. vydání, 2014, s. 61.
28. ^ Conrad Eller: Holzmann / Meyer / Schumpich. Technická mechanika. Kinematika a kinetika. Springer, 12. vydání, 2016, s. 127.
29. ↑ Naměřené hodnoty jsou časové průměrné hodnoty za celý pracovní cyklus, tj. Za jednu otáčku klikového hřídele u dvoutaktního motoru , přes dvě otáčky u čtyřtaktního motoru .